ORTHOHEDRON: FORMÜLLER, ALAN, HACIM, KÖŞEGEN, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Orthohedron karşılıklı yüzleri paralel düzlemler içinde ve aynı veya uyumlu dikdörtgenler böylece altı dikdörtgen yüzeyleri sahip olması ile karakterize edilen bir hacim ya da üç boyutlu geometrik bir rakamdır. Öte yandan, belirli bir yüze bitişik yüzler, ilk yüzünkine dik düzlemlerdedir.

Ortohedron, aynı zamanda, ortak bir kenara bitişik iki yüzün düzlemleri tarafından oluşturulan dihedral açıların 90 ° ölçüsünde oluşturduğu, dikdörtgen tabanlı bir dik prizma olarak da düşünülebilir. İki yüz arasındaki dihedral açı, yüzlerin ortak dikey düzlemle kesişme noktasında ölçülür.

Şekil 1. Orthohedron. Kaynak: Geogebra ile F. Zapata.

Benzer şekilde, ortohedron, paralel yüzlü bir dikdörtgendir, çünkü bu, paralel yüzlü, ikiye iki paralel olan altı yüzün hacimsel şekli olarak tanımlanır.

Herhangi bir paralel yüzlüde yüzler paralelkenarlardır, ancak dikdörtgen paralel yüzlülerde yüzler dikdörtgen olmalıdır.

Ortohedron bölümleri

Ortohedron gibi bir çokyüzlünün parçaları şunlardır:

-Aristalar

-Vertices

Yüzler

Ortohedronun bir yüzünün iki kenarı arasındaki açı, kenarların her birine bitişik olan diğer iki yüzünün oluşturduğu iki yüzlü açı ile çakışarak bir dik açı oluşturur. Aşağıdaki resim her bir kavramı açıklamaktadır:

Şekil 2. Bir ortohedronun parçaları. Kaynak: Geogebra ile F. Zapata.

-Toplamda bir ortohedronun 6 yüzü, 12 kenarı ve 8 köşesi vardır.

- Herhangi iki kenar arasındaki açı dik açıdır.

-Her iki yüz arasındaki dihedral açı da doğrudur.

- Her yüzde dört köşe vardır ve her köşede üç adet karşılıklı dik yüz vardır.

Orthohedron formülleri

alan

Bir ortohedronun yüzeyi veya alanı, yüzlerinin alanlarının toplamıdır.

Bir tepe noktasında birleşen üç kenarın Şekil 3'te gösterildiği gibi a, b ve c ölçüleri varsa, ön yüzde c⋅b alanına ve alt yüzde de c⋅b alanına sahiptir.

Daha sonra iki yan yüzün her biri a⋅b alanına sahiptir. Ve son olarak, zemin ve tavan yüzlerinin her biri bir tienenc alana sahiptir.

Şekil 3. a, b, c boyutlarının orthohedronu. İç diyagonal D ve dış diyagonal d.

Tüm yüzlerin alanını eklemek şunu verir:

Ortak bir faktör almak ve şartları sipariş etmek:

Ses

Ortohedron bir prizma olarak düşünülürse, hacmi şu şekilde hesaplanır:

Bu durumda, c ve a boyutlarının tabanı dikdörtgen taban olarak alınır, bu nedenle tabanın alanı c⋅a'dır.

Yükseklik, a ve c kenarlarının yüzlerine ortogonal olan kenarların uzunluğu b ile verilir.

Tabanın alanını (a⋅c) b yüksekliğiyle çarpmak ortohedronun V hacmini verir:

İç köşegen

Bir ortohedronda iki tür köşegen vardır: dış köşegenler ve iç köşegenler.

Dış köşegenler dikdörtgen yüzler üzerindeyken, iç köşegenler iki karşıt köşeyi birleştiren segmentlerdir ve herhangi bir kenarı paylaşmayanlar karşıt köşeler tarafından anlaşılır.

Bir ortohedronda hepsi eşit ölçülerde dört iç köşegen vardır. İç köşegenlerin uzunluğu, dik üçgenler için Pisagor teoremi uygulanarak elde edilebilir.

Ortohedronun zemin yüzünün dış köşegeninin d uzunluğu Pisagor ilişkisini yerine getirir:

d ² = bir ² + c ²

Benzer şekilde, D ölçüsünün iç köşegeni Pisagor ilişkisini yerine getirir:

D ² = d ² + b ² .

Elimizdeki önceki iki ifadeyi birleştirerek:

D ² = bir ² + c ² + b ² .

Son olarak, ortohedronun herhangi bir iç köşegeninin uzunluğu aşağıdaki formülle verilmiştir:

D = √ (bir ² + b ² + c ² ).

Örnekler

- Örnek 1

Bir duvarcı ustası, iç boyutları 6 mx 4 m taban ve 2 m yüksekliğinde olan ortohedron şeklinde bir tank inşa eder. Soruyor:

a) Tankın üstte tamamen açık olup olmadığını belirleyin.

b) Tankın iç hacmini hesaplayın.

c) Bir iç köşegenin uzunluğunu bulun.

d) Tankın litre cinsinden kapasitesi nedir?

Çözüm

Dikdörtgen tabanın boyutlarını a = 4 m ve c = 6 m ve yüksekliği b = 2 m olarak alacağız.

Verilen boyutlara sahip bir ortohedron alanı aşağıdaki ilişki ile verilir:

Bir = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Demek ki:

Bir = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Önceki sonuç, verilen boyutlara sahip kapalı ortohedronun alanıdır, ancak tankın iç duvarlarının yüzeyini elde etmek için üst kısmında tamamen açık bir tank olduğundan, eksik kapağın alanı çıkarılmalıdır, yani:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Son olarak, tankın iç yüzeyi: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ^{2 olacaktır} .

Çözüm b

Tankın iç hacmi, tankın iç boyutlarının orto yüzlü hacmi ile verilir:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Çözüm c

Tankın iç boyutlarına sahip bir sekiz yüzlünün iç köşegeni, aşağıdaki şekilde verilen bir D uzunluğuna sahiptir:

√ (bir ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Sahip olduğumuz belirtilen işlemleri yapmak:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Çözüm d

Tankın kapasitesini litre cinsinden hesaplamak için, bir kübik desimetrenin hacminin bir litre kapasiteye eşit olduğunu bilmek gerekir. Daha önce metreküp cinsinden hacim olarak hesaplanmıştı, ancak kübik desimetreye ve sonra litreye dönüştürülmesi gerekiyor:

V = 48 m ³ = 48 (10 DM) ³ = 4.800 dm ³ = 4,800 L

- Egzersiz 2

Bir cam akvaryumun kenarı 25 cm olan kübik bir şekle sahiptir. M alanı belirlemek ² , hacim litre cinsinden ve sm bir iç köşegenin uzunluğundan.

Şekil 4. Kübik şekilli cam akvaryum.

Çözüm

Alan, aynı ortohedron formülü kullanılarak hesaplanır, ancak tüm boyutların aynı olduğu dikkate alınır:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ bir ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1.250 cm ²

Küpün hacmi şu şekilde verilir:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15.625 cm ³ = 15.625 (0.1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

İç köşegenin D uzunluğu:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43.30 cm.

Referanslar

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Youtube.com adresinden kurtarıldı.
2. Calculation.cc. Alanların ve hacimlerin alıştırmaları ve çözülmüş problemleri. Calculo.cc'den kurtarıldı.
3. Salvador R. Piramit + GEOGEBRA (IHM) ile ortohedron. Youtube.com adresinden kurtarıldı
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Vikipedi. Ortohedron Kurtarıldı: es.wikipedia.com