HIPERBOLIK PARABOLOID: TANIMI, ÖZELLIKLERI VE ÖRNEKLERI - MATEMATIK - 2025

Bir hiperbolik parabolik olan genel denklem Kartezyen koordinatları (x, y, z) biri aşağıdaki denklem de bir yüzeydir:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

"Paraboloid" adı, z değişkeninin x ve y değişkenlerinin karelerine bağlı olmasından gelir. "Hiperbolik" sıfatı, z'nin sabit değerlerinde bir hiperbol denklemine sahip olduğumuz gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bu yüzeyin şekli bir at eyerine benzer.

Şekil 1. Hiperbolik paraboloid z = x ² - y ² . Kaynak: F. Wolfram Mathematica kullanarak Zapata.

Hiperbolik paraboloidin tanımı

Hiperbolik paraboloidin doğasını anlamak için aşağıdaki analiz yapılacaktır:

1. - a = 1, b = 1 özel durumunu alacağız, yani paraboloidin Kartezyen denklemi z = x ² - y ² olarak kalacaktır .

2.- Düzlemler ZX düzlemine paralel kabul edilir, yani y = ctte.

3. - y = ctte ile, dalları yukarı doğru ve tepe noktası XY düzleminin altında olan parabolleri temsil eden z = x ² - C olarak kalır .

Şekil 2. Eğri ailesi z = x ² - C. Kaynak: F. Geogebra kullanan Zapata.

4. - x = ctte ile, XY düzleminin üzerinde dallar aşağı ve tepe noktası ile parabolleri temsil eden z = C - y ^{2 olarak} kalır .

Şekil 3. Eğri ailesi z = C - y ² . Kaynak: F. Zapata Geogebra aracılığıyla.

5. - z = ctte ile, XY düzlemine paralel düzlemlerdeki hiperbolleri temsil eden C = x ² - y ^{2 olarak} kalır . C = 0 olduğunda, XY düzleminde başlangıç ​​noktasında kesişen iki çizgi (X eksenine göre + 45º ve -45º'de) vardır.

Şekil 4. Eğri ailesi x ² - y ² = C. Kaynak: F. Geogebra kullanan Zapata ..

Hiperbolik paraboloidin özellikleri

1.- Üç boyutlu uzaydaki dört farklı nokta bir ve yalnızca bir hiperbolik paraboloid tanımlar.

2.- Hiperbolik paraboloid, iki kez yönetilen bir yüzeydir. Bu, eğimli bir yüzey olmasına rağmen, tamamen hiperbolik paraboloide ait olan bir hiperbolik paraboloidin her noktasından iki farklı çizginin geçtiği anlamına gelir. Düzlem olmayan ve iki kez yönetilen diğer yüzey, devrimin hiperboloididir.

Yüzey düz kirişlerden veya iplerden üretilebildiği için mimaride geniş kullanımına izin veren hiperbolik paraboloidin ikinci özelliğidir.

Hiperbolik paraboloidin ikinci özelliği, bunun alternatif bir tanımına izin verir: sabit bir düzleme paralel hareket eden bir düz çizgi tarafından oluşturulabilen ve kılavuz görevi gören iki sabit çizgiyi kesen yüzeydir. Aşağıdaki şekil, hiperbolik paraboloidin bu alternatif tanımını netleştirir:

Şekil 5. Hiperbolik paraboloid iki kez yönetilen bir yüzeydir. Kaynak: F. Zapata.

Çalışılan Örnekler

- Örnek 1

Z = xy denkleminin hiperbolik bir paraboloide karşılık geldiğini gösterin.

Çözüm

Kartezyen eksenlerinin + 45º Z eksenine göre dönüşüne karşılık gelen x ve y değişkenlerine bir dönüşüm uygulanacaktır. Eski x ve y koordinatları, aşağıdaki ilişkilere göre yeni x 've y' ye dönüştürülür:

x = x '- y'

y = x '+ y'

z koordinatı aynı kalırken, yani z = z '.

Z = xy denkleminde yerine koyarsak:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Farkın dikkate değer ürününü kareler farkına eşit olan toplamla uygulayarak, elde ederiz:

z '= x' ² - y ' ²

başlangıçta verilen hiperbolik paraboloit tanımına açıkça karşılık gelir.

XY eksenine paralel düzlemlerin hiperbolik paraboloid z = xy ile kesişmesi, asimptot olarak x = 0 ve y = 0 düzlemlerine sahip eşkenar hiperbolleri belirler.

- Örnek 2

A (0, 0, 0) noktalarından geçen hiperbolik paraboloidin a ve b parametrelerini belirleyin; B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) ve D (2, -1, 32/9).

Çözüm

Özelliklerine göre, üç boyutlu uzaydaki dört nokta tek bir hiperbolik paraboloid belirler. Genel denklem:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Verilen değerleri değiştiriyoruz:

A noktası için , a ve b parametrelerinin değerleri ne olursa olsun karşılanan bir denklem olan 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ^2'ye sahibiz .

B noktasını değiştirerek şunu elde ederiz:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

C noktası için kalırsa:

32/9 = 4 / a ² - 1 / B ²

Son olarak, D noktası için şunu elde ederiz:

32/9 = 4 / a ² - 1 / B ²

Önceki denklemle aynı olan. Nihayetinde denklem sistemi çözülmelidir:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / B ²

İkinci denklemi ilkinden çıkarmak şunu verir:

27/9 = 3 / a ² , bu da ² = 1 olduğunu gösterir.

Benzer şekilde, ikinci denklem ilkinin dörtlünden çıkarılır ve elde edilir:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Hangisi basitleştirilmiştir:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Kısacası, verilen A, B, C ve D noktalarından geçen hiperbolik paraboloidin aşağıdaki şekilde verilen bir Kartezyen denklemi vardır:

z = x ² - (4/9) y ²

- Örnek 3

Hiperbolik paraboloidin özelliklerine göre, tamamen içerdiği her noktadan iki çizgi geçer. Z = x ^ 2 - y ^ 2 durumu için, açıkça hiperbolik paraboloide ait olan P (0, 1, -1) noktasından geçen iki doğrunun denklemini bulun, öyle ki bu doğruların tüm noktaları da aynı.

Çözüm

Kareler farkının dikkate değer çarpımını kullanarak hiperbolik paraboloit için denklem şu şekilde yazılabilir:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

C sıfır olmayan bir sabittir.

X + y = cz denklemi ve x - y = 1 / c denklemi, normal vektörler n = <1,1, -c> ve m = <1, -1,0> olan iki düzleme karsilik gelir . Mxn = <- c, -c, -2> vektör çarpımı bize iki düzlemin kesişme çizgisinin yönünü verir. Daha sonra P noktasından geçen ve hiperbolik paraboloide ait olan çizgilerden birinin parametrik bir denklemi vardır:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

C'yi belirlemek için x + y = cz denklemindeki P noktasını değiştiririz, şunu elde ederiz:

c = -1

Benzer şekilde, ancak (x - y = kz) ve (x + y = 1 / k) denklemlerini göz önünde bulundurarak, doğrunun parametrik denklemine sahibiz:

= <0, 1, -1> + s k = 1 ile.

Özetle, iki satır:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> ve = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

(0, 1, -1) noktasından geçen z = x ² - y ² hiperbolik paraboloid içinde tamamen bulunurlar .

Bir kontrol olarak, bize ilk satırdaki (1,2, -3) noktasını veren t = 1 olduğunu varsayalım. Paraboloid üzerinde olup olmadığını da kontrol etmelisiniz z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1-4 = -3

Bu da hiperbolik paraboloitin yüzeyine ait olduğunu doğruluyor.

Mimaride hiperbolik paraboloid

Şekil 6. Valencia Oşinografisi (İspanya) Kaynak: Wikimedia Commons.

Hiperbolik paraboloid, mimaride, aralarında İspanyol mimar Antoni Gaudí'nin (1852-1926) ve özellikle de İspanyol Félix Candela'nın (1910-1997) isimlerinin öne çıktığı büyük avangart mimarlar tarafından kullanılmıştır.

Aşağıda hiperbolik paraboloide dayanan bazı çalışmalar bulunmaktadır:

- Mimar Félix Candela'nın Cuernavaca (Meksika) şehrinin Şapeli eseri.

-Félix Candela tarafından Valensiya Oşinografisi (İspanya).

Referanslar

1. Matematik Ansiklopedisi. Kurallı Yüzey. Encyclopediaofmath.org'dan kurtarıldı
2. Llera Rubén. Hiperbolik paraboloit. Rubenllera.wordpress.com adresinden kurtarıldı
3. Weisstein, Eric W. "Hiperbolik Paraboloid." MathWorld'den - Bir Wolfram Web Kaynağı. Kurtarıldı: mathworld.wolfram.com
4. Vikipedi. Paraboloid. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı
5. Vikipedi. Paraboloid. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
6. Vikipedi. Kurallı yüzey. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı