EULER NUMARASI VEYA E NUMARASI: DEĞERI, ÖZELLIKLERI, UYGULAMALARI - MATEMATIK - 2025

Euler numara veya numara e matematikte sayı tt ve diğer önemli numaraları ile birlikte çok sayıda bilimsel ve ekonomik uygulamalarda sıkça görünen tanınmış matematiksel sabittir.

Bilimsel bir hesap makinesi, e sayısı için aşağıdaki değeri döndürür:

Şekil 1. Euler sayısı Science'da sıkça görülmektedir. Kaynak: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Ancak daha birçok ondalık sayı bilinmektedir, örneğin:

e = 2,71828182845904523536…

Ve modern bilgisayarlar e sayısı için trilyonlarca ondalık basamak buldular.

Bu irrasyonel bir sayıdır, yani tekrar eden bir model olmadan sonsuz sayıda ondalık basamağa sahip olduğu anlamına gelir (1828 dizisi başlangıçta iki kez görünür ve artık tekrarlanmaz).

Ve aynı zamanda, e sayısının iki tam sayının bölümü olarak elde edilemeyeceği anlamına gelir.

Tarih

E sayısı bilim adamı Jacques Bernoulli tarafından 1683 yılında bileşik faiz sorununu incelerken tanımlanmıştı, ancak daha önce 1618 civarında logaritmaları icat eden İskoç matematikçi John Napier'in çalışmalarında dolaylı olarak ortaya çıkmıştı.

Ancak, 1727'de ona e adını veren ve özelliklerini yoğun bir şekilde inceleyen Leonhard Euler'di. Bu nedenle, aynı zamanda Euler sayısı olarak da bilinir ve aynı zamanda şu anda kullanılan doğal logaritmalar (bir üs) için doğal bir temel olarak bilinir.

E sayısı ne kadar?

E sayısı değerinde:

e = 2,71828182845904523536…

Üç nokta, sonsuz sayıda ondalık basamak olduğu anlamına gelir ve aslında bugünün bilgisayarlarında milyonlarcası bilinir.

E numarasının temsilleri

Aşağıda tanımladığımız e'yi tanımlamanın birkaç yolu vardır:

Sınır olarak e sayısı

E sayısının ifade edildiği çeşitli yollardan biri, bilim adamı Bernoulli'nin bileşik faiz konusundaki çalışmalarında bulduğu yol:

Burada n değerini çok büyük bir sayı yapmanız gerekir.

Bir hesap makinesi yardımıyla, n çok büyük olduğunda, önceki ifadenin yukarıda verilen e değerine yöneldiğini kontrol etmek kolaydır.

Elbette kendimize n'nin ne kadar büyük yapılabileceğini sorabiliriz, o halde hadi yuvarlak sayıları deneyelim, örneğin:

n = 1000; 10.000 veya 100.000

İlk durumda e = 2.7169239… elde ederiz. İkinci e = 2.7181459… ve üçüncüde e: 2.7182682 değerine çok daha yakındır. N = 1.000.000 veya daha büyük olduğunda, yaklaşımın daha da iyi olacağını şimdiden hayal edebiliyoruz.

Matematik dilinde, n'yi çok büyük bir değere yaklaştırma prosedürüne sonsuzluk sınırı denir ve şu şekilde gösterilir:

Sonsuzluğu belirtmek için "∞" sembolü kullanılır.

Toplam olarak e sayısı

Bu işlemle e sayısını da tanımlamak mümkündür:

Paydada görünen rakamlar: 1, 2, 6, 24, 120… n! İşlemine karşılık gelir, burada:

Ve tanım gereği 0! = 1.

Ne kadar çok ek eklenirse, e sayısına o kadar kesin olarak ulaşıldığını kontrol etmek kolaydır.

Hesap makinesi ile daha fazla eklenti ekleyerek bazı testler yapalım:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Toplama ne kadar çok terim eklenirse, sonuç o kadar çok e'ye benzer.

Matematikçiler, toplama sembolü Σ kullanarak birçok terimi içeren bu toplamlar için kompakt bir gösterim tasarladılar:

Bu ifade şu şekilde okunur "n = 0'dan n faktöriyel arasında 1'in sonsuzluğuna".

Geometrik açıdan e sayısı

E sayısı, eğrinin grafiğinin altındaki alanla ilgili bir grafik temsiline sahiptir:

y = 1 / x

X'in değerleri 1 ile e arasında olduğunda, bu alan aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi 1'e eşittir:

Şekil 2. e sayısının grafik gösterimi: 1 / x eğrisinin altında x = 1 ile x = e arasındaki alan 1 değerindedir. Kaynak: F. Zapata.

E sayısının özellikleri

E sayısının bazı özellikleri şunlardır:

- İrrasyoneldir, yani basitçe iki tam sayıyı bölerek elde edilemez.

-E sayısı aynı zamanda aşkın bir sayıdır, yani e'nin herhangi bir polinom denklemi için bir çözüm olmadığı anlamına gelir.

-Matematik alanındaki diğer dört ünlü sayı ile ilgilidir: Euler kimliği aracılığıyla π, i, 1 ve 0:

-Sözde karmaşık sayılar e ile ifade edilebilir.

-Şimdiki zamanın doğal veya doğal logaritmalarının temelini oluşturur (John Napier'in orijinal tanımı biraz farklıdır).

-Doğal logaritması 1'e eşit olan tek sayıdır, yani:

Uygulamalar

İstatistik

Normal veya Gauss, Poisson ve diğerleri gibi çeşitli dağılımlarda görülen e sayısı, olasılık ve istatistik alanında çok sık görülür.

Mühendislik

Mühendislikte sık görülür, çünkü üstel fonksiyon y = e ^x mekanikte ve elektromanyetizmada mevcuttur. Bahsedebileceğimiz birçok uygulama arasında:

-Uçlarından sarkan bir kablo veya zincir, aşağıdaki şekilde verilen eğrinin şeklini alır:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-Başlangıçta boşalmış bir kapasitör C, seri olarak bir direnç R'ye ve bir voltaj kaynağı V şarj etmek için bağlanır, aşağıdaki şekilde verilen t süresinin bir fonksiyonu olarak belirli bir Q yükü alır:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC} )

Biyoloji

A ve B sabitli üstel fonksiyon y = Ae ^Bx , hücre büyümesini ve bakteri büyümesini modellemek için kullanılır.

Fiziksel

Nükleer fizikte, radyoaktif bozunma ve yaş tayini, radyokarbon tarihleme ile modellenir.

ekonomi

Bileşik faizin hesaplanmasında e sayısı doğal olarak ortaya çıkar.

Eğer para P belirli bir miktar olduğunu varsayalım _o yılda ben% faiz oranı yatırım yapmak.

Parayı 1 yıllığına bırakırsanız, bu süreden sonra şunlara sahip olacaksınız:

Bir yıl daha dokunmadan sonra, sahip olacaksınız:

Ve n yıldır bu şekilde devam ediyor:

Şimdi e'nin tanımlarından birini hatırlayalım:

Biraz P'nin ifadesine benziyor, bu yüzden bir ilişki olmalı.

Nominal faiz oranını n zaman dilimine dağıtacağız, bu şekilde bileşik faiz oranı i / n olacaktır:

Bu ifade biraz daha sınırımıza benziyor, ancak yine de tam olarak aynı değil.

Bununla birlikte, bazı cebirsel işlemlerden sonra, bu değişken değişikliğini yaparak gösterilebilir:

Paramız P şu şekildedir:

Ve küme parantezleri arasında kalan, h harfi ile yazılsa bile, e sayısını tanımlayan sınırın argümanına eşittir, sadece sınır eksiktir.

H → ∞ yapalım ve küme parantezleri arasında kalan e sayısı olur. Bu, paramızı çekmek için sonsuz uzun bir süre beklememiz gerektiği anlamına gelmez.

Yakından bakarsak, h = n / i yaparak ve ∞ eğilimi göstererek, aslında yaptığımız şey faiz oranını çok çok küçük zaman dilimlerine yaymaktır:

i = n / h

Buna sürekli bileşik oluşturma denir. Böyle bir durumda para miktarı şu şekilde kolayca hesaplanır:

Yıllık faiz oranı nerede? Örneğin, sürekli aktifleştirme yoluyla yılda% 9 oranında 12 € yatırırken, bir yıl sonra şunlara sahip olursunuz:

1,13 € karla.

Referanslar

1. Matematiğin tadını çıkarın. Bileşik faiz: Periyodik kompozisyon. Kurtarıldı: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1. Çeşitlendirilmiş. CO-BO sürümleri.
3. Garcia, M. Temel analizde e sayısı. Elde edildi: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Bir değişkenin hesaplanması. 9. Baskı. McGraw Hill.