BILEŞIK SAYILAR: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Bileşikler numaralar ikiden fazla bölücüler sahip olan tam sayılardır. Yakından bakarsak, tüm sayılar en azından kendilerine ve 1'e bölünebilir. Sadece bu iki bölenlere sahip olanlar asal olarak adlandırılır ve daha fazlasına sahip olanlar bileşiktir.

Sadece 1 ile 2 arasında bölünebilen 2 sayısına bakalım. 3 sayısının iki bölen de vardır: 1 ve 3. Dolayısıyla, ikisi de asaldır. Şimdi tam olarak 2, 3, 4, 6 ve 12'ye bölebileceğimiz 12 sayısına bakalım. 5 bölenle 12 bileşik bir sayıdır.

Şekil 1. Mavi asal sayılar, kırmızı renkli bileşik sayılarla değil, yalnızca tek bir nokta satırı ile temsil edilebilir. Kaynak: Wikimedia Commons.

Ve diğerlerini bölen 1 numaraya ne olur? Pekala, asal değildir, çünkü iki bölen yoktur ve bileşik değildir, bu nedenle 1 bu iki kategoriden hiçbirine girmez. Ama bunu yapan çok daha fazla sayı var.

Bileşik sayılar, asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir ve bu ürün, çarpanların sıralaması dışında her sayı için benzersizdir. Bu, Yunan matematikçi Öklid (MÖ 325-365) tarafından kanıtlanan temel aritmetik teoremiyle sağlanır.

Çeşitli şekillerde ifade edebileceğimiz 12 numaraya geri dönelim. Hadi biraz deneyelim:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Kalın olarak vurgulanan şekiller, asal sayıların ürünleridir ve değişen tek şey çarpanların sırasıdır, bunun çarpımı değiştirmediğini biliyoruz. Diğer formlar, 12'yi ifade etmek için geçerli olmasına rağmen, yalnızca asallardan oluşmaz.

Bileşik sayı örnekleri

Bir kompozit sayıyı asal çarpanlarına ayırmak istiyorsak, onu asal sayılar arasında bölme tam olacak, yani geri kalanı 0 olacak şekilde bölmeliyiz.

Bu prosedür, asal çarpanlara ayırma veya kanonik ayrıştırma olarak adlandırılır. Asal faktörler pozitif üslere yükseltilebilir.

570 sayısını, bunun çift olduğuna ve bu nedenle asal sayı olan 2'ye bölünebileceğine dikkat çekerek çözeceğiz.

Soldaki sayıyı sağdaki bölücülerden ayırmak için bir çubuk kullanacağız. İlgili bölümler elde edildikçe numaranın altına yerleştirilir. Sol sütundaki son rakam 1 olduğunda ayrıştırma tamamlanmıştır:

570 │2
285 │

2'ye bölündüğünde, bölüm 285'tir ve 5'e bölünebilir, 5 ile biten başka bir asal sayı.

570 │2
285 │5
57 │

57, 3'e bölünebilir, yine bir asaldır, çünkü 5 + 7 = 12 rakamlarının toplamı 3'ün katıdır.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Sonunda, bölenleri 19 ve 1 olan asal sayı olan 19 elde ederiz:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

1'i elde ederek 570'i şu şekilde ifade edebiliriz:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Ve aslında 4 asal sayının çarpımı olduğunu görüyoruz.

Bu örnekte 2'ye bölmeye başlıyoruz, ancak aynı faktörler (başka bir sırada), örneğin 5'e bölerek başlasaydık elde edilirdi.

Şekil 2. Bileşik sayı 42, ağaç şeklindeki bir diyagram kullanılarak da ayrıştırılabilir. Kaynak: Wikimedia Commons.

Bölünebilirlik kriterleri

Bileşik bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için onu tam olarak bölmek gerekir. Asal sayılar arasındaki bölünebilme kriteri, bir sayının bir diğeriyle tam olarak ne zaman bölünebileceğini, denemek veya kanıtlamak zorunda kalmadan bilmeye izin veren kurallardır.

- 2'ye bölünebilirlik

Tüm çift sayılar, 0 ile bitenler veya çift sayılar 2'ye bölünebilir.

- 3'e bölünebilirlik

Bir sayının rakamlarının toplamı 3'ün katı ise, bu durumda sayı da 3'e bölünebilir.

- 5'e bölünebilirlik

0 veya 5 ile biten sayılar 5'e bölünebilir.

-7 ile bölünebilirlik

Bir sayı, son basamağı ayırırken, onu 2 ile çarpıp kalan sayıyı çıkarırken, elde edilen değer 7'nin katı ise, 7'ye bölünebilir.

Bu kural öncekilerden biraz daha karmaşık görünüyor, ancak gerçekte o kadar da değil, o halde bir örneğe bakalım: 98, 7'ye bölünebilir mi?

Talimatları takip edelim: 8 olan son rakamı ayırıyoruz, onu 2 ile çarpıyoruz, bu da 16'yı veriyor. 8'i ayırırken kalan sayı 9'dur. 16 - 9 = 7'yi çıkarıyoruz. 7, kendisinin bir katı olduğu için 98 bölünebilir 7 arasında.

11 ile bölünebilirlik

Çift konumdaki (2, 4, 6…) sayıların toplamı, tek konumdaki (1, 3, 5, 7…) sayıların toplamından çıkarılırsa ve 0 veya 11'in katı elde edilirse, sayı 11'e bölünebilir.

11'in ilk katları kolayca belirlenir: 11, 22, 33, 44… 99'dur. Ama dikkatli olun, 111 değil, 110 değil.

Örnek olarak, 143'ün 11'in katı olup olmadığına bakalım.

Bu sayının 3 hane vardır, tek çift hane 4 (ikinci), iki tek hane 1 ve 3 (birinci ve üçüncü) ve toplamları 4'tür.

Her iki toplam da çıkarılır: 4-4 = 0 ve 0 elde edildiğinden, 143'ün 11'in katı olduğu ortaya çıkar.

Bölünebilirlik 13

Birler basamağı olmayan sayı, bu basamağın 9 katından çıkarılmalıdır. Sayım 0 veya 13'ün katı döndürürse, sayı 13'ün katıdır.

Örnek olarak, 156'nın 13'ün katı olduğunu doğrulayacağız. Birler basamağı 6 ve onsuz kalan sayı 15'dir. 6 x 9 = 54'ü çarptık ve şimdi 54 - 15 = 39 çıkarıyoruz.

Ancak 39, 3 x 13'tür, dolayısıyla 56, 13'ün katıdır.

Birbirlerine asal sayılar

İki veya daha fazla asal veya bileşik sayı, asal veya eş asal olabilir. Bu, sahip oldukları tek ortak bölenin 1 olduğu anlamına gelir.

Koprimler söz konusu olduğunda hatırlanması gereken iki önemli özellik vardır:

-İki, üç ve daha fazla ardışık sayı her zaman birbirine asaldır.

- Aynı şey iki, üç veya daha fazla ardışık tek sayı için de söylenebilir.

Örneğin 15, 16 ve 17 birbirlerine asal sayılardır ve 15, 17 ve 19 da öyle.

Bir bileşik sayının kaç bölenine sahip olduğunu nasıl bilebilirim?

Bir asal sayının iki bölen, aynı sayı ve 1'dir. Ve bir bileşik sayının kaç bölen vardır? Bunlar kuzenler veya bileşikler olabilir.

N kanonik ayrışması ile ifade edilen bileşik bir sayı olsun:

N = bir ⁿ . b ^m . c ^p … r ^k

Burada a, b, c… r asal çarpanlar ve n, m, p… k ilgili üsler. N'nin sahip olduğu C bölenlerinin sayısı şu şekilde verilir:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

C ile = asal bölenler + bileşik bölenler + 1

Örneğin 570, şu şekilde ifade edilir:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Tüm asal çarpanlar 1'e yükseltilir, bu nedenle 570:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 bölen

Zaten bildiğimiz bu 10 bölen: 1, 2, 3, 5, 19 ve 570. Bileşik sayılar olan 10 bölen daha eksik: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 ve 285. Asal faktörlere ayrışmayı gözlemleyerek ve bu faktörlerin kombinasyonlarını birlikte çarparak bulunurlar.

Çözülmüş egzersizler

- 1. Egzersiz

Aşağıdaki sayıları asal çarpanlara ayırın:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Çözüm

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Çözüm b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Çözüm c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Çözüm d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Egzersiz 2

Aşağıdaki sayıların birbirine asal olup olmadığını öğrenin:

6, 14, 9

Çözüm

-6'nın bölenleri: 1, 2, 3, 6

- 14'e gelince, şu şekilde bölünebilir: 1, 2, 7, 14

-Son olarak 9'un bölenleri vardır: 1, 3, 9

Ortak yönleri olan tek bölen 1'dir, bu nedenle birbirlerine asaldırlar.

Referanslar

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik. Baskılar ve Dağıtım Kodeksi.
2. Byju's. Asal ve bileşik sayılar. Byjus.com adresinden kurtarıldı.
3. Asal ve bileşik sayılar. Kurtarıldı: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Bölünebilirlik kriterleri. Kurtarıldı: smartick.es.
5. Vikipedi. Bileşik sayılar. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.