Söz konusu matris, transpoze ile çarpıldığında özdeşlik matrisiyle sonuçlandığında ortogonal bir matris vardır . Bir matrisin tersi devrik değerine eşitse, orijinal matris ortogonaldir.
Ortogonal matrisler, satır sayısının sütun sayısına eşit olması özelliğine sahiptir. Ayrıca, sıra vektörleri birim ortogonal vektörlerdir ve transpoze sıra vektörleri de vardır.
Şekil 1. Ortogonal matris örneği ve geometrik nesneleri nasıl dönüştürdüğü. (Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır)
Bir ortogonal matris, bir vektör uzayının vektörleriyle çarpıldığında, izometrik bir dönüşüm, yani mesafeleri değiştirmeyen ve açıları koruyan bir dönüşüm üretir.
Ortogonal matrislerin tipik bir temsilcisi, rotasyon matrisleridir. Bir vektör uzayındaki ortogonal matrislerin dönüşümlerine ortogonal dönüşümler denir.
Kartezyen vektörleri tarafından temsil edilen noktaların dönme ve yansımasının geometrik dönüşümleri, dönüştürülmüş vektörlerin koordinatlarını elde etmek için orijinal vektörlere ortogonal matrisler uygulanarak gerçekleştirilir. Bu nedenle ortogonal matrisler bilgisayar grafik işlemede yaygın olarak kullanılmaktadır.
Özellikleri
Bir matris M diktir, eğer devrik M T ile çarpılırsa sonuç olarak birim matrisi I verir . Benzer şekilde, ortogonal bir matrisin orijinal matris tarafından transpoze edilmesinin çarpımı, kimlik matrisiyle sonuçlanır:
MM T = M T M = I
Önceki ifadenin bir sonucu olarak, bir ortogonal matrisin devrikinin ters matrisine eşit olduğuna sahibiz:
M T = M -1 .
Nxn boyutunun ortogonal matris seti, ortogonal O (n) grubunu oluşturur. Ve belirleyici +1 olan ortogonal matrislerin O (n) alt kümesi, Üniter Özel Matrisler Grubunu SU (n) oluşturur. SU (n) grubunun matrisleri, rotasyon grubu olarak da bilinen doğrusal dönüş dönüşümlerini üreten matrislerdir.
gösteri
Bir matrisin, ancak ve ancak satır vektörleri (veya sütun vektörleri) birbirlerine ve norm 1'e ortogonal olması durumunda ortogonal olduğunu göstermek istiyoruz.
Bir ortogonal matris nxn'nin satırlarının n boyutunun n ortonormal vektörleri olduğunu varsayalım. Eğer v 1 , v 2 ,…. İle gösteriliyorsa , V n'den n vektörü tutar:
Gerçekte satır vektörleri kümesinin, bir normu olan bir dikgen vektörler kümesidir.
Örnekler
örnek 1
İlk satırında v1 = (-1 0) vektörüne sahip olan ve ikinci satırında v2 = (0 1) vektörünün ortogonal bir matris olduğunu 2 x 2 matrisini gösterin .
Çözüm: M matrisi oluşturuldu ve devrik M T hesaplandı :
Bu örnekte, matris M kendi kendine yer değiştirmiştir, yani matris ve onun devri aynıdır. M'yi devrik M T ile çarpın :
MM T'nin kimlik matrisine eşit olduğu doğrulandı :
M matrisi bir vektörün veya noktanın koordinatlarıyla çarpıldığında, matrisin vektör veya nokta üzerinde yaptığı dönüşüme karşılık gelen yeni koordinatlar elde edilir.
Şekil nasıl 1 gösterileri M vektör dönüşümleri u içine u ' nasıl da ve M kırmızı çokgen içine mavi çokgen dönüştürür. Yana M dik olan, daha sonra mesafeler ve açılar koruyan bir dikgen dönüştürme vardır.
Örnek 2
Aşağıdaki ifadeyle verilen gerçeklerde 2 x 2 matrisiniz olduğunu varsayalım:
A, b, c ve d'nin gerçek değerlerini, M matrisi ortogonal bir matris olacak şekilde bulun .
