En küçük kareler yöntemi , fonksiyonların yaklaştırılmasında en önemli uygulamalardan biridir. Buradaki fikir, bir dizi sıralı çift verildiğinde, bu fonksiyonun verilere en iyi yaklaşmasını sağlayacak bir eğri bulmaktır. İşlev bir çizgi, ikinci dereceden bir eğri, bir kübik vb. Olabilir.
Yöntemin fikri, seçilen fonksiyon tarafından oluşturulan noktalar ile veri setine ait noktalar arasındaki koordinattaki (Y bileşeni) farklılıkların karelerinin toplamını en aza indirmekten ibarettir.
En küçük kareler yöntemi
Yöntemi vermeden önce, "daha iyi yaklaşım" ın ne anlama geldiğini netleştirmeliyiz. Bir n nokta kümesini en iyi temsil eden y = b + mx doğrusunu, yani {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)} aradığımızı varsayalım.
Önceki şekilde gösterildiği gibi, x ve y değişkenleri y = b + mx doğrusuyla ilişkilendirildiyse, x = x1 için karşılık gelen y değeri b + mx1 olacaktır. Ancak bu değer y'nin gerçek değerinden farklıdır, y = y1.
Düzlemde iki nokta arasındaki mesafenin aşağıdaki formülle verildiğini unutmayın:
Bunu akılda tutarak, verilen verilere en iyi yaklaşan y = b + mx doğrusunu seçmenin yolunu belirlemek için, noktalar arasındaki mesafelerin karelerinin toplamını en aza indiren doğrunun seçimini bir kriter olarak kullanmak mantıklı görünmektedir. ve düz.
(X1, y1) ve (x1, b + mx1) noktaları arasındaki mesafe y1- (b + mx1) olduğundan, problemimiz aşağıdaki toplamın minimum olacağı şekilde m ve b sayılarını bulmaya indirgenir:
Bu koşulu sağlayan çizgi, «en küçük kareler çizgisinin (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) noktalarına yaklaştırılması» olarak bilinir.
Problem elde edildikten sonra geriye kalan sadece en küçük kareler yaklaşımını bulmak için bir yöntem seçmektir. (X1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) noktalarının hepsi y = mx + b doğrusundaysa, bunların eşdoğrusal y olmalarına sahip oluruz:
Bu ifadede:
Son olarak, noktalar eşdoğrusal değilse, y-Au = 0 ve problem Öklid normunun minimum olacağı şekilde bir u vektörü bulmaya çevrilebilir.
Küçültücü vektör u bulmak sandığınız kadar zor değil. A, bir NX2 matrisi ve u, 2 x 1 matris olduğundan, vektör Au R bir vektör olduğu bilgisi , n ve R 'bir alt uzay olan A görüntü aittir , n iki daha büyük bir boyut ile.
Hangi prosedürün izleneceğini göstermek için n = 3 olduğunu varsayacağız. N = 3 ise, A'nın görüntüsü başlangıç noktasından geçen bir düzlem veya bir çizgi olacaktır.
Minimize edici vektör v olsun. Şekilde, A'nın görüntüsüne ortogonal olduğunda y-Au'nun küçültüldüğünü gözlemliyoruz.Yani, küçültme vektörü v ise, o zaman şöyle olur:
Sonra yukarıdakileri şu şekilde ifade edebiliriz:
Bu yalnızca şu durumlarda olabilir:
Son olarak, v için çözdüğümüzde:
Veri olarak verilen n nokta eşdoğrusal olmadığı sürece A t A tersinir olduğu için bunu yapmak mümkündür .
Şimdi, bir çizgi aramak yerine n veri noktasına daha iyi bir yaklaşım olacak bir parabol (ifadesi y = a + bx + cx 2 biçiminde olacak) bulmak isteseydik , prosedür aşağıda açıklandığı gibi olacaktır.
N veri noktası söz konusu parabolde olsaydı, bizde:
Sonra:
Benzer şekilde y = Au yazabiliriz. Tüm noktalar parabolde değilse, y-Au'nun herhangi bir u vektörü için sıfırdan farklı olduğu ve bizim sorunumuzun tekrar olduğu: R3'te normu --y-Au- olabildiğince küçük olacak şekilde bir u vektörü bulun .
Önceki prosedürü tekrarlayarak, aranan vektörün şuna varabiliriz:
Çözülmüş egzersizler
1. Egzersiz
(1,4), (-2,5), (3, -1) ve (4,1) noktalarına en iyi uyan doğruyu bulun.
Çözüm
Zorundayız:
Sonra:
Bu nedenle, noktalara en uygun çizginin şu şekilde verildiği sonucuna vardık:
Egzersiz 2
200 m yükseklikten bir nesnenin düştüğünü varsayalım. Düşerken aşağıdaki adımlar atılır:
Bir t süresi geçtikten sonra bahsedilen nesnenin yüksekliğinin şu şekilde verildiğini biliyoruz:
G'nin değerini elde etmek istersek, tabloda verilen beş noktaya daha iyi bir yaklaşım olan bir parabol bulabiliriz ve böylece t 2'ye eşlik eden katsayının (-1/2) g'ye makul bir yaklaşım olacağını elde ederiz . ölçümler doğrudur.
Zorundayız:
Ve sonra:
Dolayısıyla, veri noktaları aşağıdaki ikinci dereceden ifade ile uydurulur:
Yani, yapmanız gerekenler:
Bu, düzeltmeye oldukça yakın bir değerdir, g = 9,81 m / s 2'dir . Daha kesin bir g tahmini elde etmek için, daha kesin gözlemlerden başlamak gerekir.
Bu ne için?
Doğa bilimlerinde ya da sosyal bilimlerde ortaya çıkan problemlerde, farklı değişkenler arasında var olan ilişkileri bir takım matematiksel anlatımlarla yazmak uygundur.
Örneğin, iktisatta maliyet (C), gelir (I) ve karları (U) basit bir formül aracılığıyla ilişkilendirebiliriz:
Fizikte, yerçekiminin neden olduğu ivmeyi, bir nesnenin düştüğü zamanı ve nesnenin yüksekliğini yasa ile ilişkilendirebiliriz:
Önceki ifadede s o , söz konusu nesnenin başlangıç yüksekliğidir ve v o , başlangıç hızıdır.
Ancak, bunun gibi formüller bulmak kolay bir iş değildir; Farklı veriler arasındaki ilişkileri bulmak için çok sayıda veriyle çalışmak ve tekrar tekrar birkaç deney yapmak (elde edilen sonuçların sabit olduğunu doğrulamak için) genellikle görevdeki uzmana kalmıştır.
Bunu başarmanın yaygın bir yolu, bir düzlemde elde edilen verileri noktalar olarak temsil etmek ve bu noktalara en uygun şekilde yaklaşan sürekli bir işlevi aramaktır.
Verilen veriye "en iyi yaklaşan" işlevi bulmanın yollarından biri, en küçük kareler yöntemidir.
Ek olarak, alıştırmada da gördüğümüz gibi, bu yöntem sayesinde fiziksel sabitlere oldukça yakın tahminler elde edebiliriz.
Referanslar
- Charles W Curtis Doğrusal Cebir. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc
- Richar L Burden ve J.Douglas Faires. Sayısal Analiz (7ed). Thompson Learning.
- Stanley I. Grossman. Doğrusal Cebirin Uygulamaları. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Lineer Cebir. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO