İRRASYONEL SAYILAR: TARIHÇE, ÖZELLIKLER, SINIFLANDIRMA, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Mantıksız numaraları nedenle olamaz ekspresyonu tekrar eden bir model olmadan sonsuz sayıda ondalık rakam sahip olanlardır olarak elde edilen arasından herhangi iki tamsayı arasındaki oran.

En iyi bilinen irrasyonel sayılar şunlardır:

Şekil 1. Yukarıdan aşağıya şu irrasyonel sayılar: pi, Euler sayısı, altın oran ve iki kare kök. Kaynak: Pixabay.

Bunların arasında şüphesiz π (pi) en tanıdık olanıdır, ancak çok daha fazlası vardır. Hepsi, rasyonel ve irrasyonel sayıları bir araya getiren sayısal küme olan gerçek sayılar kümesine aittir.

Şekil 1'deki üç nokta, ondalık sayıların süresiz olarak devam ettiğini gösterir, olan şey, sıradan hesap makinelerinin uzayının yalnızca birkaç tanesinin görüntülenmesine izin vermesidir.

Dikkatle bakarsak, iki tam sayı arasında ne zaman bölüm yapsak, sınırlı rakamlı veya değilse, bir veya daha fazlasının tekrarlandığı sonsuz rakamlı bir ondalık sayı elde ederiz. Bu irrasyonel sayılarda olmaz.

İrrasyonel sayıların tarihi

M.Ö. 582 yılında Yunanistan'ın Samos kentinde doğan büyük antik matematikçi Pisagor, Pisagor düşünce okulunu kurdu ve adını taşıyan ünlü teoremi keşfetti. Burada solda var (Babilliler bunu çok önceden biliyor olabilirler).

Şekil 2. Pisagor teoremi, kenarları 1'e eşit olan bir üçgene uygulanmıştır. Kaynak: Pixabay / Wikimedia Commons.

Pisagor (veya muhtemelen onun bir öğrencisi) teoremi kenarları 1'e eşit olan bir dik üçgene uyguladığında, irrasyonel r2 sayısını buldu.

Bunu şu şekilde yaptı:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Ve bu yeni sayının o sırada bilinen diğer iki doğal sayı arasındaki bölümden gelmediğini hemen fark etti.

Bu nedenle bunu mantıksız olarak nitelendirdi ve keşif, Pisagorlular arasında büyük endişe ve şaşkınlığa neden oldu.

İrrasyonel sayıların özellikleri

-Tüm irrasyonel sayılar kümesi I harfiyle ve bazen Q * veya Q ^{C olarak gösterilir} . İrrasyonel sayılar I veya Q * ile rasyonel sayılar Q arasındaki birlik, gerçek sayılar kümesini doğurur.

İrrasyonel sayılarla bilinen aritmetik işlemler gerçekleştirilebilir: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yetkilendirme ve daha fazlası.

- 0 ile bölme irrasyonel sayılar arasında da tanımlanmamıştır.

- İrrasyonel sayılar arasındaki toplam ve çarpım, ille de başka bir irrasyonel sayı değildir. Örneğin:

√2 x √8 = √16 = 4

Ve 4 irrasyonel bir sayı değildir.

-Ancak, bir rasyonel sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı irrasyonel bir sonuç verir. Böylece:

1 + √2 = 2,41421356237…

- 0'dan irrasyonel bir sayı ile farklı bir rasyonel sayının çarpımı da irrasyoneldir. Şu örneğe bakalım:

2 x √2 = 2.828427125…

- Bir irrasyonel sayının tersi başka bir irrasyonel sayı ile sonuçlanır. Hadi biraz deneyelim:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Bu sayılar ilginçtir çünkü aynı zamanda bilinen açıların bazı trigonometrik oranlarının değerleridir. Trigonometrik oranların çoğu irrasyonel sayılardır, ancak rasyonel olan günah 30º = 0.5 = ½ gibi istisnalar da vardır.

-Toplamda değişmeli ve birleştirici özellikler yerine getirilir. Eğer a ve b iki irrasyonel sayı ise, bunun anlamı şudur:

a + b = b + a.

Ve c başka bir irrasyonel sayı ise, o zaman:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Çarpmanın toplamaya göre dağılım özelliği, irrasyonel sayılar için de geçerli olan iyi bilinen bir başka özelliktir. Bu durumda:

a. (b + c) = ab + ac

İrrasyonel bir a'nın zıttı vardır: -a. Bir araya getirildiklerinde sonuç 0 olur:

a + (- a) = 0

-İki farklı rasyonel arasında en az bir irrasyonel sayı vardır.

Gerçek satırdaki irrasyonel bir sayının konumu

Gerçek çizgi, gerçek sayıların bulunduğu, irrasyonel sayıların önemli bir parçası olduğu yatay bir çizgidir.

Gerçek doğru üzerinde bir irrasyonel sayı bulmak için, geometrik formda Pisagor teoremi, bir cetvel ve bir pusula kullanabiliriz.

Örnek olarak, x = 2 ve y = 1 kenarları olan bir dik üçgen çizdiğimiz gerçek çizgi üzerinde √5'i bulacağız, şekilde gösterildiği gibi:

Şekil 3. Gerçek hat üzerinde irrasyonel bir sayıyı bulma yöntemi. Kaynak: F. Zapata.

Pisagor teoremine göre, böyle bir üçgenin hipotenüsü:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Şimdi pusula, dik üçgenin köşelerinden birinin de olduğu nokta 0 olacak şekilde yerleştirilmiştir. Pusula kaleminin noktası tepe A'da olmalıdır.

Gerçek çizgiyi kesen bir çevre yayı çizilir. Çevrenin merkezi ile etrafındaki herhangi bir nokta arasındaki mesafe √5'e eşit olan yarıçap olduğundan, kesişme noktası da merkezden √5'tir.

Grafikten √5'in 2 ile 2.5 arasında olduğu görülebilir. Bir hesap makinesi bize aşağıdakilerin yaklaşık değerini verir:

√5 = 2,236068

Ve böylece, uygun kenarlarla bir üçgen oluşturarak, √7 ve diğerleri gibi diğer irrasyonel olanlar bulunabilir.

İrrasyonel sayıların sınıflandırılması

İrrasyonel sayılar iki gruba ayrılır:

-Cebirsel

Aşkın veya aşkın

Cebirsel sayılar

İrrasyonel olabilecek veya olmayabilecek cebirsel sayılar, genel biçimi aşağıdaki olan polinom denklemlerinin çözümleridir:

bir _n x ⁿ + bir _n-1 x ^n-1 + bir _n-2 x ^n-2 +…. + bir ₁ x + a _o = 0

Polinom denklemine bir örnek, aşağıdaki gibi ikinci dereceden bir denklemdir:

x ³ - 2x = 0

İrrasyonel √2 sayısının bu denklemin çözümlerinden biri olduğunu göstermek kolaydır.

Aşkın sayılar

Öte yandan, aşkın sayılar irrasyonel olmalarına rağmen hiçbir zaman bir polinom denklemine çözüm olarak ortaya çıkmazlar.

Uygulamalı matematikte en sık bulunan aşkın sayılar, çevre ve e sayısı ile ilişkisi nedeniyle π veya doğal logaritmaların tabanı olan Euler sayısıdır.

Egzersiz yapmak

Şekilde gösterilen konumda siyah bir karenin üzerine gri bir kare yerleştirilir. Siyah karenin alanı 64 cm ² olarak biliniyor . Her iki karenin uzunluğu ne kadar?

Şekil 4. Kenarlarının uzunluğunu bulmak istediğimiz iki kare. Kaynak: F. Zapata.

cevap

L kenarına sahip bir karenin alanı:

A = L ²

Siyah karenin alanı 64 cm ² olduğu için kenarı 8 cm olmalıdır.

Bu ölçü, gri karenin köşegeniyle aynıdır. Pisagor teoremini bu köşegene uygulamak ve bir karenin kenarlarının aynı ölçüsü olduğunu hatırlayarak, sahip olacağız:

8 ² = L _g ² + L _g ²

L _g , gri karenin kenarıdır.

Bu nedenle: 2L _g ² = 8 ²

Eşitliğin her iki tarafına da karekök uygulamak:

L _g = (8 / √2) cm

Referanslar

1. Carena, M. 2019. Üniversite Öncesi Matematik El Kitabı. Ulusal Litoral Üniversitesi.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 9th. Derece. CO-BO sürümleri.
3. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
4. Eğitim Portalı. İrrasyonel sayılar ve özellikleri. Kurtarıldı: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. İrrasyonel sayılar. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.