RASYONEL SAYILAR: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER VE IŞLEMLER - MATEMATIK - 2025

Rasyonel sayılar tüm sayılar iki tam sayının bölümü olarak elde edilebilir bulunmaktadır. Rasyonel sayı örnekleri şunlardır: 3/4, 8/5, -16/3 ve aşağıdaki şekilde görünen sayılar. Rasyonel bir sayı ile bölüm belirtilir ve gerekirse daha sonra yapılabilir.

Şekil, daha fazla konfor için yuvarlak herhangi bir nesneyi temsil eder. Sağdaki gibi 2 eşit parçaya bölmek istersek, iki yarımız kaldı ve her biri 1/2 değerindedir.

Şekil 1. Rasyonel sayılar, bütünü birkaç parçaya bölmek için kullanılır. Kaynak: Freesvg.

4 eşit parçaya bölerek 4 parça elde edeceğiz ve her biri merkezdeki resimde olduğu gibi 1/4 değerindedir. Ve eğer 6 eşit parçaya bölünmesi gerekiyorsa, soldaki resimde gördüğümüz her bir bölüm 1/6 değerinde olacaktır.

Tabii ki, onu iki eşit olmayan parçaya da bölebiliriz, örneğin 3/4 parça tutabilir ve 1/4 parça tasarruf edebiliriz. 4/6 parça ve 2/6 parça gibi başka bölümler de mümkündür. Önemli olan tüm parçaların toplamının 1 olmasıdır.

Bu şekilde, rasyonel sayılarla yiyecek, para, toprak ve her türlü nesneyi kesirler halinde bölebileceğiniz, sayabileceğiniz ve dağıtabileceğiniz açıktır. Ve böylece sayılarla yapılabilecek işlemlerin sayısı genişletildi.

Aşağıdaki örneklerde de görülebileceği gibi, rasyonel sayılar ondalık biçimde de ifade edilebilir:

1/2 = 0.5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0.75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Daha sonra örneklerle bir formdan diğerine nasıl geçileceğini göstereceğiz.

Rasyonel sayıların özellikleri

Setini Q harfiyle göstereceğimiz rasyonel sayılar aşağıdaki özelliklere sahiptir:

-Q, N doğal sayılarını ve Z tam sayılarını içerir.

Herhangi bir a sayısının kendisi ile 1 arasındaki bölüm olarak ifade edilebileceğini hesaba katarsak, rasyonel sayılar arasında doğal sayılar ve tamsayıların da olduğunu görmek kolaydır.

Böylece, doğal sayı 3 bir kesir olarak ve ayrıca -5 olarak yazılabilir:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Bu şekilde, Q, daha fazla sayıda sayı içeren sayısal bir kümedir, bu çok gereklidir, çünkü "yuvarlak" sayılar yapılacak tüm olası işlemleri tanımlamak için yeterli değildir.

-Rasyonel sayılar toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir, işlemin sonucu rasyonel bir sayıdır: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Her bir rasyonel sayı çifti arasında her zaman başka bir rasyonel sayı bulunabilir. Aslında iki rasyonel sayı arasında sonsuz rasyonel sayı vardır.

Örneğin, 1/4 ve 1/2 rasyonelleri arasında 3/10, 7/20, 2/5 (ve çok daha fazlası) rasyonelleri vardır ve bunlar ondalık sayılar olarak ifade edilerek doğrulanabilir.

-Herhangi bir rasyonel sayı şu şekilde ifade edilebilir: i) bir tam sayı veya ii) sınırlı (katı) veya periyodik ondalık: 4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666 ……

-Aynı sayı sonsuz eşdeğer kesirler ile temsil edilebilir ve hepsi Q'ya aittir. Bakalım bu grup:

Hepsi 0,428571 …

-Aynı sayıyı temsil eden tüm eşdeğer kesirler arasında, indirgenemez kesir, hepsinden basit olanı, o sayının kanonik temsilcisidir. Yukarıdaki örneğin kanonik temsilcisi 3 / 7'dir.

Şekil 2. - Rasyonel sayıların Q kümesi. Kaynak: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Rasyonel sayı örnekleri

-Payının paydadan küçük olduğu doğru kesirler:

-Payları paydadan büyük olan uygun olmayan kesirler:

-Doğal sayılar ve tam sayılar:

-Eşdeğer kesirler:

Bir rasyonel sayının ondalık gösterimi

Pay paydaya bölündüğünde, rasyonel sayının ondalık biçimi bulunur. Örneğin:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0,545454…

İlk iki örnekte, ondalık basamak sayısı sınırlıdır. Bu, bölme yapıldığında, sonunda 0'ın geri kalanı elde edildiği anlamına gelir.

Öte yandan, sonraki ikisinde ondalık basamakların sayısı sonsuzdur ve bu yüzden üç nokta yerleştirilir. İkinci durumda, ondalık sayılarda bir kalıp vardır. 1/9 kesri durumunda, 1 sayısı süresiz olarak tekrarlanırken 6 / 11'de 54'tür.

Bu olduğunda, ondalık sayı periyodik olduğu söylenir ve şuna benzer bir imleç ile gösterilir:

Ondalık sayıyı kesire dönüştürme

Sınırlı bir ondalık ise, virgül basitçe ortadan kaldırılır ve payda, ondalık sayıdaki rakamlar kadar sıfırların ardından gelen birim olur. Örneğin, 1.26 ondalık kısmını kesire dönüştürmek için şu şekilde yazın:

1,26 = 126/100

Ardından ortaya çıkan kesir maksimuma kadar basitleştirilir:

126/100 = 63/50

Ondalık sayı sınırsız ise, ilk olarak nokta belirlenir. Ardından ortaya çıkan kesri bulmak için şu adımlar takip edilir:

-Pay, sayı (virgül veya düzeltme işareti olmadan) ile düzeltme işaretinin olmadığı kısım arasındaki çıkarmadır.

- Payda, inceltme işaretinin altındaki rakamlar kadar 9 ve ondalık kısımda inceltme işaretinin altında olmayan rakamlar kadar 0 olan bir tamsayıdır.

0,428428428… ondalık sayısını kesire dönüştürmek için bu prosedürü izleyelim.

-İlk olarak, tekrarlanan sıra olan periyot belirlenir: 428.

-Daha sonra virgül veya vurgusuz sayı çıkarma işlemi yapılır: inceltme işaretinin olmadığı kısımdan 0428 yani 0 olan 428 - 0 = 428'dir.

Payda, inceltme işaretinin altında 3 rakam olduğu ve hepsinin inceltme işaretinin altında olduğu bilinerek oluşturulur. Bu nedenle payda 999'dur.

-Son olarak, kesir oluşturulur ve mümkünse basitleştirilir:

0,428 = 428/999

Daha fazla sadeleştirmek mümkün değil.

Rasyonel sayılarla işlemler

- Ekleme ve çıkarma

Aynı paydaya sahip kesirler

Kesirler aynı paydaya sahip olduğunda, onları toplamak ve / veya çıkarmak çok kolaydır, çünkü paylar basitçe cebirsel olarak eklenir ve sonucun paydası olarak toplananlarla aynı kalır. Son olarak, mümkünse basitleştirilmiştir.

Misal

Aşağıdaki cebirsel toplamayı gerçekleştirin ve sonucu basitleştirin:

Ortaya çıkan fraksiyon zaten indirgenemez.

Farklı paydalara sahip kesirler

Bu durumda, eklemeler aynı paydaya sahip eşdeğer kesirler ile değiştirilir ve daha sonra önceden açıklanan prosedür izlenir.

Misal

Sonucu basitleştirerek aşağıdaki rasyonel sayıları cebirsel olarak ekleyin:

Adımlar:

- 5, 8 ve 3 paydalarının en küçük ortak katını (lcm) belirleyin:

lcm (5,8,3) = 120

Bu, basitleştirmeden ortaya çıkan kesirin paydası olacaktır.

-Her fraksiyon için: LCM'yi paydaya bölün ve pay ile çarpın. Bu işlemin sonucu, ilgili işaretiyle kesrin payına yerleştirilir. Bu şekilde orijinaline eşdeğer bir kesir elde edilir, ancak payda LCM ile elde edilir.

Örneğin, ilk kesir için pay şu şekilde oluşturulur: (120/5) x 4 = 96 ve şunu elde ederiz:

Kalan kesirler için aynı şekilde ilerleyin:

Son olarak, eşdeğer kesirler, işaretleri unutulmadan değiştirilir ve payların cebirsel toplamı gerçekleştirilir:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Çarpma ve bölme

Çarpma ve bölme, aşağıda gösterilen kurallara göre yapılır:

Şekil 3. Rasyonel sayıları çarpma ve bölme kuralları. Kaynak: F. Zapata.

Her durumda, çarpmanın değişmeli olduğunu hatırlamak önemlidir, bu da faktörlerin sırasının ürünü değiştirmediği anlamına gelir. Bu, bölme ile olmaz, bu nedenle, temettü ve bölen arasındaki sıraya uymaya özen gösterilmelidir.

örnek 1

Aşağıdaki işlemleri gerçekleştirin ve sonucu basitleştirin:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Cevaplamak

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Cevap b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Örnek 2

Luisa'nın 45 doları vardı. Bir kitap satın almak için onda birini ve bir t-shirt üzerinde kalanın 2 / 5'ini harcadı. Luisa'nın ne kadar parası kaldı? Sonucu indirgenemez bir kesir olarak ifade edin.

Çözüm

Kitap maliyeti (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Bu nedenle, Luisa şunlarla kaldı:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Bu parayla Luisa giyim mağazasına gitti ve tişörtü satın aldı, bunun fiyatı:

(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD

Şimdi Luisa'nın portföyünde:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Kesir olarak ifade etmek gerekirse şöyle yazılır:

24,3 = 243/10

Bu indirgenemez.

Referanslar

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik. Baskılar ve Dağıtım Kodeksi.
2. Carena, M. 2019. Matematik El Kitabı. Ulusal Litoral Üniversitesi.
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
5. Rasyonel sayılar. Kurtarıldı: Cimanet.uoc.edu.
6. Rasyonel sayılar. Webdelprofesor.ula.ve adresinden kurtarıldı.