AŞKIN SAYILAR: BUNLAR NEDIR, FORMÜLLER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Aşkın numaraları olamaz olanlardır edilmesi halinde elde bir polinom denklemin sonucu. Aşkın bir sayının zıttı cebirsel bir sayıdır ve bu tür bir polinom denkleminin çözümleri:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Katsayılar a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ , polinomun katsayıları olarak adlandırılan rasyonel sayılardır. Bir x sayısı önceki denkleme bir çözüm ise, o zaman bu sayı aşkın değildir.

Şekil 1. Bilimde çok önemli olan iki sayı aşkın sayılardır. Kaynak: publicdomainpictures.net.

Birkaç sayıyı analiz edip aşkın olup olmadıklarını göreceğiz:

a) 3, x - 3 = 0'ın bir çözümü olduğu için aşkın değildir.

b) -2, x + 2 = 0'ın bir çözümü olduğu için aşılamaz.

c) ⅓ 3x - 1 = 0'ın bir çözümüdür

d) x ² - 2x + 1 = 0 denkleminin bir çözümü √2 -1'dir, bu nedenle tanım gereği sayı aşkın değildir.

e) 2 de değildir, çünkü x ² - 2 = 0 denkleminin sonucudur. √2'nin karesini alırsak, 2'ye eşit sıfır olan 2 ile sonuçlanır. Yani √2 irrasyonel bir sayıdır ama aşkın değildir.

Aşkın sayılar nedir?

Sorun şu ki, bunları elde etmek için genel bir kural yoktur (daha sonra bir yolunu söyleyeceğiz), ancak en ünlülerinden bazıları sırasıyla π ve e ile gösterilen pi sayısı ve Neper sayısıdır.

Sayı π

Π sayısı, bir dairenin çevresi P ile çapı D arasındaki matematiksel bölümün küçük veya büyük bir daire olmasına bakılmaksızın her zaman pi denilen aynı sayıyı verdiğini gözlemleyerek doğal olarak görünür:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Bu, çevrenin çapı ölçüm birimi olarak alınırsa, hepsi için büyük veya küçük, çevre her zaman P = 3.14… = π olacaktır, şekil 2'deki animasyonda görüldüğü gibi.

Şekil 2. Bir dairenin çevresinin uzunluğu, çapın uzunluğunun pi katıdır, pi yaklaşık 3.1416'dır.

Daha fazla ondalık sayı belirlemek için, P ve D'yi daha büyük bir hassasiyetle ölçmek ve ardından matematiksel olarak yapılan bölümü hesaplamak gerekir. Sonuç, bölümdeki ondalık sayıların sonu olmadığı ve asla kendilerini tekrar etmediği, dolayısıyla aşkın olmanın yanı sıra π sayısı da irrasyoneldir.

İrrasyonel sayı, iki tam sayının bölümü olarak ifade edilemeyen bir sayıdır.

Her aşkın sayının irrasyonel olduğu bilinmektedir, ancak tüm irrasyonel sayıların aşkın olduğu doğru değildir. Örneğin √2 irrasyoneldir, ancak aşkın değildir.

Şekil 3. Aşkın sayılar irrasyoneldir, ancak tersi doğru değildir.

E sayısı

Aşkın sayı e, doğal logaritmaların temelidir ve ondalık yaklaşımı şöyledir:

ve ≈ 2.718281828459045235360….

Eğer e sayısını tam olarak yazmak istiyorsanız, sonsuz ondalıklar yazmak gerekir, çünkü her aşkın sayı, daha önce söylendiği gibi irrasyoneldir.

E'nin ilk on hanesinin hatırlanması kolaydır:

2,7 1828 1828 ve tekrarlayan bir model izliyor gibi görünse de, bu, dokuzdan büyük ondalık sayılarda elde edilemez.

E'nin daha resmi bir tanımı aşağıdaki gibidir:

Bu, doğal sayı n sonsuza eğilimli olduğunda, bu formülde belirtilen işlem gerçekleştirilerek e'nin tam değerinin elde edildiği anlamına gelir.

Bu, n sayısı ne kadar büyük yerleştirilirse yerleştirilsin, her zaman daha büyük bir n bulunabileceğinden, neden sadece e'nin yaklaşık değerlerini elde edebileceğimizi açıklıyor.

Kendi kendimize bazı tahminlere bakalım:

-N = 100 olduğunda (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481, ilk ondalıkta e'nin “gerçek” değeriyle hemen hemen çakışmaz.

-N = 10.000'i seçerseniz, (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815'e sahip olursunuz; bu, ilk üç ondalık basamakta e'nin “tam” değeriyle çakışır.

E'nin "gerçek" değerini elde etmek için bu işlemin sonsuza kadar takip edilmesi gerekir. Bunu yapacak vaktimiz olduğunu sanmıyorum ama bir tane daha deneyelim:

N = 100.000 kullanalım:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2.7182682372

Bu, tam olarak kabul edilen değerle eşleşen yalnızca dört ondalık basamağa sahiptir.

Önemli olan, e _n'yi hesaplamak için seçilen n'nin değeri ne kadar yüksekse , gerçek değere o kadar yakın olacağını anlamaktır . Ancak bu gerçek değer yalnızca n sonsuz olduğunda sahip olacaktır.

Şekil 4. n'nin değeri ne kadar yüksekse e'ye ne kadar yakınsa, n'nin tam değerine ulaşmak için sonsuz olması gerektiği grafiksel olarak gösterilmiştir.

Diğer önemli sayılar

Bu ünlü sayıların dışında başka aşkın sayılar da vardır, örneğin:

- 2 ^√2

-10 tabanındaki Champernowne sayısı:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

2. tabandaki Champernowne sayısı:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Gama sayısı γ veya Euler-Mascheroni sabiti:

γ ≈ 0,577 215 664 901532860606

Aşağıdaki hesaplama yapılarak elde edilir:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

N'nin çok çok büyük olduğu zamanlar için. Gama sayısının tam değerine sahip olmak için, hesaplamanın n sonsuz ile yapılması gerekir. Yukarıda yaptığımıza benzer bir şey.

Ve daha birçok aşkın sayı var. Rusya'da doğan ve 1845 ile 1918 arasında yaşayan büyük matematikçi Georg Cantor, aşkın sayılar kümesinin cebirsel sayılar kümesinden çok daha büyük olduğunu gösterdi.

Aşkın sayının π göründüğü formüller

Çevrenin çevresi

P = π D = 2 π R, burada P çevre, D çap ve R çevrenin yarıçapıdır. Unutulmamalıdır ki:

-Çevrenin çapı, aynı iki noktayı birleştiren ve her zaman merkezinden geçen en uzun segmenttir,

- Yarıçap, çapın yarısıdır ve merkezden kenara giden segmenttir.

Bir dairenin alanı

Bir = π R ² = ¼ π D ²

Bir kürenin yüzeyi

S = 4 π R ^2.

Evet Öyle görünmese de, bir kürenin yüzeyi, küre ile aynı yarıçapa sahip dört dairenin yüzeyi ile aynıdır.

Kürenin hacmi

V = 4/3 π R ³

Egzersizler

- 1. Egzersiz

"EXÓTICA" pizzacı üç çapta pizza satıyor: küçük 30 cm, orta 37 cm ve büyük 45 cm. Bir çocuk çok acıkmış ve iki küçük pizzanın bir büyük pizzanın fiyatının aynı olduğunu fark etti. İki küçük pizza veya büyük bir pizza almak onun için daha iyi ne olacak?

Şekil 5.- Bir pizzanın alanı yarıçapın karesiyle orantılıdır, pi orantılılık sabitidir. Kaynak: Pixabay.

Çözüm

Alan ne kadar büyükse, pizza miktarı o kadar fazla olur, bu nedenle büyük bir pizzanın alanı hesaplanacak ve iki küçük pizzanın alanıyla karşılaştırılacaktır:

Büyük pizzanın alanı = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Küçük pizzanın alanı = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Bu nedenle iki küçük pizzanın bir alanı olacak

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Açıktır: Tek bir büyük olanı iki küçük pizzadan daha fazla miktarda pizza alacaksınız.

- Egzersiz 2

"EXÓTICA" pizzacı ayrıca, her iki tarafı 30 x 40 cm ölçülerinde dikdörtgen bir pizza ile aynı fiyata 30 cm yarıçaplı yarım küre pizza satmaktadır. Hangisini seçerdin?

Şekil 6. - Bir yarım kürenin yüzeyi, tabanın dairesel yüzeyinin iki katıdır. Kaynak: F. Zapata.

Çözüm

Önceki bölümde belirtildiği gibi, bir kürenin alanı aynı çaptaki bir dairenin dört katıdır, bu nedenle 30 cm çapında bir yarım küre şunlara sahip olacaktır:

30 cm yarım küre pizza: 1413.72 cm ² (aynı çapta iki kez dairesel)

Dikdörtgen pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Yarım küre pizza daha geniş bir alana sahiptir.

Referanslar

1. Fernández J. e sayısı. Kökeni ve merakı. Soymatematicas.com'dan kurtarıldı
2. Matematiğin tadını çıkarın. Euler numarası. Kurtarıldı: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 1. Çeşitlendirilmiş. CO-BO sürümleri.
4. Garcia, M. Temel analizde e sayısı. Elde edildi: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Vikipedi. PI numarası. Wikipedia.com adresinden kurtarıldı
6. Vikipedi. Aşkın sayılar. Wikipedia.com adresinden kurtarıldı