EYLEMSIZLIK MOMENTI: FORMÜLLER, DENKLEMLER VE HESAPLAMA ÖRNEKLERI - FIZIKSEL - 2025

Atalet momenti belirli bir dönme eksenine göre bir sert gövdesinin etrafında eksen adı geçen açısal hız değiştirme karşı direncini temsil eder. Bu kütle ve ayrıca dönme ekseninin konumu ile orantılıdır, çünkü gövde, geometrisine bağlı olarak, belirli eksenler etrafında diğerlerine göre daha kolay dönebilir.

Bir eksen etrafında dönebilen (birçok parçacıktan oluşan) büyük bir nesne varsayalım. Τ _net = ∑ r _i x F _{i ile} verilen bir tork veya moment üreten, Δm _i kütlesinin elemanına teğet olarak uygulanan bir F kuvvetinin etki ettiğini varsayalım . R _i vektörü , Δm _i'nin pozisyonudur (bkz. Şekil 2).

Şekil 1. Çeşitli şekillerin eylemsizlik momentleri. Kaynak: Wikimedia Commons.

Bu moment dönme düzlemine diktir (yön + k = kağıdı terk etme). Kuvvet ve radyal konum vektörü her zaman dik olduğundan, çapraz çarpım kalır:

τ _net = ∑ F _ben r _ben k = ∑ (Δm _ben bir _ben ) r _ben k = ∑ Δm _ben (bir _ben r _ben ) k

Şekil 2. Dönme halindeki sert bir katıya ait bir parçacık. Kaynak: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Cilt 1. Cengage Learning.

Radyal ivme torka katkıda bulunmadığından ivme a _i ivmenin teğetsel bileşenini temsil eder. Açısal ivmenin bir fonksiyonu olarak α, şunu belirtebiliriz:

Bu nedenle net tork şuna benzer:

τ _net = ∑ Δm _ben (α r _ben ² ) k = ( ∑ r _ben ² Δm _ben ) α k

Açısal ivme α tüm nesne için aynıdır, bu nedenle "i" alt simgesinden etkilenmez ve tam olarak I harfi ile sembolize edilen nesnenin eylemsizlik momenti olan toplamı bırakabilir:

Bu, ayrık bir kütle dağılımının eylemsizlik momentidir. Dağılım sürekli olduğunda, toplama bir integralla değiştirilir ve Δm, kütle farkı dm olur. İntegral, tüm nesne üzerinde gerçekleştirilir:

SI Uluslararası Sistemindeki atalet momenti birimleri kg xm ^2'dir . Skaler ve pozitif bir niceliktir, çünkü bir kütlenin ve bir mesafenin karesinin ürünüdür.

Hesaplama örnekleri

Yoğunluğu ρ sabit olan ve yoğunluğun kütle-hacim oranı olduğunu bilen çubuk, disk, küre veya başka bir genişletilmiş nesne gibi genişletilmiş bir nesne, kütle farkı dm şöyle yazılır:

İntegrali atalet momentinin yerine koyarsak, elimizde:

Bu, hacmi V ve konumu r , x, y ve z uzaysal koordinatlarının fonksiyonları olan üç boyutlu bir nesne için geçerli olan genel bir ifadedir . Sabit olduğunda yoğunluğun integralin dışında olduğuna dikkat edin.

Ρ yoğunluğu, yığın yoğunluğu olarak da bilinir, ancak nesne bir tabaka gibi çok düz veya çubuk gibi çok ince ve dar ise, diğer yoğunluk formları da kullanılabilir, bakalım:

- Çok ince bir levha için kullanılacak yoğunluk σ, yüzey yoğunluğu (birim alan başına kütle) ve dA alan farkıdır.

- Ve eğer sadece uzunluğun ilgili olduğu ince bir çubuk ise, referans olarak kullanılan eksene göre doğrusal kütle yoğunluğu λ ve bir uzunluk farkı kullanılır.

Aşağıdaki örneklerde, tüm nesneler katı (deforme olmayan) olarak kabul edilir ve tekdüze yoğunluğa sahiptir.

Merkezinden geçen bir eksene göre ince bir çubuğun atalet momenti

Burada, L uzunluğunda ve M kütlesinde ince, rijit, homojen bir çubuğun, ortamdan geçen bir eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayacağız.

İlk olarak, bir koordinat sistemi oluşturmak ve aşağıdaki gibi uygun geometriye sahip bir şekil oluşturmak gerekir:

Şekil 3. İnce bir çubuğun, merkezinden geçen dikey bir eksene göre eylemsizlik momentini hesaplamak için geometri. Kaynak: F. Zapata.

