ASAL SAYILAR: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Asal sayılar , kendi başlarına sadece bölünebilir ve 1. Bu kategori numaraları 2 gibi asal mutlak olan bu doğal sayılar, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve çok sayıda adı artı.

Bunun yerine, bileşik bir sayı kendi başına 1'e ve en az bir başka sayıya bölünebilir. Örneğin, 1, 2, 4, 6 ve 12'ye bölünebilen 12'ye sahibiz. Geleneksel olarak, 1 asal sayılar listesine veya bileşikler listesine dahil edilmemiştir.

Şekil 1. Bazı asal sayılar. Kaynak: Wikimedia Commons.

Asal sayıların bilgisi eski zamanlara kadar uzanır; eski Mısırlılar bunları zaten kullanıyordu ve kesinlikle çok önceden biliniyorlardı.

Bu sayılar çok önemlidir, çünkü herhangi bir doğal sayı asal sayıların çarpımı ile temsil edilebilir, bu gösterim çarpanların sırası dışında benzersizdir.

Bu gerçek, asal olmayan sayıların zorunlu olarak sayıların ürünlerinden oluştuğunu belirten, aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılan bir teoremde tamamen yerleşiktir.

Asal sayıların özellikleri

Asal sayıların temel özellikleri şunlardır:

-Sonsuzdurlar, çünkü bir asal sayı ne kadar büyük olursa olsun, her zaman daha büyük bir tane bulabilirsiniz.

-Bir asal sayı p başka bir a sayısını tam olarak bölemiyorsa, p ve a'nın birbirine asal olduğu söylenir. Bu olduğunda, her ikisinin de sahip olduğu tek ortak bölen 1'dir.

A'nın mutlak bir asal olması gerekli değildir. Örneğin, 5 asaldır ve 12 olmamasına rağmen, her iki sayı da birbirine asaldır, çünkü her ikisinin de ortak bölen olarak 1'i vardır.

-P asal sayısı n sayısının bir kuvvetini böldüğünde, n'yi de böler. 10'un kuvveti olan 100'ü, özellikle 10 ^2'yi düşünelim . 2'nin hem 100'ü hem de 10'u böldüğü olur.

-2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır, bu nedenle son basamağı 1, 3, 7 veya 9'dur. 5 dahil edilmez, çünkü tek ve asal olmasına rağmen hiçbir zaman başka bir asal sayının son rakamı değildir. Aslında 5 ile biten tüm sayılar bunun katlarıdır ve bu nedenle asal değildir.

-P, ab sayısının çarpımının bir asal ve böleni ise, p bunlardan birini böler. Örneğin, 3 asal sayısı 9 x 11 = 99 çarpımını böler, çünkü 3, 9'un bölenidir.

Bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlarım

Asallık, asal olma niteliğine verilen addır. Fransız matematikçi Pierre de Fermat (1601-1665), Fermat'ın sözde küçük teoreminde bir sayının asallığını doğrulamanın bir yolunu buldu:

"Bir asal doğal sayı p ve 0'dan büyük herhangi bir doğal sayı verildiğinde, ^p asal olduğu sürece p-a'nın p'nin katı olduğu doğrudur ."

Bunu küçük sayılar kullanarak doğrulayabiliriz, örneğin zaten asal olmadığını ve zaten = 6 olduğunu bildiğimiz p = 4 olduğunu varsayalım:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

1290 sayısı 4'e tam olarak bölünemez, bu nedenle 4 asal bir sayı değildir.

Testi şimdi asal ve ya = 6 olan p = 5 ile yapalım:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760, 0 veya 5 ile biten herhangi bir sayı olduğu için 5'e bölünebilir. Aslında 7760/5 = 1554. Fermat'ın küçük teoremi geçerli olduğundan, 5'in bir asal sayı olmasını sağlayabiliriz.

Teorem yoluyla ispat, işlemin gerçekleştirilmesinin kolay olduğu küçük sayılarla etkili ve doğrudandır, ancak büyük bir sayının asallığını bulmamız istenirse ne yapmalıyız?

Bu durumda, tam bir bölme bulunana veya bölüm bölen olandan daha küçük olana kadar, sayı tüm küçük asal sayılar arasında art arda bölünür.

Herhangi bir bölme doğruysa, bu sayının bileşik olduğu ve bölüm bölenin altında ise sayının asal olduğu anlamına gelir. Bunu çözülmüş alıştırmada uygulamaya koyacağız 2.

