TAM SAYILAR: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Tam sayılar , nesnelerin tamamlanmış olup olmadığını saymak için yararlı sayılar kümesidir. Ayrıca belirli bir referans yerinin bir tarafında ve diğer tarafında bulunanları saymak için.

Ayrıca tam sayılarla, bir sayı ile ondan daha büyük bir sayı arasındaki çıkarma veya farkı gerçekleştirebilirsiniz, örneğin sonuç bir borç olarak kapatılır. Kazanç ve borç arasındaki ayrım sırasıyla + ve - işaretleriyle yapılır.

Şekil 1. Tam sayılar için sayı doğrusu. Kaynak: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Bu nedenle, tam sayılar kümesi şunları içerir:

-Pozitif tamsayılar, önünde + işaretiyle yazılır veya basitçe işaretsizdir, çünkü pozitif oldukları da anlaşılır. Örneğin: +1, +2, + 3… vb.

-İşaretin ilgisiz olduğu 0, çünkü onu bir miktardan çıkarmak için onu toplamanın bir önemi yok. Fakat tamsayıların referansı olduğu için 0 çok önemlidir: Şekil 1'de gördüğümüz gibi bir tarafta pozitifler ve diğer tarafta negatifler.

-Negatif tamsayılar, her zaman işaretinden önce yazılmalıdır - çünkü onlarla birlikte borçlar ve referansın diğer tarafındaki tüm tutarlar ayırt edilir. Negatif tam sayı örnekleri şunlardır: -1, -2, -3… ve daha sonra.

Tam sayılar nasıl temsil edilir?

Başlangıçta tam sayıları set gösterimiyle temsil ediyoruz: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, yani listeler ve organize. Ancak sayı doğrusu tarafından kullanılan çok kullanışlı bir temsildir. Bu, üzerinde 0'ın işaretlendiği ve aynı bölümlere ayrıldığı, genellikle yatay olan bir çizgi çizmeyi gerektirir:

Şekil 2. Tam sayıların sayı doğrusunda gösterimi. 0'dan sağa pozitif tamsayılar ve 0'dan sola negatif olanlar. Kaynak: F. Zapata.

Negatifler 0'ın soluna, pozitifler sağa gider. Sayı doğrusundaki oklar, sayıların sonsuza gittiğini sembolize eder. Herhangi bir tam sayı verildiğinde, daha büyük veya daha az olanı bulmak her zaman mümkündür.

Bir tamsayının mutlak değeri

Bir tamsayının mutlak değeri, sayı ile 0 arasındaki mesafedir. Ve mesafeler her zaman pozitiftir. Bu nedenle, negatif tamsayının mutlak değeri, eksi işareti olmayan sayıdır.

Örneğin, -5'in mutlak değeri 5'tir. Mutlak değer aşağıdaki gibi çubuklarla gösterilir:

--5- = 5

Görselleştirmek için, sayı doğrusundaki -5'ten 0'a kadar olan boşlukları saymanız yeterlidir. Pozitif bir tamsayının mutlak değeri aynı sayı olsa da, örneğin - + 3- = 3, çünkü 0'dan uzaklığı 3 boşluklu:

Şekil 3. Bir tam sayının mutlak değeri her zaman pozitif bir niceliktir. Kaynak: F. Zapata.

Özellikleri

-Tam sayılar kümesi Z olarak belirtilir ve doğal sayılar kümesini içerir, elemanları sonsuzdur.

-Bir tam sayı ve onu takip eden (veya ondan önce gelen) her zaman birlik içinde farklılaşır. Örneğin, 5'ten sonra 6 gelir, aralarındaki fark 1'dir.

-Her tamsayının bir öncülü ve bir halefi vardır.

-Herhangi bir pozitif tamsayı 0'dan büyüktür.

Negatif bir tam sayı her zaman 0'dan küçüktür ve herhangi bir pozitif sayıdır. Örneğin -100 sayısını alın, bu 2'den küçük, 10'dan ve 50'den. Ama aynı zamanda -10, -20 ve -99'dan küçük ve -200'den büyük.

