ÇARPMA PRENSIBI: SAYMA TEKNIKLERI VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Çarpımsal prensibi öğelerini liste zorunda kalmadan bir çözüm bulmak için sayma sorunları çözmek için kullanılan bir tekniktir. Aynı zamanda, kombinatoryal analizin temel ilkesi olarak da bilinir; bir olayın nasıl meydana gelebileceğini belirlemek için ardışık çarpmaya dayanır.

Bu ilke, bir karar (d ₁ ) n şekilde verilebiliyorsa ve başka bir karar (d ₂ ) m yollarla verilebiliyorsa, d ₁ ve d ₂ kararlarının alınabileceği toplam yol sayısı eşit olacaktır. n _* m'den çarpmak için . İlkeye göre, her karar birbiri ardına verilir: yol sayısı = N _{1 *} N ₂ … _* N _x yol.

Örnekler

örnek 1

Paula arkadaşları ile sinemaya gitmeyi ve giyeceği kıyafetleri seçmeyi planlıyor, 3 bluz ve 2 etek ayırıyorum. Paula kaç şekilde giyinebilir?

Çözüm

Bu durumda, Paula iki karar vermelidir:

d ₁ = 3 bluz arasından seçim yapın = n

d ₂ = 2 etek arasından seçim yapın = m

Bu şekilde Paula n sahiptir _* yapmak m kararlar veya giyinme farklı yolları.

n _* m = 3 _* 2 = 6 karar.

Çarpım ilkesi, tüm olası sonuçları ilişkilendiren bir diyagram olan ağaç diyagram tekniğinden kaynaklanır, böylece her biri sonlu sayıda olabilir.

Örnek 2

Mario çok susamıştı, bu yüzden meyve suyu almak için fırına gitti. Luis onunla ilgilenir ve iki boyutta olduğunu söyler: büyük ve küçük; ve dört çeşit: elma, portakal, limon ve üzüm. Mario suyu kaç yoldan seçebilir?

Çözüm

Diyagramda Mario'nun meyve suyunu seçmenin 8 farklı yolu olduğu ve çarpım prensibinde olduğu gibi bu sonucun n _* m çarpılarak elde edildiği görülebilir . Tek fark, bu diyagram aracılığıyla Mario'nun meyve suyunu nasıl seçtiğini görebilmenizdir.

Öte yandan, olası sonuçların sayısı çok fazla olduğunda, çarpım ilkesini kullanmak daha pratiktir.

Sayma teknikleri

Sayma teknikleri, doğrudan bir sayım yapmak için kullanılan yöntemlerdir ve bu nedenle, belirli bir setin öğelerinin sahip olabileceği olası düzenlemelerin sayısını bilir. Bu teknikler birkaç ilkeye dayanmaktadır:

Ekleme prensibi

Bu ilke, iki olay m ve n aynı anda meydana gelemezse, birinci veya ikinci olayın meydana gelebileceği yolların sayısının m + n toplamı olacağını belirtir:

Şekil sayısı = m + n… + x farklı şekil.

Misal

Antonio bir seyahate çıkmak istiyor ama hangi varış noktasına karar vermiyor; Güney Turizm Acentasında size New York veya Las Vegas'a seyahat etmeniz için bir promosyon sunarlar, Doğu Turizm Acentası ise Fransa, İtalya veya İspanya'ya seyahat etmenizi önerir. Antonio size kaç farklı seyahat alternatifi sunuyor?

Çözüm

Güney Turizm Acentası ile Antonio'nun 2 alternatifi (New York veya Las Vegas), Doğu Turizm Acentesi ile 3 seçeneği (Fransa, İtalya veya İspanya) vardır. Farklı alternatiflerin sayısı:

Alternatif sayısı = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Permütasyon ilkesi

Bu, öğelerle yapılabilecek tüm olası düzenlemelerin sayılmasını kolaylaştırmak için bir seti oluşturan öğelerin tümünü veya bir kısmını özel olarak sipariş etmekle ilgilidir.

Tek seferde alınan n farklı elementin permütasyon sayısı şu şekilde temsil edilir:

_n P _n = n!

Misal

Dört arkadaş bir fotoğraf çekmek istiyor ve kaç farklı şekilde düzenlenebileceklerini bilmek istiyor.

Çözüm

4 kişinin fotoğrafı çekmek için konumlandırılabileceği tüm olası yolların kümesini bilmek istiyorsunuz. Bu nedenle, yapmanız gerekenler:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 farklı şekil.

Mevcut n elemanın permütasyon sayısı, r elemanlarından oluşan bir kümenin parçaları tarafından alınırsa, şu şekilde temsil edilir:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Misal

Bir sınıfta 10 koltuk vardır. Sınıfa 4 öğrenci katılırsa, öğrenciler pozisyonları kaç farklı şekilde doldurabilir?

Çözüm

Sandalye setinin toplam sayısı 10'dur ve bunlardan sadece 4 tanesi kullanılacak.Verilen formül permütasyon sayısını belirlemek için uygulanır:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 pozisyon doldurma yolu.

Bir setin bazı mevcut elemanlarının tekrarlandığı durumlar vardır (bunlar aynıdır). Tüm elemanları aynı anda alan dizilerin sayısını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Misal

"Kurt" kelimesinden kaç farklı dört harfli kelime oluşturulabilir?

Çözüm

Bu durumda ikisi tam olarak aynı olan 4 eleman (harf) vardır. Verilen formülü uygulayarak, kaç farklı kelimenin ortaya çıktığı bilinmektedir:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 farklı kelime.

Kombinasyon prensibi

Belirli bir düzen olmadan bir seti oluşturan unsurların tümünü veya bir kısmını düzenlemekle ilgilidir. Örneğin, bir XYZ düzenlemeniz varsa, diğerlerinin yanı sıra ZXY, YZX, ZYX düzenlemeleri ile aynı olacaktır; çünkü aynı sırada olmamasına rağmen, her bir düzenlemenin öğeleri aynıdır.

(N) kümesinden bazı elemanlar (r) alındığında, kombinasyon prensibi aşağıdaki formülle verilir:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Misal

Bir mağazada 5 farklı çikolata türü satıyorlar. 4 çikolata kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm

Bu durumda mağazada sattıkları 5 çeşitten 4 çikolatanın seçilmesi gerekiyor. Seçildikleri sıra önemli değildir ve ayrıca bir çikolata türü ikiden fazla seçilebilir. Formülü uygulayarak yapmanız gerekenler:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 4 çikolata seçmenin 5 farklı yolu.

(N) kümesinin tüm elemanları (r) alındığında, kombinasyon prensibi aşağıdaki formülle verilir:

_n C _{n =} n!

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

14 kişilik bir beyzbol takımı var. Bir oyun için kaç farklı pozisyon atanabilir?

Çözüm

Set 14 unsurdan oluşuyor ve 5 özel pozisyon atamak istiyorsunuz; yani, düzen önemlidir. Permütasyon formülü, mevcut n sayıda öğenin r ile oluşturulan bir kümenin parçaları tarafından alındığı durumlarda uygulanır.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Burada n = 14 ve r = 5. Formülde ikame edilir:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 9 oyun pozisyonu atama yolu.

Egzersiz 2

9 kişilik bir aile bir yolculuğa çıkarsa ve biletlerini arka arkaya koltuklarla satın alırsa, kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm

Arka arkaya 9 koltuk işgal edecek yaklaşık 9 element.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362880 farklı oturma şekli.

Referanslar

1. Hopkins, B. (2009). Ayrık Matematik Öğretimi için Kaynaklar: Sınıf Projeleri, Tarih Modülleri ve Makaleler.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Ayrık Matematik. Pearson Education,.
3. Lütfiyya, LA (2012). Sonlu ve Ayrık Matematik Problem Çözücü. Araştırma ve Eğitim Derneği Editörleri.
4. Padró, FC (2001). Ayrık Matematik. Politèc. Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Uygulamalı bilimler için matematik. Reverte.