Çubuk ve y ekseni boyunca x ekseni, dönme ekseni olarak seçildi. İntegrali oluşturma prosedürü ayrıca çubuk üzerinde dm adı verilen, diferansiyel uzunluğu dx olan ve merkez x = 0'a göre gelişigüzel x konumunda bulunan bir kütle diferansiyelinin seçilmesini gerektirir.

Doğrusal kütle yoğunluğu tanımına göre λ:

Yoğunluk, M ve L için geçerli olan tek tip olduğundan, dm ve dx için de geçerlidir:

Öte yandan, kütle elemanı x konumundadır, bu nedenle tanımdaki bu geometriyi değiştirerek, sınırları koordinat sistemine göre çubuğun uçları olan belirli bir integrale sahip oluruz:

Doğrusal yoğunluğu λ = M / L ile ikame etmek:

Çubuğun başka bir dönme eksenine göre eylemsizlik momentini bulmak için, örneğin uçlarından birinden geçen biri, Steiner's teoremini kullanabilir (sonunda çözülen alıştırmaya bakın) veya gösterilene benzer doğrudan bir hesaplama yapabilirsiniz. burada, ancak geometri uygun şekilde değiştiriliyor.

Bir diskin, merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti

İhmal edilebilir kalınlıkta çok ince bir disk düz bir rakamdır. Kütle, A alanının tüm yüzeyine eşit olarak dağılmışsa, kütle yoğunluğu σ:

Hem dm hem de dA, şekilde gösterilen diferansiyel halkanın kütlesine ve alanına karşılık gelir. Tüm montajın y ekseni etrafında döndüğünü varsayacağız.

Diskin, her biri ilgili eylemsizlik momentine sahip birçok eşmerkezli yarıçap r halkasından oluştuğunu hayal edebilirsiniz. R yarıçapına ulaşana kadar tüm halkaların katkılarını ekleyerek, diskin toplam eylemsizlik momentine sahip olacağız.

Şekil 4. Eksenel eksene göre bir diskin eylemsizlik momentini hesaplamak için geometri. Kaynak: F. Zapata.

M, diskin tüm kütlesini temsil eder. Bir diskin alanı yarıçapına bağlıdır r:

R'ye göre türetme:

I tanımına yukarıdakileri koyarsak:

Σ = M / (π.R ² ) yerine geçerek şunu elde ederiz:

Çapı yaklaşık bir katı kürenin eylemsizlik momenti

R yarıçaplı bir küre, birbiri üzerine istiflenmiş bir dizi disk olarak düşünülebilir; burada sonsuz küçük kütleli dm, yarıçap r ve kalınlık dz olan her diskin, aşağıdakiler tarafından verilen bir eylemsizlik momenti vardır:

Bu diferansiyeli bulmak için, önceki bölümdeki formülü aldık ve sırasıyla dm ve r yerine M ve R'yi koyduk. Bunun gibi bir disk şekil 5'in geometrisinde görülebilir.

Şekil 5. R yarıçaplı katı bir kürenin, bir çaptan geçen bir eksene göre eylemsizlik momentini hesaplamak için geometri. Kaynak: F. Zapata.

Yığılmış disklerin tüm sonsuz küçük eylemsizlik momentlerinin toplanmasıyla, kürenin toplam eylemsizlik momenti elde edilir:

Aşağıdakilere eşdeğerdir:

İntegrali çözmek için dm'yi uygun şekilde ifade etmeniz gerekir. Her zaman olduğu gibi yoğunluktan elde edilir:

Diferansiyel diskin hacmi:

Baz alan πr ise diskin yüksekliğini, kalınlığını dz olan ² bu nedenle:

Ve önerilen integralin yerine şu şekilde görünür:

Ancak integral almadan önce, şekil 5'den de görülebileceği gibi, r'nin - diskin yarıçapının - z ve R'ye - kürenin yarıçapına - bağlı olduğunu gözlemlemeliyiz. Pisagor teoremini kullanarak:

Bu bizi şunlara götürür:

Tüm küre üzerinde integral almak için, z'nin –R ve R arasında değiştiğine dikkat edin, bu nedenle:

Basitleştirdikten sonra, ρ = M / V = ​​M / 'nin nihayet elde edildiğini bilmek:

Eksenel eksene göre katı silindirin atalet momenti

Bu nesne için, küre için kullanılana benzer bir yöntem kullanılır, ancak bu sefer, silindirin, sanki bir soğanın katmanlarıymış gibi, yarıçapı r, kalınlığı dr ve yüksekliği H olan silindirik kabuklardan oluştuğu düşünülürse daha basittir. .

Şekil 6. Eksenel eksene göre yarıçapı R olan katı bir silindirin eylemsizlik momentini hesaplamak için geometri. Kaynak: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Cilt 1. Cengage.

Silindirik bir katmanın hacmi dV:

Bu nedenle kabuk kütlesi:

Bu ifade, eylemsizlik momenti tanımında ikame edilir:

Yukarıdaki denklem, silindirin atalet momentinin uzunluğuna değil, yalnızca kütlesine ve yarıçapına bağlı olduğunu gösterir. L değişecek olsaydı, eksenel eksen etrafındaki eylemsizlik momenti aynı kalacaktı. Bu nedenle, silindirin I değeri önceden hesaplanan ince diskinki ile çakışır.

Merkezden geçen bir eksene göre dikdörtgen bir tabakanın eylemsizlik momenti

Yatay y ekseni, dönme ekseni olarak seçilmiştir. Aşağıdaki şekil, entegrasyonu gerçekleştirmek için gereken geometriyi göstermektedir:

Şekil 7. Levhaya paralel olan ve merkezinden geçen bir eksene göre dikdörtgen bir levhanın eylemsizlik momentini hesaplamak için geometri. Kaynak: F. Zapata.

Kırmızı ile işaretlenmiş alan öğesi dikdörtgendir. Alanı taban x yüksekliktir, bu nedenle:

Bu nedenle, kütle farkı:

Alan elemanından dönme eksenine olan mesafe gelince, her zaman z'dir. Tüm bunları eylemsizlik momentinin integraline koyarız:

Şimdi yüzey kütle yoğunluğu σ ile değiştirilir:

Ve kesinlikle şuna benziyor:

İnce çubuk gibi olduğuna dikkat edin.

Bir kare tabakanın merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti

L kenarına sahip bir kare için, bir dikdörtgen için geçerli olan önceki ifadede, L'ninki yerine b'nin değerini koymanız yeterlidir:

Atalet Momenti Teoremleri

Diğer eksenlere göre eylemsizlik momentlerinin hesaplanmasını basitleştirmek için özellikle yararlı iki teorem vardır, aksi takdirde simetri eksikliğinden dolayı bulunması zor olabilir. Bu teoremler:

Steiner teoremi

Paralel eksen teoremi olarak da adlandırılan bu, eksenler paralel olduğu sürece nesnenin kütle merkezinden geçen bir diğeriyle bir eksene göre eylemsizlik momentini ilişkilendirir. Bunu uygulamak için, her iki eksen arasındaki D mesafesini ve tabii ki nesnenin M kütlesini bilmek gerekir.

I _z , z eksenine göre uzatılmış bir nesnenin eylemsizlik momenti olsun, I _CM adı geçen nesnenin kütle merkezinden (CM) geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti, o zaman şu tatmin edilir:

Veya aşağıdaki şeklin gösteriminde: I _{z '} = I _z + Md ²

Şekil 8. Steiner teoremi veya paralel eksenler. Kaynak: Wikimedia Commons. Jack See

Dikey eksen teoremi

Bu teorem, düz yüzeylere uygulanır ve şu şekildedir: Bir düzlem nesnenin kendisine dik olan bir eksen etrafındaki eylemsizlik momenti, birinci eksene dik iki eksen etrafındaki eylemsizlik momentlerinin toplamıdır:

Şekil 9. Dikey eksen teoremi. Kaynak: F. Zapata.

Nesne, I _x ve I _y eşit olacak şekilde simetriye sahipse , o zaman şu doğrudur:

Egzersiz çözüldü

Şekil 1 (aşağıda ve sağda) ve şekil 10'da gösterildiği gibi, çubuğun uçlarından birinden geçen eksene göre eylemsizlik momentini bulun.

Şekil 10. Homojen bir çubuğun bir uçtan geçen bir eksen etrafındaki eylemsizlik momenti. Kaynak: F. Zapata.

Çözüm:

Geometrik merkezinden geçen bir eksen etrafında çubuğun eylemsizlik momentine zaten sahibiz. Çubuk homojen olduğu için, kütle merkezi bu noktada, dolayısıyla bu, Steiner'in teoremini uygulamak için I _CM'miz olacaktır.

Çubuğun uzunluğu L ise, z ekseni D = L / 2 mesafesindedir, bu nedenle:

Referanslar

1. Bauer, W. 2011. Mühendislik ve Bilimler için Fizik. Cilt 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Temel Fizik. Pearson. 190-200.
3. Paralel Eksen Teoremi. Kurtarıldı: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Bilim ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Cengage.
5. Sevilla Üniversitesi. Küresel katıların eylemsizlik momenti. Kurtarıldı: laplace.us.es.
6. Sevilla Üniversitesi. Bir parçacık sisteminin eylemsizlik momenti. Kurtarıldı: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Paralel eksen teoremi. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı