HAYALI SAYILAR: ÖZELLIKLER, UYGULAMALAR, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Hayali sayılar kareye yükseltilmiş bilinmeyen bir negatif reel sayısına eşit olduğu denklemi çözmek olanlardır. Hayali birim i = √ (-1) 'dir.

Denklemde: z ² = - a, z aşağıdaki gibi ifade edilen sanal bir sayıdır:

z = √ (-a) = i√ (bir)

Pozitif bir gerçek sayı olmak. Eğer a = 1 ise z = i, burada i hayali birimdir.

Şekil 1. Bazı reel sayıları, bazı sanal sayıları ve bazı karmaşık sayıları gösteren karmaşık düzlem. Kaynak: F. Zapata.

Genel olarak, saf sanal bir sayı z her zaman şu biçimde ifade edilir:

z = y⋅i

Burada y gerçek bir sayı ve i hayali birimdir.

Tıpkı gerçek sayıların, gerçek çizgi adı verilen bir doğru üzerinde gösterilmesi gibi, hayali sayılar da benzer bir şekilde sanal çizgi üzerinde temsil edilir.

Hayali çizgi her zaman gerçek çizgiye ortogonaldir (90º şekil) ve iki çizgi, karmaşık düzlem adı verilen bir Kartezyen düzlemi tanımlar.

Şekil 1'de karmaşık düzlem gösterilmiştir ve üzerinde bazı gerçek sayılar, bazı hayali sayılar ve ayrıca bazı karmaşık sayılar gösterilmektedir:

X ₁ , X ₂ , X ₃ gerçek sayılardır

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ hayali sayılardır

Z ₂ ve Z ₃ karmaşık sayılardır

O sayısı gerçek sıfırdır ve aynı zamanda hayali sıfırdır, dolayısıyla O kaynağı şu şekilde ifade edilen karmaşık sıfırdır:

0 + 0i

Özellikleri

Hayali sayılar kümesi şu şekilde gösterilir:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Ve bu sayısal set üzerinde bazı işlemler tanımlayabilirsiniz. Bu işlemlerden her zaman hayali bir sayı elde edilmez, bu yüzden onlara biraz daha detaylı bakalım:

Hayali toplama ve çıkarma

Hayali sayılar eklenebilir ve birbirlerinden çıkarılabilir, bu da yeni bir sanal sayı ile sonuçlanır. Örneğin:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Hayali ürün

Bir hayali sayının diğeriyle çarpımı yapıldığında, sonuç gerçek bir sayıdır. Kontrol etmek için şu işlemi yapalım:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Ve görebildiğimiz gibi, -6 gerçek bir sayıdır, ancak iki saf sanal sayının çarpılmasıyla elde edilmiştir.

Gerçek bir sayının başka bir sanal tarafından çarpımı

Bir gerçek sayı i ile çarpılırsa, sonuç, saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüşe karşılık gelen sanal bir sayı olacaktır.

Ve olduğu i ² olduğu, -1 ile çarpımına eşit olan 90 derecelik iki ardışık devir, i tekabül ² = -1. Aşağıdaki şemada görülebilir:

Şekil 2. Sanal birim i ile çarpma, saat yönünün tersine 90º dönüşe karşılık gelir. Kaynak: wikimedia commons.

Örneğin:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Hayali bir gücün güçlendirilmesi

Hayali bir sayının potansiyelini tamsayı üssüne tanımlayabilirsiniz:

ben ¹ = i

ben ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

ben ⁴ = ben ² xi ² = -1 x -1 = 1

ben ⁵ = ixi ⁴ = i

Genel olarak, i ⁿ = i ^ (n mod 4) elde ederiz , burada mod, n ve 4 arasındaki bölümün geri kalanıdır.

Negatif tamsayı potansiyeli de yapılabilir:

ben ^-1 = 1 / ben ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / ben ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / ben ³ = 1 / (- i) = (-1) / ben = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = ben

Genel olarak, n kuvvetine yükseltilen hayali b⋅i sayısı:

(b⋅i) ben ⁿ = b ⁿ ben ⁿ = b ⁿ ben ^ (n mod 4)

Bazı örnekler aşağıdaki gibidir:

(5 i) ¹² = 5 ¹² ben ¹² = 5 ¹² ben ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ ben ¹¹ = 5 ¹¹ ben ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ ben ¹⁰ = 2 ¹⁰ ben ² = 1024 x (-1) = -1024

Gerçek bir sayının ve sanal bir sayının toplamı

Hayali bir gerçek sayı eklediğinizde, sonuç ne gerçek ne de sanaldır, karmaşık sayı adı verilen yeni bir sayı türüdür.

Örneğin, X = 3,5 ve Y = 3,75i ise, sonuç karmaşık sayıdır:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 ben

Toplamda gerçek ve sanal bölümlerin birlikte gruplanamayacağına dikkat edin, bu nedenle karmaşık bir sayı her zaman gerçek ve hayali bir bölüme sahip olacaktır.

Bu işlem, gerçek sayılar kümesini en geniş karmaşık sayılara genişletir.

Uygulamalar

Hayali sayıların adı, Fransız matematikçi René Descartes (1596-1650) tarafından, yüzyılın İtalyan matematikçisi Raffaelle Bombelli tarafından yapılan aynı öneriye karşı bir alay veya anlaşmazlık olarak önerildi.

Euler ve Leibniz gibi diğer büyük matematikçiler bu anlaşmazlıkta Descartes'ı desteklediler ve varlık ile hiç arasında parçalanmış olan hayali sayılara amfibi sayılar adını verdiler.

Hayali sayıların adı günümüzde kalır, ancak varlıkları ve önemi çok gerçektir ve aşikardır, çünkü bunlar fiziğin birçok alanında doğal olarak ortaya çıkarlar:

-İzafiyet teorisi.

-Elektromanyetizmada.

-Kuantum mekaniği.

Hayali sayılarla egzersizler

- 1. Egzersiz

Aşağıdaki denklemin çözümlerini bulun:

z ² + 16 = 0

Çözüm

z ² = -16

Her iki üyede de karekök alırsak:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Başka bir deyişle, orijinal denklemin çözümleri:

z = + 4i oz = -4i.

- Egzersiz 2

Hayali birimi 5 eksi kuvvete yükseltmenin sonucunu, kuvvete yükseltilen hayali birimin çıkarılması sonucunu bulun.

Çözüm

ben ⁵ - i- ⁵ = ben ⁵ - 1 / ben ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Egzersiz 3

Aşağıdaki işlemin sonucunu bulun:

(3i) ³ + 9i

Çözüm

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Egzersiz 4

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemin çözümlerini bulun:

(-2x) ² + 2 = 0

Çözüm

Denklem aşağıdaki şekilde yeniden düzenlenmiştir:

(-2x) ² = -2

Sonra her iki üyenin karekökü alınır

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = ben √ (2) = √2 ben

Sonra x'in sonunda şunu elde etmesi için çözeriz:

x = ± √2 / 2 ben

Yani, iki olası çözüm vardır:

x = (√2 / 2) ben

Veya bu diğeri:

x = - (√2 / 2) ben

- Egzersiz 5

Şu şekilde tanımlanan Z'nin değerini bulun:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Çözüm

Negatif bir gerçek sayının karekökünün sanal bir sayı olduğunu biliyoruz, örneğin √ (-9) √ (9) x √ (-1) = 3i'ye eşittir.

Öte yandan, √ (-4), √ (4) x √ (-1) = 2i'ye eşittir.

Böylece orijinal denklem şu şekilde değiştirilebilir:

3i x 2R - 7 = 6. ² - 7 = 6 (1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Egzersiz 6

Aşağıdaki iki karmaşık sayının bölünmesinden elde edilen Z'nin değerini bulun:

Z = (9 - ben ² ) / (3 + i)

Çözüm

İfadenin payı aşağıdaki özellik kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir:

Yani:

Z = / (3 + i)

Ortaya çıkan ifade aşağıda basitleştirilmiştir.

Z = (3 - i)

Referanslar

1. Earl, R. Karmaşık sayılar. Kurtarıldı: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1. Çeşitlendirilmiş. CO-BO sürümleri.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematik konularının seçimi. Monfort Yayınları.
4. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
5. Vikipedi. Hayali numara. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı