KARMAŞIK SAYILAR: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER, IŞLEMLER - MATEMATIK - 2025

Karmaşık sayılar gerçek sayılar ve negatif sayılar çiftleri kökler dahil polinomların tüm kökleri kapsayan sayısal ayarlanır. Bu kökler, gerçek sayılar kümesinde yoktur, ancak karmaşık sayılarda çözüm vardır.

Karmaşık sayı, gerçek bir bölümden ve "hayali" olarak adlandırılan bir bölümden oluşur. Örneğin gerçek kısma a ve sanal kısım ib, a ve b gerçek sayıları ve hayali birim olarak "i" olarak adlandırılır. Bu şekilde karmaşık sayı şu biçimi alır:

Şekil 1. - Karmaşık bir sayının gerçek kısım ve sanal kısım cinsinden binom gösterimi. Kaynak: Pixabay.

Karmaşık sayılara örnek olarak 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i verilebilir. Ancak onlarla çalışmadan önce, bu ikinci dereceden denklemi göz önünde bulundurarak, hayali birim i'nin nereden kaynaklandığını görelim:

x ² - 10x + 34 = 0

Burada a = 1, b = -10 ve c = 34.

Çözümü belirlemek için çözme formülünü uygularken aşağıdakileri buluruz:

√-36'nın değeri nasıl belirlenir? Negatif bir miktarın karesinin üretildiği bir gerçek sayı yoktur. Sonra bu denklemin gerçek bir çözümü olmadığı sonucuna varılır.

Ancak şunu yazabiliriz:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Belirli bir x değerini şöyle tanımlarsak:

x ² = -1

Yani:

x = ± √-1

Ve yukarıdaki denklemin bir çözümü olacaktır. Bu nedenle, hayali birim şu şekilde tanımlandı:

i = √-1

Ve bu yüzden:

√-36 = 6i

Rönesans Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) ve Raffaele Bombelli (1526-1572) başta olmak üzere birçok antik çağ matematikçisi benzer problemleri çözmek için çalıştı.

Yıllar sonra René Descartes (1596-1650), örnekte √-36 gibi “hayali” miktarları adlandırdı. Bu nedenle √-1 hayali birim olarak bilinir.

Karmaşık sayıların özellikleri

-Karmaşık sayılar kümesi C olarak belirtilir ve gerçek sayılar R ile sanal sayılar Im'i içerir. Sayı kümeleri, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir Venn şemasında temsil edilir:

Şekil 2. Sayı kümelerinin Venn diyagramı. Kaynak: F. Zapata.

-Tüm karmaşık sayılar gerçek ve hayali bir bölümden oluşur.

-Karmaşık sayının sanal kısmı 0 olduğunda, saf bir gerçek sayıdır.

-Karmaşık sayının gerçek kısmı 0 ise, sayı tamamen sanaldır.

-İki karmaşık sayı, gerçek ve sanal kısımları aynıysa eşittir.

-Karmaşık sayılarla, bilinen toplama, çıkarma, çarpma, çarpma ve geliştirme işlemleri gerçekleştirilir ve başka bir karmaşık sayı ile sonuçlanır.

Karmaşık sayıların gösterimi

Karmaşık sayılar çeşitli şekillerde gösterilebilir. İşte ana olanlar:

- Binom formu

Başlangıçta verilen formdur, burada z karmaşık sayıdır, a gerçek kısımdır, b hayali kısımdır ve i hayali birimdir:

Veya ayrıca:

Karmaşık sayının grafiğini çizmenin bir yolu, bu şekilde gösterilen karmaşık düzlemdir. Im hayali eksen dikey iken gerçek eksen yataydır ve Re olarak gösterilir.

Karmaşık sayı z, gerçek düzlemin noktalarıyla yapıldığı gibi, bu düzlemde (x, y) veya (a, b) koordinatlarının bir noktası olarak temsil edilir.

Başlangıç ​​noktasından z noktasına olan mesafe, r olarak gösterilen karmaşık sayının modülüdür, φ ise r'nin gerçek eksenle yaptığı açıdır.

