YOUNG MODÜLÜ: MATEMATIK, UYGULAMALAR, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - FIZIKSEL - 2025

Young modülü ya da elastik modülleri, bu kuvvetler altında nesne uzunluğunda olan ilgili bir artış ya da azalma ile çekme veya sıkıştırma ile ilgili sabittir.

Nesnelere uygulanan dış kuvvetler yalnızca hareket durumlarını değiştirmekle kalmaz, aynı zamanda şekillerini değiştirebilir, hatta kırabilir veya kırabilir.

Şekil 1. Kedinin hareketleri esneklik ve zarafetle doludur. Kaynak: Pixabay.

Young modülü, dışarıdan bir çekme veya sıkıştırma kuvveti uygulandığında bir malzemede üretilen değişiklikleri incelemek için kullanılır. Mühendislik veya mimarlık gibi konularda çok kullanışlıdır.

Model, adını, farklı malzemelerin sertliğinin bir ölçüsünü öneren malzemeler üzerinde çalışmalar yapan İngiliz bilim adamı Thomas Young'a (1773-1829) borçludur.

Young'ın modeli nedir?

Young'ın modeli sertliğin bir ölçüsüdür. Düşük sertliğe (kırmızı) sahip malzemelerde, bir uzama veya sıkıştırma yükü altında daha fazla deformasyon vardır. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Bir nesne ne kadar deforme olabilir? Bu, mühendislerin genellikle bilmek istediği bir şeydir. Cevap, malzemenin özelliklerine ve sahip olduğu boyutlara bağlı olacaktır.

Örneğin, alüminyumdan yapılmış iki çubuğu farklı boyutlarda karşılaştırabilirsiniz. Her biri farklı bir enine kesit alanına ve uzunluğa sahiptir ve her ikisi de aynı çekme kuvvetine maruz kalır.

Beklenen davranış aşağıdaki gibi olacaktır:

- Çubuğun kalınlığı (enine kesiti) ne kadar büyükse, o kadar az esnektir.

- Başlangıç ​​uzunluğu ne kadar uzunsa, son esneme o kadar büyük olur.

Bu mantıklı, çünkü sonuçta, deneyimler bir lastik bandı deforme etmeye çalışmanın, onu çelik bir çubukla yapmaya çalışmakla aynı olmadığını gösteriyor.

Malzemenin esneklik modülü adı verilen bir parametre, elastik tepkisinin bir göstergesidir.

Nasıl hesaplanır?

Young, doktor olarak, kan dolaşımının iyi performansında arterlerin esnekliğinin rolünü bilmek istedi. Deneyimlerinden şu ampirik ilişkiyi sonuçlandırdı:

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, gerilme uygulaması altında bir malzemenin davranışını grafiksel olarak göstermek mümkündür.

Şekil 2. Bir malzeme için gerilmeye karşı şekil değiştirme grafiği. Kaynak: kendi kendine.

Başlangıçtan A noktasına

Başlangıç ​​noktasından A noktasına giden ilk bölümde grafik düz bir çizgidir. Hooke Yasası burada geçerlidir:

F = kx

F, malzemeyi orijinal durumuna döndüren kuvvetin büyüklüğü olduğunda, x onun yaşadığı deformasyondur ve k, gerilime maruz kalan nesneye bağlı bir sabittir.

Burada ele alınan deformasyonlar küçüktür ve davranış tamamen esnektir.

A'dan B'ye

A'dan B'ye malzeme de elastik olarak davranır, ancak gerilme ve şekil değiştirme arasındaki ilişki artık doğrusal değildir.

B'den C'ye

B ve C noktaları arasında, malzeme kalıcı bir deformasyona uğrar ve orijinal durumuna dönemez.

C'den

Malzeme C noktasından gerilmeye devam ederse, sonunda kırılır.

Young'ın gözlemleri matematiksel olarak şu şekilde özetlenebilir:

Stres ∝ Gerinim

Orantılılık sabitinin tam olarak malzemenin esneklik modülü olduğu yerde:

Stres = Elastisite Modülü x Deformasyon

Malzemeleri deforme etmenin birçok yolu vardır. Bir nesnenin maruz kaldığı en yaygın üç stres türü şunlardır:

- Germe veya esneme.

- Sıkıştırma.

- Kes veya kes.

Malzemelerin yaygın olarak maruz kaldığı bir stres, örneğin inşaat yapımı veya otomotiv parçalarında çekiş gücüdür.

Formüller

L uzunluğundaki bir nesne gerildiğinde veya gerildiğinde, uzunluğunda bir değişikliğe neden olan bir çekişe maruz kalır. Bu durumun bir diyagramı şekil 3'te gösterilmektedir.

Bu, yeni uzunluğu L + DL olacak şekilde gerilmeye neden olmak için uçlarına birim alan başına F büyüklüğünde bir kuvvetin uygulanmasını gerektirir.

Nesneyi deforme etmek için yapılan çaba, deneyimlenen gerilim thisL / L iken, sadece birim alan başına bu kuvvet olacaktır.

Şekil 3. Çekiş veya gerilmeye maruz kalan bir nesne uzama yaşar. Kaynak: kendi kendine.

Young modülünü Y olarak gösterir ve yukarıdakilere göre:

Cevap, suşun orijinal uzunluğa göre göreceli gerginliği göstermesi gerçeğinde yatmaktadır. 100 metre uzunluğundaki bir yapı 1 cm kadar deforme olduğundan 1 m'lik bir çubuğun 1 cm uzaması veya küçülmesi ile aynı şey değildir.

Parçaların ve yapıların düzgün çalışması için izin verilen bağıl deformasyonlara ilişkin bir tolerans vardır.

Deformasyonu hesaplamak için denklem

Yukarıdaki denklem aşağıdaki gibi analiz edilirse:

- Kesit alanı ne kadar büyükse deformasyon o kadar az olur.

- Uzunluk ne kadar uzun olursa deformasyon o kadar büyük olur.

- Young modülü ne kadar yüksekse deformasyon o kadar düşük olur.

Newton gerilme tekabül / metrekare (N / m birimleri ² ). Bunlar aynı zamanda Uluslararası Sistemde Pascal adını taşıyan baskı birimleridir. Öte yandan ΔL / L gerilimi boyutsuzdur çünkü iki uzunluk arasındaki bölümdür.

İngiliz sisteminin birimleri lb / in ^2'dir ve ayrıca çok sık kullanılır. Birinden diğerine gitmek için dönüştürme faktörü: 14,7 lb / inç ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Bu, Young modülünün aynı zamanda basınç birimlerine sahip olmasına yol açar. Son olarak, yukarıdaki denklem Y'yi çözmek için ifade edilebilir:

Malzeme biliminde, bunların çeşitli çabalara olan esnek yanıtı, ister uçak kanadı ister otomotiv yatağı üretiyor olsun, her uygulama için en uygun olanı seçmek için önemlidir. Kullanılacak malzemenin özellikleri, kendisinden beklenen yanıtta belirleyicidir.

En iyi malzemeyi seçmek için belli bir parçanın maruz kalacağı gerilmeleri bilmek gerekir; ve sonuç olarak tasarıma en uygun özelliklere sahip malzemeyi seçin.

Örneğin, bir uçağın kanadı güçlü, hafif ve esneme kabiliyetine sahip olmalıdır. Binaların yapımında kullanılan malzemeler büyük ölçüde sismik hareketlere dayanmalı, ancak aynı zamanda bir miktar esnekliğe sahip olmalıdır.

Uçak kanatları tasarlayan mühendisler ve ayrıca inşaat malzemelerini seçenler, Şekil 2'de gösterildiği gibi gerilme-gerinim grafiklerini kullanmalıdır.

Bir malzemenin en alakalı elastik özelliklerini belirlemek için ölçümler, özel laboratuvarlarda gerçekleştirilebilir. Böylelikle numunelerin tabi tutulduğu, çeşitli gerilmelerin uygulandığı standartlaştırılmış testler vardır, ardından oluşan deformasyonlar ölçülür.

Örnekler

Yukarıda belirtildiği gibi, Y nesnenin boyutuna veya şekline değil, malzemenin özelliklerine bağlıdır.

Bir başka çok önemli not: Yukarıda verilen denklemin uygulanabilir olması için malzeme izotropik olmalıdır, yani özellikleri boyunca değişmeden kalmalıdır.

Tüm malzemeler izotropik değildir: elastik tepkisi belirli yön parametrelerine bağlı olanlar vardır.

Önceki segmentlerde analiz edilen deformasyon, bir malzemenin maruz kalabileceği birçok parçadan sadece biridir. Örneğin, basınç gerilmesi açısından, çekme geriliminin tersidir.

Verilen denklemler her iki durum için de geçerlidir ve Y'nin değerleri hemen hemen her zaman aynıdır (izotropik malzemeler).

Kayda değer bir istisna, sıkıştırmaya çekişten daha iyi direnç gösteren beton veya çimentodur. Bu nedenle, gerilmeye direnç gerektiğinde takviye edilmelidir. Çelik, gerilmeye veya çekmeye çok iyi direnç gösterdiği için bunun için belirtilen malzemedir.

Strese maruz kalan yapı örnekleri arasında bina sütunları ve kemerler, birçok eski ve modern uygarlıktaki klasik yapı öğeleri sayılabilir.

Şekil 4. Pont Julien, Güney Fransa'da MÖ 3'ten kalma bir Roma yapısı.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Bir müzik aletindeki 2.0 m uzunluğundaki çelik telin yarıçapı 0.03 mm'dir. Kablo 90 N gerilim altındayken: uzunluğu ne kadar değişir? Veri: Young'ın çelik modülü 200 x 10 ⁹ N / m ²

Çözüm

Enine kesit alanı A = πR ² = calcul hesaplanması gerekir . (0,03 x ^10-3 m) ² = 2,83 x ^10-9 m ²

Stres, birim alan başına strestir:

İp gergin olduğu için uzadığı anlamına gelir.

Yeni uzunluk L = L _o + DL'dir, burada L _o başlangıç ​​uzunluğudur:

U = 2,32 m

Egzersiz 2

Olan enine kesit alanı 2,0 m olan bir mermer sütun, ^2, 25.000 kg'lık bir kütleye destekler. Bul:

a) Omurgadaki çaba.

b) Gerinim.

c) Yüksekliği 12 m ise kolon ne kadar kısadır?

Çözüm

a) Sütundaki efor, 25000 kg ağırlığından kaynaklanmaktadır:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / sn ² = 245,000 N

Bu nedenle çaba:

b) Gerinim ΔL / L'dir:

c) ΔL, aşağıdaki şekilde verilen uzunluk değişimidir:

ΔL = 2,45 x ^10-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Mermer kolonun önemli ölçüde küçülmesi beklenmemektedir. Young modülünün mermerde çelikten daha düşük olmasına ve kolonun da çok daha büyük bir kuvveti desteklemesine rağmen uzunluğunun neredeyse değişmediğini unutmayın.

Öte yandan, önceki örneğin halatında, çeliğin Young modülü çok daha yüksek olmasına rağmen, varyasyon çok daha belirgindir.

Geniş enine kesit alanı kolona müdahale eder ve bu nedenle çok daha az deforme olabilir.

Thomas Young hakkında

Thomas Young'ın 1822 portresi. Thomas Lawrence / Kamu malı

Elastisite modülü, pek çok alanda bilime büyük katkılarda bulunan çok yönlü bir İngiliz bilim adamı olan Thomas Young'dan (1773-1829) adını almıştır.

Bir fizikçi olarak Young, yalnızca ünlü çift yarık deneyiyle ortaya çıkan ışığın dalga doğasını incelemekle kalmadı, aynı zamanda bir doktor, dilbilimci ve hatta ünlü Rosetta taşı üzerindeki Mısır hiyerogliflerinden bazılarının deşifre edilmesine yardımcı oldu.

Royal Society, İsveç Kraliyet Bilimler Akademisi, Amerikan Sanat ve Bilim Akademisi veya Fransız Bilimler Akademisi'nin diğer asil bilim kurumlarının bir üyesiydi.

Bununla birlikte, modelin konseptinin daha önce Leonhar Euler (1707-1873) tarafından geliştirildiği ve Giordano Riccati (1709-1790) gibi bilim adamlarının Young'ın modelini uygulamaya koyacak bir deney yaptığını belirtmek gerekir. .

Referanslar

1. Bauer, W. 2011. Mühendislik ve Bilimler için Fizik. Cilt 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fizik: Uygulamalı Prensipler. Altıncı Baskı. Prentice Hall. 238–249.