Çözüm: Tanım olarak, bir matris, devrikiyle çarpılırsa, birim matris elde edilirse ortogonaldir. Sıraları sütunlarla değiştirerek, aktarılmış matrisin orijinalden elde edildiğini hatırlayarak, aşağıdaki eşitlik elde edilir:
Elimizde matris çarpımı yapmak:
Sol matrisin öğelerini sağdaki özdeşlik matrisinin öğeleriyle eşitleyerek, dört bilinmeyen a, b, c ve d olan dört denklem sistemi elde ederiz.
A, b, c ve d için trigonometrik oranlar sinüs ve kosinüs cinsinden aşağıdaki ifadeleri öneriyoruz:
Bu öneri ile ve temel trigonometrik özdeşlik nedeniyle, birinci ve üçüncü denklemler matris elemanlarının eşitliğinde otomatik olarak karşılanır. Üçüncü ve dördüncü denklemler aynıdır ve matris eşitliğinde önerilen değerlerin yerine geçtikten sonra şöyle görünür:
bu, aşağıdaki çözüme götürür:
Son olarak, ortogonal matris M için aşağıdaki çözümler elde edilir:
Çözümlerden birincisinin determinant +1 olduğuna ve bu nedenle SU (2) grubuna ait olduğuna, ikinci çözümün determinant -1 olduğuna ve bu nedenle bu gruba ait olmadığına dikkat edin.
Örnek 3
Aşağıdaki matris verildiğinde, ortogonal bir matrisimiz olması için a ve b'nin değerlerini bulun.
Çözüm: Verilen bir matrisin ortogonal olması için, devriği olan çarpım kimlik matrisi olmalıdır. Daha sonra, verilen matrisin transpoze matrisi ile matris çarpımı gerçekleştirilir ve aşağıdaki sonucu verir:
Ardından, sonuç 3 x 3 özdeşlik matrisi ile eşitlenir:
İkinci satırda, üçüncü sütunda (ab = 0) vardır, ancak a sıfır olamaz, çünkü aksi takdirde ikinci satır ve ikinci sütunun elemanlarının eşitliği yerine getirilemez. O zaman zorunlu olarak b = 0. Elimizdeki 0 değerini b yerine koyarsak:
Sonra denklem çözülür: 2a ^ 2 = 1, çözümleri: + ½√2 ve -½√2.
A için pozitif çözüm alınarak, aşağıdaki ortogonal matris elde edilir:
Okuyucu, satır vektörlerinin (ve ayrıca sütun vektörlerinin) ortogonal ve üniter, yani ortonormal olduğunu kolayca doğrulayabilir.
Örnek 4
Matris bu ABS bir Satır vektörlerdir v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) ve V3 = (0 0 1) ortogonal bir matristir. Ek olarak vektörlerin kanonik temel i, j, k'den u1 , u2 ve u3 vektörlerine dönüştürüldüğünü bulun .
Çözüm: Bir matrisin elemanının (i, j) devrik ile çarpılması, sıra (i) vektörünün devrik sütunun (j) ile skaler çarpımı olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca, matrisin ortogonal olması durumunda bu çarpım Kronecker deltasına eşittir:
Bizim durumumuzda şöyle görünüyor:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Bununla ortogonal bir matris olduğu gösterilmiştir.
Ayrıca u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) ve son olarak u3 = A k = (0, 0, -1)
Referanslar
- Anthony Nicolaides (1994) Belirleyiciler ve Matrisler. Yayını geç.
- Birkhoff ve MacLane. (1980). Modern Cebir, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Doğrusal cebire giriş. ESIC Editoryal.
- Dave Kirkby (2004) Matematik Bağlantısı. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Matematik: Bir Öğrencinin Hayatta Kalma Rehberi. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30 Saniyelik Matematik: Matematikte En Zihin Genişleyen 50 Teori. Ivy Press Limited.
- Vikipedi. Ortogonal matris. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
- Vikipedi. Ortogonal matris. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı