Bir dairenin çizilebilen açısı daire üzerindeki tepe vardır ve ışınları buna sekant veya teğet olan bir tanesidir. Sonuç olarak, işaretlenmiş açı her zaman dışbükey veya düz olacaktır.
Şekil 1'de, kendi çevrelerinde yazılı birkaç açı gösterilmektedir. ∠EDF açısı, köşesi D çevresine ve iki ışınına = sahip olarak yazılır.
Bir ikizkenar üçgende, tabana bitişik açılar eşittir, bu nedenle ∠BCO = ∠ABC = α. Öte yandan ∠COB = 180º - β.
COB üçgeninin iç açılarının toplamı göz önüne alındığında, elimizde:
α + α + (180º - β) = 180º
Bundan 2 α = β veya eşdeğeri olanı izler: α = β / 2. Bu, teoremin 1 ifade ettiği şeyle uyuşmaktadır: Her iki açı da aynı akorun altındaysa, yazılı açının ölçüsü merkezi açının yarısıdır.
Gösteri 1b
Şekil 6. α = β / 2 olduğunu gösteren yardımcı yapı. Kaynak: Geogebra ile F. Zapata.
Bu durumda, dairenin merkezinin O açısının içinde olduğu yazılı bir ∠ABC açısına sahibiz.
Bu durumda Teorem 1'i kanıtlamak için, yardımcı ışını çizin) .push ({});
Benzer şekilde, merkezi açılar (β 1 ve β 2) bahsedilen ışına bitişiktir. Böylece göstermek 1a aynı durum, bu yüzden α söylenebilir 2 = β 2 /2 ve a 1 = β 1 / 2'dir. Olarak α = α 1 + α 2 ve β = β 1 + β 2 olması, bu nedenle bu α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / iki.
Sonuç olarak teoremi 1 yerine getiren α = / 2.
- Teorem 2
Şekil 7. Eşit ölçülerdeki α yazılı açılar, çünkü aynı A⌒C yayı alt ederler. Kaynak: Geogebra ile F. Zapata.
- Teorem 3
Aynı ölçekteki akorları oluşturan yazılı açılar eşittir.
Şekil 8. Eşit ölçülerdeki akorları oluşturan yazılı açılar eşit ölçüye sahiptir β. Kaynak: Geogebra ile F. Zapata.
Örnekler
- Örnek 1
Çapı aşan işaretlenmiş açının dik açı olduğunu gösterin.
Çözüm
Çapla ilişkili merkezi açı ∠AOB, ölçüsü 180º olan bir düzlem açısıdır.
Teorem 1'e göre, aynı kirişe (bu durumda çap) tabi olan çevreye yazılan her açı, aynı akorun altını çizen merkez açının bir ölçü olarak yarısına sahiptir, bu bizim örneğimiz için 180º / 2 = 90º'dir.
Şekil 9. Çapa karşılık gelen her işaretlenmiş açı bir dik açıdır. Kaynak: Geogebra ile F. Zapata.
- Örnek 2
A noktasında C çevresine teğet olan çizgi (BC), yazılı ∠BAC açısını belirler (bkz. Şekil 10).
Yazılı açılardan Teorem 1'in yerine getirildiğini doğrulayın.
Şekil 10. Yazılı BAC açısı ve merkezi dışbükey açısı AOA. Kaynak: Geogebra ile F. Zapata.
Çözüm
∠BAC açısı yazılmıştır çünkü tepe noktası çevre üzerindedir ve kenarları [AB) ve [AC) çevreye teğettir, bu nedenle yazılı açının tanımı karşılanır.
Öte yandan, yazılı BAC açısı, tüm çevre olan A⌒A yayı altındadır. A⌒A yayı altındaki merkezi açı, ölçüsü tam açı (360º) olan dışbükey bir açıdır.
Tüm yayı alt eden yazılı açı, ilişkili merkezi açının yarısını ölçer, yani ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Yukarıdakilerin tümü ile, bu özel durumun Teorem 1'i karşıladığı doğrulanmıştır.
Referanslar
- Baldor. (1973). Geometri ve trigonometri. Orta Amerika kültür yayınevi.
- EA (2003). Geometri elemanları: alıştırmalar ve pusula geometrisi ile. Medellin Üniversitesi.
- Geometri 1. ESO. Çevrede Açılar. Edu.xunta.es/ adresinden kurtarıldı
- Tüm Bilim. Çevrede açıların önerilen çalışmaları. Kurtarıldı: francesphysics.blogspot.com
- Vikipedi. Yazılı açı. Kurtarıldı: es.wikipedia.com