Asal sayı bulmanın yolları

Sonsuz asal sayılar vardır ve bunları belirlemek için tek bir formül yoktur. Bununla birlikte, aşağıdaki gibi bazı asal sayılara bakın:

3, 7, 31, 127 …

N = 2, 3, 5, 7, 9 … ile 2 ⁿ - 1 formunda oldukları görülmüştür …

2 ^2-1 = 4-1 = 3 ; 2 ^3-1 = 8-1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Ancak genel olarak 2 ⁿ - 1'in asal olmasını sağlayamayız , çünkü çalışmadığı bazı n değerleri vardır, örneğin 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Ve 15 sayısı 5 ile bittiği için asal değildir. Bununla birlikte, bilgisayar hesaplamalarıyla bulunan bilinen en büyük asallardan biri 2 ⁿ - 1 formundadır :

n = 57.885.161

Mersenne'in formülü bize 2 ^p - 1'in asal olduğu sürece her zaman asal olduğunu garanti eder . Örneğin, 31 asaldır, dolayısıyla 2 ³¹ - 1'in de asal olduğu kesindir :

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Ancak formül, hepsini değil, yalnızca bazı asal sayıları belirlemenize izin verir.

Euler formülü

Aşağıdaki polinom, n'nin 0 ile 39 arasında olması koşuluyla asal sayıların bulunmasına izin verir:

P (n) = n ² + n + 41

Çözülmüş alıştırmalar bölümünde daha sonra kullanımına bir örnek var.

Eratosthenes'in eleği

Eratosthenes, M.Ö.3. Yüzyılda yaşamış Antik Yunanlı bir fizikçi ve matematikçiydi.Eküçük sayılarla uygulamaya koyabileceğimiz asal sayıları bulmak için grafik bir yöntem geliştirdi, buna Eratosthenes eleği (elek bir elek gibidir) denir.

-Rakamlar animasyondaki gibi bir tabloya yerleştirilir.

- Daha sonra asal olduğunu bildiğimiz 2 dışında çift sayıların üzeri çizilir. Diğerlerinin tümü bunun katlarıdır ve bu nedenle asal değildir.

- 3, 5, 7 ve 11'in katları da işaretlenir, hepsi hariç, çünkü asal olduklarını biliyoruz.

-4, 6, 8, 9 ve 10'un katları zaten işaretlenmiştir, çünkü bunlar bileşiktir ve bu nedenle belirtilen asalların bazılarının katlarıdır.

-Son olarak, işaretlenmemiş kalan sayılar asaldır.

Şekil 2. Eratosthenes eleğinin animasyonu. Kaynak: Wikimedia Commons.

Egzersizler

- 1. Egzersiz

Asal sayılar için Euler polinomunu kullanarak 100'den büyük 3 sayı bulun.

Çözüm

Bu, Euler'in 0 ile 39 arasındaki n değerleri için çalışan asal sayıları bulmayı önerdiği polinomdur.

P (n) = n ² + n + 41

Deneme yanılma yoluyla n değerini seçiyoruz, örneğin n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

N = 8, 100'den büyük bir asal sayı ürettiğinden, polinomu n = 9 ve n = 10 için değerlendiriyoruz:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Egzersiz 2

Aşağıdaki sayıların asal olup olmadığını öğrenin:

a) 13

b) 191

Çözüm

13, Fermat'ın küçük teoremini ve hesap makinesinin yardımını kullanacak kadar küçüktür.

Sayıların çok büyük olmaması için a = 2 kullanıyoruz, ancak a = 3, 4 veya 5 de kullanılabilir:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190, çift olduğu için 2'ye bölünebilir, dolayısıyla 13 asaldır. Okuyucu, aynı testi a = 3 ile yaparak bunu doğrulayabilir.

Çözüm b

191, teorem ve ortak bir hesap makinesi ile kanıtlamak için çok büyük, ancak her asal sayı arasındaki bölünmeyi bulabiliriz. 2'ye bölmeyi atlıyoruz çünkü 191 çift değil ve bölme tam olmayacak veya bölüm 2'den küçük olmayacak.

3'e bölmeye çalışıyoruz:

191/3 = 63.666 …

Ve kesin vermez, bölüm de bölenden küçük değildir (63,666… 3'ten büyüktür)

Böylece 191'i 5, 7, 11, 13 asalları arasında bölmeye devam ediyoruz ve ne tam bölünmeye ne de bölenin altındaki bölüme ulaşılıyor. 17'ye bölünene kadar:

191/17 = 11, 2352 …

Tam olmadığı ve 11.2352… 17'den küçük olduğu için, 191 sayısı asaldır.

Referanslar

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik. Baskılar ve Dağıtım Kodeksi.
2. Prieto, C. Asal sayılar. Kurtarıldı: paginas.matem.unam.mx.
3. Asal sayıların özellikleri. Kurtarıldı: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Asal sayılar: Eratosthenes eleği ile nasıl bulunurlar. Kurtarıldı: smartick.es.
5. Vikipedi. Asal sayı. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.