GERÇEK SAYILAR: TARIHÇE, ÖRNEKLER, ÖZELLIKLER, IŞLEMLER - MATEMATIK - 2025

Gerçek sayılar doğal sayılar, tamsayılar, rasyonel ve irrasyonel içeren sayısal set oluşturmaktadır. Sembol ℝ veya basitçe R ile gösterilirler ve bilim, mühendislik ve ekonomideki kapsamları öyledir ki "sayı" dan bahsederken, bunun gerçek bir sayı olduğu neredeyse kesin kabul edilir.

Gerçek sayılar, kendilerine bu isim verilmemesine rağmen eski çağlardan beri kullanılmaktadır. Pisagor'un meşhur teoremini geliştirdiği zamandan beri, doğal sayıların veya tam sayıların bölümleri olarak elde edilemeyen sayılar ortaya çıktı.

Şekil 1. Gerçek sayılar kümesinin diğer sayı kümelerini nasıl içerdiğini gösteren Venn diyagramı. Kaynak> Wikimedia Commons.

Sayı örnekleri √2, √3 ve π'dir. Bu sayılar, tam sayıların bölümlerinden gelen rasyonel sayıların aksine irrasyonel olarak adlandırılır. Bu nedenle, her iki sayı sınıfını da kapsayan sayısal bir küme gerekliydi.

"Gerçek sayı" terimi, büyük matematikçi René Descartes (1596-1650) tarafından, bir polinom denkleminin çözülmesinden ortaya çıkabilecek iki tür kökü birbirinden ayırmak için yaratıldı.

Bu köklerden bazıları negatif sayıların kökleri bile olabilir, Descartes bunları "hayali sayılar" olarak adlandırdı ve olmayanlar gerçek sayılardı.

Mezhep, iki büyük sayısal kümeye yol açarak zamanla devam etti: gerçek sayılar ve karmaşık sayılar, gerçek sayıları içeren daha büyük bir küme, hayali sayılar ve kısmen gerçek ve kısmen hayali olanlar.

Gerçek sayıların evrimi, 1872'de matematikçi Richard Dedekind (1831-1936), gerçek sayılar kümesini Dedekind olarak adlandırılan kesimler aracılığıyla resmi olarak tanımlayana kadar devam etti. Çalışmalarının sentezi, aynı yıl ışığı gören bir makalede yayınlandı.

Gerçek sayı örnekleri

Aşağıdaki tablo gerçek sayıların örneklerini göstermektedir. Bu küme, alt kümeler olarak doğal sayılara, tam sayılara, rasyonel ve irrasyonellere sahiptir. Bu kümelerin herhangi bir sayısı kendi içinde gerçek bir sayıdır.

Bu nedenle 0, negatifler, pozitifler, kesirler ve ondalık sayılar gerçek sayılardır.

Şekil 2. Gerçek sayıların örnekleri doğal, tam sayı, rasyonel, irrasyonel ve aşkıntır. Kaynak: F. Zapata.

Gerçek sayıların gerçek çizgi üzerinde gösterimi

Gerçek sayılar, şekilde gösterildiği gibi gerçek R çizgisinde gösterilebilir. 0'ın her zaman mevcut olması gerekli değildir, ancak negatif gerçeklerin solda ve pozitiflerin sağda olduğunu bilmek uygundur. Bu yüzden mükemmel bir referans noktasıdır.

Gerçek satırda, tam sayıların bulunduğu bir ölçek alınır:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Ok, çizginin sonsuzluğa uzandığını gösterir. Ancak hepsi bu kadar değil, dikkate alınan herhangi bir aralıkta, her zaman sonsuz gerçek sayıları da bulacağız.

Gerçek sayılar sırayla gösterilir. Başlangıç ​​olarak, pozitiflerin her zaman 0'dan büyük, negatiflerin ise daha az olduğu tamsayıların sırası vardır.

Bu sıra gerçek sayılar dahilinde tutulur. Aşağıdaki eşitsizlikler örnek olarak gösterilmektedir:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Şekil 3. - Gerçek çizgi. Kaynak: Wikimedia Commons.

Gerçek sayıların özellikleri

-Gerçek sayılar, doğal sayıları, tam sayıları, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları içerir.

-Toplamanın değişme özelliği yerine getirilir: toplananların sırası toplamı değiştirmez. A ve b iki gerçek sayı ise, şu her zaman doğrudur:

a + b = b + a

-0, toplamın nötr öğesidir: a + 0 = a

-Toplam olarak ilişkilendirme özelliği yerine getirilir. A, b ve c gerçek sayılarsa: (a + b) + c = a + (b + c).

-Gerçek sayının zıttı -a'dır.

-Çıkarma, tersinin toplamı olarak tanımlanır: a - b = a + (-b).

-Ürünün değişme özelliği yerine getirilmiştir: faktörlerin sırası ürünü değiştirmez: ab = ba

-Üründe ilişkilendirme özelliği de uygulanır: (ab) .c = a. (Bc)

- 1, çarpmanın nötr öğesidir: a.1 = a

-Çarpma işleminin dağılım özelliği, toplamaya göre geçerlidir: a. (b + c) = ab + ac

- 0'a bölme tanımlanmamıştır.

- 0 dışındaki herhangi bir a gerçek sayısı , aa ^-1 = 1 olacak şekilde ^-1'in çarpımsal tersine sahiptir .

-A gerçek bir sayı ise: a ⁰ = 1 ve a ¹ = a.

-Gerçek sayının mutlak değeri veya modülü, söz konusu sayı ile 0 arasındaki mesafedir.

Gerçek sayılarla işlemler

Gerçek sayılarla, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yetkilendirme, radikasyon, logaritma ve daha fazlası dahil olmak üzere diğer sayı kümeleriyle yapılan işlemleri yapabilirsiniz.

Her zaman olduğu gibi, 0'a bölme tanımlanmamıştır, ne sayıların ne de 0'ın negatif logaritması yoktur, ancak log 1 = 0 olduğu ve 0 ile 1 arasındaki sayıların logaritmalarının negatif olduğu doğrudur.

Uygulamalar

Gerçek sayıların her türlü duruma uygulanması son derece çeşitlidir. Gerçek sayılar, kesin bilim, bilgisayar bilimi, mühendislik, ekonomi ve sosyal bilimlerde birçok soruna yanıt olarak görünür.

Mesafeler, zamanlar, kuvvetler, ses şiddeti, para ve daha fazlası gibi her tür büyüklük ve nicelik, gerçek sayılarla ifade edilir.

Telefon sinyallerinin iletimi, bir videonun görüntüsü ve sesi, bir klimanın, bir ısıtıcının veya bir buzdolabının sıcaklığı dijital olarak kontrol edilebilir, bu da fiziksel büyüklüklerin sayısal dizilere dönüştürülmesi anlamına gelir.

İnternet üzerinden bir bankacılık işlemi yaparken veya anlık mesajlaşmaya danışırken de aynı şey olur. Gerçek sayılar her yerde.

Egzersiz çözüldü

Günlük olarak karşılaştığımız yaygın durumlarda bu sayıların nasıl çalıştığını egzersizlerle göreceğiz.

1. Egzersiz

Postane yalnızca uzunluğu artı çevre ölçüsü 108 inç'i geçmeyen paketleri kabul eder. Bu nedenle, görüntülenen paketin kabul edilebilmesi için aşağıdakilerin yerine getirilmesi gerekir:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) 6 inç genişliğinde, 8 inç yüksekliğinde ve 5 fit uzunluğunda bir paket başarabilir mi?

b) 2 x 2 x 4 ft ³ ölçen ne olacak ?

c) Tabanı kare olan ve 9 x 9 inç ² ölçülerindeki bir paket için kabul edilebilir en yüksek yükseklik nedir ?

Cevaplamak

L = 5 fit = 60 inç

x = 6 inç

y = 8 inç

Çözülmesi gereken işlem:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inç = 60 + 2 x 14 inç = 60 + 28 inç = 88 inç

Paket kabul edildi.

Cevap b

Bu paketin boyutları, paket a) 'dan daha küçüktür, bu yüzden ikisi de bunu başarır.

Cevap c

Bu pakette:

x = L = 9 inç

Şu hususlara uyulmalıdır:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2 yıl ≤ 108

2 yıl ≤ 81

ve ≤ 40,5 inç

Referanslar

1. Carena, M. 2019. Üniversite Öncesi Matematik El Kitabı. Ulusal Litoral Üniversitesi.
2. Diego, A. Reel sayılar ve özellikleri. Kurtarıldı: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 9th. Derece. CO-BO sürümleri.
4. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Baskı. Cengage Learning.