- 0 ne negatif ne de pozitif olduğu için işaret dikkate alınmaz.

-Tam sayılarla, doğal sayılarla yapılan işlemlerin aynısını gerçekleştirebilirsiniz: toplama, çıkarma, çarpma, güçlendirme ve daha fazlası.

-Belirli bir x tamsayısının karşısındaki tamsayı –x'dir ve bir tamsayının zıttı toplamı 0'dır:

x + (-x) = 0.

Tamsayılarla işlemler

- Toplam

-Eklenecek sayılar aynı işarete sahipse mutlak değerleri toplanır ve sonuç eklerin sahip olduğu işareti ile yerleştirilir. İşte bazı örnekler:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Rakamlar farklı bir işarete sahipse, mutlak değerler çıkarılır (en düşükten en yüksek) ve sonuç, aşağıdaki gibi en yüksek mutlak değere sahip sayının işaretiyle yerleştirilir:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Tam sayıların toplamının özellikleri

-Toplam değişmeli olduğundan, toplananların sırası toplamı değiştirmez. A ve b iki tam sayı olsun, a + b = b + a olduğu doğrudur

-0, tam sayıların toplamının nötr öğesidir: a + 0 = a

-Aktına eklenen herhangi bir tam sayı 0'dır. + A'nın tersi –a'dır ve tersine –a'nın tersi + a'dır. Bu nedenle: (+ a) + (-a) = 0.

Şekil 2. Tam sayıların toplanması için işaretler kuralı. Kaynak: Wikimedia Commons.

- Çıkarma

Tam sayıları çıkarmak için, bu kurala rehberlik etmek gerekir: çıkarma, bir sayının zıttıyla toplamasına eşdeğerdir. A ve b iki sayı olsun, o zaman:

a - b = a + (-b)

Örneğin, aşağıdaki işlemi yapmanız gerektiğini varsayalım: (-3) - (+7), sonra:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Çarpma işlemi

Tam sayıların çarpımı, işaretler için belirli kuralları izler:

-Aynı işaretli iki sayının çarpımı her zaman pozitiftir.

-Farklı işaretli iki sayı çarpıldığında sonuç her zaman negatiftir.

-Ürünün değeri, ilgili mutlak değerlerin çarpılmasına eşittir.

Hemen yukarıdakileri açıklığa kavuşturan bazı örnekler:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Tamsayıların çarpımının özellikleri

-Çarpma değişmeli. A ve b iki tam sayı olsun, şu doğrudur: ab = ba, şu şekilde de ifade edilebilir:

-Çarpmanın nötr öğesi 1'dir. A bir tam sayı olsun, dolayısıyla a.1 = 1

- 0 ile çarpılan herhangi bir tam sayı 0'a eşittir: a.0 = 0

Dağıtım özelliği

Çarpma, toplamaya göre dağılım özelliğine uygundur. A, b ve c tamsayılarsa, o zaman:

a. (b + c) = ab + ac

İşte bu özelliğin nasıl uygulanacağına dair bir örnek:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Güçlendirme

-Taban pozitif ise operasyonun sonucu her zaman pozitiftir.

-Taban negatif olduğunda, üs çift ise sonuç pozitiftir. ve üs tuhafsa, sonuç negatiftir.

- Bölünme

Bölmede çarpmada olduğu gibi aynı işaret kuralları geçerlidir:

-Aynı işaretin iki tam sayısını bölerken, sonuç her zaman pozitiftir.

-Farklı işaretli iki tam sayı bölündüğünde, bölüm negatiftir.

Örneğin:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Önemli : bölme değişmeli değildir, başka bir deyişle a ÷ b ≠ b ÷ a ve her zaman olduğu gibi 0'a bölmeye izin verilmez.