Şekil 3. Karmaşık düzlemdeki karmaşık sayının temsili. Kaynak: Wikimedia Commons.

Bu temsil, gerçek düzlemdeki vektörlerin temsiliyle yakından ilgilidir. R'nin değeri, karmaşık sayının modülüne karşılık gelir.

- Kutup şekli

Kutupsal form, karmaşık sayıyı r ve φ değerlerini vererek ifade etmekten oluşur. Şekle bakarsak, r'nin değeri bir dik üçgenin hipotenüsüne karşılık gelir. Bacaklar a ve b veya x ve y değerindedir.

Binom veya iki terimli formdan, kutupsal forma şu şekilde geçebiliriz:

Φ açısı, yatay eksen veya sanal eksen ile r segmentinin oluşturduğu açıdır. Karmaşık sayı argümanı olarak bilinir. Böylece:

2π radyan değerinde olan bir dönüşün her döndürüldüğünde r'nin tekrar aynı pozisyonda olduğu hesaba katılarak, argümanın sonsuz değerleri vardır. Bu genel şekilde, Arg (z) ile gösterilen z argümanı şu şekilde ifade edilir:

Burada k bir tamsayıdır ve döndürülen dönüş sayısını belirtmek için kullanılır: 2, 3, 4…. İşaret, saat yönünde veya saat yönünün tersine ise dönme yönünü gösterir.

Şekil 4. Karmaşık düzlemdeki karmaşık sayının kutupsal gösterimi. Kaynak: Wikimedia Commons.

Kutupsal formdan iki terimli forma geçmek istiyorsak, trigonometrik oranları kullanırız. Önceki şekilden şunu görebiliriz:

x = r cos φ

y = r günah φ

Bu şekilde z = r (cos φ + i sin φ)

Şu şekilde kısaltılır:

z = r cis φ

Karmaşık sayı örnekleri

Aşağıdaki karmaşık sayılar iki terimli biçimde verilmiştir:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Ve bunlar sıralı bir çift şeklinde:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Son olarak, bu grup polar veya trigonometrik formda verilmiştir:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Onlar ne için?

Karmaşık sayıların kullanışlılığı, başlangıçta gösterilen ikinci dereceden denklemi çözmenin ötesine geçer, çünkü bunlar mühendislik ve fizik alanında, özellikle aşağıdaki alanlarda çok önemlidir:

-Elektromanyetik dalgaların incelenmesi

-Alternatif akım ve gerilimin analizi

-Her türlü sinyalin modellenmesi

- Zamanın hayali bir büyüklük olarak kabul edildiği görelilik teorisi.

Karmaşık sayı işlemleri

Karmaşık sayılarla gerçek olanlarla yapılan tüm işlemleri gerçekleştirebiliriz. Sayılar toplama ve çıkarma gibi binom biçiminde gelirse bazılarının yapılması daha kolaydır. Tersine, çarpma ve bölme, kutupsal formda yapılırsa daha basittir.

Hadi bazı örneklere bakalım:

- Örnek 1

Z ₁ = 2 + 5i ve z ₂ = -3 -8i ekleyin

Çözüm

Gerçek kısımlar hayali kısımlardan ayrı olarak eklenir:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Örnek 2

Z ₁ = 4 cis 45º ve z ₂ = 5 cis 120º ile çarpın

Çözüm

Polar veya trigonometrik formdaki iki karmaşık sayının çarpımının şu şekilde verildiği gösterilebilir:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Buna göre:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Uygulama

Karmaşık sayıların basit bir uygulaması, makalenin başında gösterilene benzer bir polinom denkleminin tüm köklerini bulmaktır.

X ² - 10x + 34 = 0 denklemi durumunda , çözme formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bu nedenle çözümler şunlardır:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Referanslar

1. Earl, R. Karmaşık sayılar. Kurtarıldı: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1. Çeşitlendirilmiş. CO-BO sürümleri.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematik konularının seçimi. Monfort Yayınları.
4. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
5. Vikipedi. Karışık sayılar. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı