PARALEL YÜZLÜ: ÖZELLIKLER, TÜRLER, ALAN, HACIM - MATEMATIK - 2025

Bir paralel yüzlü yüzlerinden her paralel kenar olduğu ve aynı zamanda karşılıklı yüzleri birbirine paralel olan ana karakteristiği altı yüzünden, oluşan geometrik bir organdır. Günlük hayatımızda yaygın bir çokyüzlüdür, çünkü onu ayakkabı kutularında, tuğla şeklinde, mikrodalga şeklinde vb. Bulabiliriz.

Çokyüzlü olan paralel yüz, sonlu bir hacmi çevrelemektedir ve tüm yüzleri düzdür. Tüm köşelerinin iki paralel düzlemde bulunduğu polihedralar olan prizmalar grubunun bir parçasıdır.

Paralel Yüzlü Elemanlar

Yüzler

Paralel kenarları sınırlayan paralelkenarların oluşturduğu bölgelerin her biri. Paralel yüzlü, her yüzün dört bitişik yüze ve bir zıt yüze sahip olduğu altı yüzü vardır. Ayrıca her yüz, zıttıyla paraleldir.

Kenarlar

İki yüzün ortak taraflarıdır. Toplamda, bir paralel yüzlü on iki kenara sahiptir.

Köşe

İkişer ikişer bitişik üç yüzün ortak noktasıdır. Paralel borunun sekiz köşesi vardır.

Diyagonal

Birbirine zıt paralel yüzlü iki yüz verildiğinde, bir yüzün tepe noktasından diğerinin karşı köşesine giden bir doğru parçası çizebiliriz.

Bu parça paralel yüzlü köşegen olarak bilinir. Her paralel yüzlü dört köşegen vardır.

merkez

Tüm köşegenlerin kesiştiği noktadır.

Paralel Yüzlülerin Özellikleri

Daha önce bahsettiğimiz gibi, bu geometrik gövdenin on iki kenarı, altı yüzü ve sekiz köşesi vardır.

Paralel yüzlü, birbirine paralel dört kenardan oluşan üç küme tanımlanabilir. Ayrıca, söz konusu setlerin kenarları da aynı uzunlukta olma özelliğine sahiptir.

Paralel yüzlülerin sahip olduğu diğer bir özellik, dışbükey olmalarıdır, yani paralel yüzlü iç kısmına ait herhangi bir nokta çiftini alırsak, söz konusu nokta çifti tarafından belirlenen parça da paralel yüzlü içinde olacaktır.

Buna ek olarak, paralel yüzlü dışbükey polihedra, Euler'in polihedra teoremine uyar, bu da bize yüz sayısı, kenar sayısı ve köşe sayısı arasında bir ilişki verir. Bu ilişki aşağıdaki denklem şeklinde verilmiştir:

C + V = A + 2

Bu özellik, Euler özelliği olarak bilinir.

C yüzlerin sayısı, V köşe sayısı ve A kenarların sayısıdır.

Türleri

Paralel yüzleri yüzlerine göre aşağıdaki tiplere ayırabiliriz:

Ortohedron

Yüzlerinin altı dikdörtgenden oluştuğu paralel yüzlerdir. Her dikdörtgen, bir kenarı paylaşanlara diktir. Günlük hayatımızda en yaygın olanıdır, bu ayakkabı kutuları ve tuğlaların olağan şeklidir.

Normal küp veya altı yüzlü

Bu, yüzlerin her birinin bir kare olduğu bir öncekinin özel bir durumudur.

Küp ayrıca Platonik katılar adı verilen geometrik cisimlerin bir parçasıdır. Platonik bir cisim, dışbükey bir çokyüzlüdür, böylece hem yüzleri hem de iç açıları birbirine eşittir.

Rhombohedron

Yüzünde eşkenar dörtgen bulunan bir paralel yüzlüdür. Bu eşkenar dörtgenler, kenarları paylaştıkları için birbirine eşittir.

Rhombohedron

Altı yüzü eşkenar dörtgendir. Bir eşkenar dörtgenin dört kenarı ve ikiye ikiye eşit dört açısı olan bir çokgen olduğunu hatırlayın. Eşkenar dörtgenler, kare, dikdörtgen veya eşkenar dörtgen olmayan paralelkenarlardır.

Öte yandan, Eğik Paralel yüzlüler, en az bir yüksekliğin kenarlarıyla uyuşmadığı durumlardır. Bu sınıflandırmaya rhombohedra ve rhombohedra'yı dahil edebiliriz.

Köşegen hesaplama

Ar için Pisagor teoreminin kullanabilir bir orthohedron köşegeni hesaplamak için ³ .

Bir ortohedronun, her iki tarafın bir kenarı paylaşan kenarlara dik olma özelliğine sahip olduğunu hatırlayın. Bu gerçeklerden, her bir kenarın, bir tepe noktasını paylaşanlara dik olduğu sonucuna varabiliriz.

Bir ortohedronun köşegeninin uzunluğunu hesaplamak için şu şekilde ilerliyoruz:

1. Taban olarak koyacağımız yüzlerden birinin köşegenini hesaplarız. Bunun için Pisagor teoremini kullanıyoruz. Bunu diyagonal d _{b olarak adlandıralım} .

2. Sonra d _b ile yeni bir dik üçgen oluşturabiliriz, öyle ki söz konusu üçgenin hipotenüsü aradığımız diyagonal D'dir.

3. Pisagor teoremini tekrar kullanıyoruz ve bu köşegenin uzunluğuna sahibiz:

Köşegenleri daha grafik bir şekilde hesaplamanın başka bir yolu da serbest vektörlerin eklenmesidir.

B vektörünün kuyruğunu A vektörünün ucuna yerleştirerek iki serbest vektör A ve B'nin eklendiğini hatırlayın.

Vektör (A + B), A'nın kuyruğunda başlayan ve B'nin ucunda biten vektördür.

Köşegenini hesaplamak istediğimiz bir paralel yüzlü düşünelim.

Kenarları uygun şekilde yönlendirilmiş vektörlerle tanımlıyoruz.

Sonra bu vektörleri ekleriz ve ortaya çıkan vektör paralel yüzlü köşegen olur.

alan

Paralel yüzün alanı, yüzlerinin her bir alanının toplamı ile verilir.

Taraflardan birini taban olarak belirlersek,

A _L + 2A _B = Toplam Alan

A _L , tabana bitişik tüm kenarların alanlarının toplamına eşit olduğunda, yanal alan olarak adlandırılır ve A _B tabanın alanıdır.

Üzerinde çalıştığımız paralel yüz türüne bağlı olarak bu formülü yeniden yazabiliriz.

Ortohedron alanı

Formül ile verilir

A = 2 (ab + bc + ca).

örnek 1

Kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm olan aşağıdaki orto yüzlü göz önüne alındığında, paralel yüzeyin alanını ve köşegeninin uzunluğunu hesaplayın.

Bir ortohedron alanı için formül kullanarak,

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Bir orto yüzlü olduğu için dört köşegeninden herhangi birinin uzunluğunun aynı olduğuna dikkat edin.

Uzay için Pisagor teoremini kullanarak buna sahibiz

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Bir küp alanı

Her kenar aynı uzunluğa sahip olduğundan, a = b ve a = c'ye sahibiz. Elimizdeki önceki formülde ikame etmek

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

Bir = 6a ²

Örnek 2

Oyun konsolunun kutusu küp şeklindedir. Bu kutuyu hediye paketi ile sarmak istersek, küpün kenarlarının uzunluğunun 45 cm olduğunu bilerek ne kadar kağıt harcarız?

Küp alanı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Bir rhombohedron alanı

Tüm yüzleri aynı olduğu için bir tanesinin alanını hesaplayın ve altı ile çarpın.

Bir eşkenar dörtgenin alanının köşegenleri üzerinden aşağıdaki formülle hesaplanabileceğini biliyoruz.

Bir _R = (Dd) / 2

Bu formülü kullanarak, rhombohedronun toplam alanının,

Bir _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Örnek 3

Aşağıdaki rhombohedronun yüzleri, köşegenleri D = 7 cm ve d = 4 cm olan bir eşkenar dörtgen tarafından oluşturulur. Bölgen olacak

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Bir rhombohedron alanı

Bir eşkenar dörtgenin alanını hesaplamak için onu oluşturan eşkenar dörtgenlerin alanını hesaplamalıyız. Paralel borular, zıt tarafların aynı alana sahip olma özelliğini sağladığından, kenarları üç çift halinde ilişkilendirebiliriz.

Bu şekilde, alanınız olacak

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

B _i'nin kenarlarla ilişkili tabanlar olduğu ve h _i'nin göreceli yükseklikleri bu tabanlara karşılık gelir.

Örnek 4

Aşağıdaki paralel yüzlü düşünün,

burada A tarafı ve A '(karşı tarafı) b = 10 tabanı ve h = 6 yüksekliği vardır. İşaretli alan değeri

Bir ₁ = 2 (10) (6) = 120

B ve B 'b = 4 ve h = 6'ya sahiptir, bu nedenle

Bir ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC ve C 'b = 10 ve h = 5’e sahiptir, dolayısıyla

Bir ₃ = 2 (10) (5) = 100

Son olarak rhombohedron'un alanı

Bir = 120 + 48 + 100 = 268.

Paralel yüzlü hacim

Bize bir paralel yüzeyin hacmini veren formül, yüzlerinden birinin alanının o yüze karşılık gelen yüksekliğin çarpımıdır.

V = A _C h _C

Paralel yüzlü tipine bağlı olarak, bu formül basitleştirilebilir.

Böylelikle, örneğin bir ortohedronun hacminin

V = abc.

Burada a, b ve c ortohedronun kenarlarının uzunluğunu temsil eder.

Ve küpün özel durumunda,

V = bir ³

örnek 1

Çerez kutuları için üç farklı model vardır ve bu modellerden hangisinde daha fazla çerez saklayabileceğinizi, yani kutulardan hangisinin en büyük hacme sahip olduğunu bilmek istiyorsunuz.

İlki, kenarı a = 10 cm uzunluğunda olan bir küp

Hacmi V = 1000 cm ^{3 olacaktır.}

İkincisinin kenarları b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Ve bu nedenle hacmi V = 765 cm ³

Üçüncüsü ise e = 9 cm, f = 9 cm ve g = 13 cm

Ve hacmi V = 1053 cm ³

Bu nedenle, en büyük hacme sahip kutu üçüncüdür.

Bir paralel yüzeyin hacmini elde etmenin başka bir yöntemi de vektör cebirini kullanmaktır. Özellikle, üçlü nokta çarpımı.

Üçlü skaler çarpımın sahip olduğu geometrik yorumlardan biri, kenarları bir başlangıç ​​noktası olarak aynı tepe noktasını paylaşan üç vektör olan paralel yüzlünün hacmidir.

Bu şekilde, eğer bir paralel yüze sahipsek ve hacminin ne olduğunu bilmek istiyorsak , köşelerinden birini orijine denk getirerek onu bir koordinat sisteminde R ^3'te temsil etmek yeterlidir .

Daha sonra, şekilde gösterildiği gibi, orijinde çakışan kenarları vektörlerle temsil ederiz.

Ve bu şekilde, söz konusu paralel yüzlü hacminin

V = - AxB ∙ C-

Veya eşdeğer olarak, hacim, kenar vektörlerinin bileşenlerinin oluşturduğu 3 × 3 matrisin belirleyicisidir.

Örnek 2

R aşağıdaki paralel yüzlü temsil ederken ³ bunu tespit vektörler şu olduğunu görüyoruz

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ve w = (-0.25, -4, 4)

Elimizdeki üçlü skaler ürünü kullanarak

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Bundan V = 60 olduğu sonucuna varıyoruz

Şimdi R3'te kenarları vektörler tarafından belirlenen aşağıdaki paralel yüzlü düşünelim.

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ve C = (3, 4, 4)

Belirleyicileri kullanmak bize şunu verir:

Böylece söz konusu paralel yüzlü hacmin 112 olduğunu gördük.

Her ikisi de hacmi hesaplamanın eşdeğer yollarıdır.

Mükemmel paralel yüzlü

Bir ortohedron, hem kenarlarının uzunluğunun hem de yüzlerinin her birinin köşegenlerinin uzunluğunun tam sayı olması özelliğini yerine getiren bir Euler tuğlası (veya Euler bloğu) olarak bilinir.

Euler, bu özelliği yerine getiren ortohedrayı inceleyen ilk bilim adamı olmasa da, onlar hakkında ilginç sonuçlar buldu.

En küçük Euler tuğlası Paul Halcke tarafından keşfedilmiştir ve kenarlarının uzunlukları a = 44, b = 117 ve c = 240'dır.

Sayı teorisindeki açık bir problem aşağıdaki gibidir

Mükemmel ortohedra var mı?

Şu anda, bu tür cisimlerin var olmadığını kanıtlamak mümkün olmadığından bu soruya cevap verilmedi, ancak hiçbiri de bulunamadı.

Şimdiye kadar gösterilen şey, mükemmel paralel yüzlerin var olduğudur. İlk keşfedilen, kenarlarının uzunluğu 103, 106 ve 271 değerlerine sahiptir.

kaynakça

1. Guy, R. (1981). Sayı teorisinde çözülmemiş problemler. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. İlerleme.
3. Leithold, L. (1992). Analitik geometri ile hesaplama. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Teknik resim: Aktivite kitabı 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. ve Krane, K. (2001). Physics Cilt 1. Meksika: Kıta.