- Güçlendirme

A bir tamsayı olsun ve onu n üssüne yükseltmek istiyoruz, o zaman a'yı kendi başına n kere çarpmalıyız, aşağıda gösterildiği gibi:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Ayrıca n'nin doğal bir sayı olduğunu göz önünde bulundurarak aşağıdakileri de göz önünde bulundurun:

-A negatif ve n çift ise sonuç pozitiftir.

-A negatif ve n tek olduğunda, negatif bir sayı ile sonuçlanır.

-A pozitifse ve n çift veya tekse, her zaman pozitif bir tam sayı oluşur.

- 0'a yükseltilen herhangi bir tam sayı 1'e eşittir: a ⁰ = 1

-1'e yükseltilen herhangi bir sayı şu sayıya eşittir: a ¹ = a

Örneğin, (–3) ^4'ü bulmak istediğimizi varsayalım, bunu yapmak için (-3) ' ü kendi başına dört kez çarpıyoruz, şöyle: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Negatif tamsayılı başka bir örnek de şudur:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Eşit tabanın kuvvetlerinin çarpımı

Diyelim ki, eşit tabana sahip iki kuvvet, eğer onları çarparsak, üssü verilen üslerin toplamı olan aynı tabana sahip başka bir kuvvet elde ederiz:

bir ⁿ bir ^m = bir ^{n + m}

Eşit taban kuvvetleri bölümü

Eşit tabandaki güçleri böldüğünde, sonuç, üssü verilen üslerin çıkarılması olan aynı tabana sahip bir kuvvettir:

bir ⁿ ÷ bir ^m = bir ^{n - m}

İşte bu noktaları açıklığa kavuşturan iki örnek:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Örnekler

Pozitif tamsayılar söz konusu olduğunda işaretten vazgeçilebileceğini hatırlayarak, bu kuralları uygulamak için basit örnekler görelim:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Çözülmüş egzersizler

- 1. Egzersiz

Şekil 1'deki sayı doğrusu boyunca hareket eden bir karınca x = +3 noktasından başlayarak aşağıdaki hareketleri yapar:

-7 birimi sağa taşır

-Şimdi 5 birim sola dönüyorsun

Sola 3 birim daha yürüyün.

-Geri döner ve 4 birim sağa hareket eder.

Turun sonunda karınca hangi noktada?

Çözüm

Yer değiştirmeleri D diyelim. Sağ tarafa geldiklerinde pozitif, sola döndüklerinde ise negatif işaret verilir. Bu şekilde ve x = +3 ile başlayarak elimizde:

Birinci D: x ₁ = +3 + 7 = +10

İkinci D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Üçüncü D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

Oda D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Karınca yürüyüşünü bitirdiğinde x = +6 konumundadır. Yani sayı doğrusunda 0'ın sağında 6 birimdir.

- Egzersiz 2

Aşağıdaki işlemi çözün:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Çözüm

Bu işlem parantez, köşeli parantez ve parantez olan gruplama işaretlerini içerir. Çözerken önce parantezlere, sonra parantezlere ve son olarak da parantezlere dikkat etmelisiniz. Başka bir deyişle, içten dışa çalışmanız gerekir.

Bu alıştırmada, nokta bir çarpmayı temsil eder, ancak bir sayı ile bir parantez veya başka bir sembol arasında bir nokta yoksa, bunun da bir ürün olduğu anlaşılır.

Adım adım çözünürlüğün altında renkler, en içteki gruplama sembolleri olan parantezleri azaltmanın sonucunu izlemek için bir kılavuz görevi görür:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Egzersiz 3

Birinci derece denklemi çözün:

12 + x = 30 + 3x

Çözüm

Terimler, eşitliğin solunda bilinmeyenlerle ve sağda sayısal terimlerle gruplandırılmıştır:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Referanslar

1. Carena, M. 2019. Üniversite Öncesi Matematik El Kitabı. Ulusal Litoral Üniversitesi.
2. Figuera, J. 2000. 7th Grade Mathematics. CO-BO sürümleri.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematik konularının seçimi. Monfort Yayınları.
4. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
5. Tam sayılar. Kurtarıldı: Cimanet.uoc.edu.