ÇAPRAZ ÜRÜN: ÖZELLIKLER, UYGULAMALAR VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Çapraz ürün veya vektör ürün , iki veya daha fazla vektör çarpımı bir yöntemdir. Vektörleri çarpmanın üç yolu vardır, ancak bunların hiçbiri kelimenin genel anlamıyla çarpma değildir. Bu formlardan biri, üçüncü bir vektörle sonuçlanan bir vektör ürünü olarak bilinir.

Çapraz çarpım veya dış çarpım olarak da adlandırılan çapraz çarpım, farklı cebirsel ve geometrik özelliklere sahiptir. Bu özellikler, özellikle fizik çalışmaları açısından çok kullanışlıdır.

Tanım

Vektör çarpımının resmi bir tanımı şudur: Eğer A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) vektörlerse, A ve B'nin AxB olarak ifade edeceğimiz vektör çarpımı şöyledir:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

AxB notasyonu nedeniyle, "A çapraz B" olarak okunur.

Dış çarpımın nasıl kullanılacağına bir örnek, eğer A = (1, 2, 3) ve B = (3, -2, 4) vektörlerse, bir vektör çarpımının tanımını kullanarak:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2-6) = (14, 5, - 8).

Vektör çarpımını ifade etmenin başka bir yolu determinantların gösterimi ile verilmektedir.

İkinci dereceden bir determinantın hesaplanması şu şekilde verilir:

Bu nedenle, tanımda verilen çapraz çarpım için formül aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Bu genellikle aşağıdaki gibi üçüncü dereceden bir belirleyici olarak basitleştirilir:

Burada i, j, k, R temelini oluşturan vektörlerini ³ .

Çapraz çarpımı bu şekilde ifade ederek, önceki örneğin şu şekilde yeniden yazılabileceğini gördük:

Özellikleri

Vektör çarpımının sahip olduğu bazı özellikler şunlardır:

Özellik 1

A, R ^3'teki herhangi bir vektörse , bizde:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Bu özelliklerin yalnızca tanımı kullanarak kontrol edilmesi kolaydır. Eğer A = (a1, a2, a3) ise:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

İ, j, k R birim tabanını temsil ederse ³ aşağıdaki gibi, onları yazabiliriz:

ben = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Yani, aşağıdaki özelliklerin doğru olduğuna sahibiz:

Anımsatıcı bir kural olarak, bu özellikleri hatırlamak için genellikle aşağıdaki daire kullanılır:

Orada kendi başına herhangi bir vektörün sonuç olarak vektör 0 verdiğini ve ürünlerin geri kalanının aşağıdaki kuralla elde edilebileceğini not etmeliyiz:

Saat yönünde iki ardışık vektörün çapraz çarpımı bir sonraki vektörü verir; ve saat yönünün tersine yön düşünüldüğünde, sonuç negatif işaretli aşağıdaki vektördür.

Bu özellikler sayesinde vektör çarpımının değişmeli olmadığını görebiliriz; örneğin, ixj ≠ jx i olduğuna dikkat edin. Aşağıdaki özellik bize AxB ve BxA'nın genel olarak nasıl ilişkili olduğunu söyler.

Özellik 2

A ve B, R vektörleri ise ³ , var:

AxB = - (BxA).

gösteri

A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) ise, dış ürün tanımına göre:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Bu ürünün aşağıdaki örnekle de ilişkilendirilmediğini görebiliriz:

ix (ixj) = ixk = - j ancak (ixi) xj = 0xj = 0

Buradan şunu görebiliriz:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Özellik 3

A, B, C, R vektörleri ise ³ ve r gerçek bir sayıdır, şu geçerlidir:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Bu özellikler sayesinde, sıraya uyulması koşuluyla vektör çarpımını cebir yasalarını kullanarak hesaplayabiliriz. Örneğin:

A = (1, 2, 3) ve B = (3, -2, 4), onları R kanonik olarak açısından yeniden olabilir ³ .

Böylece, A = i + 2j + 3k ve B = 3i - 2j + 4k. Ardından, önceki özellikleri uygulayarak:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Özellik 4 (üçlü nokta çarpımı)

Başta da belirttiğimiz gibi, vektör çarpımının yanı sıra vektörleri çarpmanın başka yolları da vardır. Bu yollardan biri, A ∙ B olarak gösterilen ve tanımı şu olan skaler ürün veya iç çarpımdır:

A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) ise, A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Her iki ürünü de ilişkilendiren özellik, üçlü skaler ürün olarak bilinir.

A, B ve C, R vektörleri ise ³ , daha sonra bir ∙ BXC = AxB ∙ Cı

Örnek olarak, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ve C = (- 5, 1, - 4) verildiğinde bu özelliğin sağlandığını görelim.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

Bir ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Diğer yandan:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Diğer bir üçlü ürün, üçlü vektör ürünü olarak bilinen Ax (BxC) 'dir.

Özellik 5 (üçlü vektör çarpımı)

A, B ve C R vektörleri ise ³ , daha sonra:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Örnek olarak, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ve C = (- 5, 1, - 4) verildiğinde bu özelliğin sağlandığını görelim.

Önceki örnekten BxC = (- 18, - 22, 17) olduğunu biliyoruz. Ax'i (BxC) hesaplayalım:

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Öte yandan, şunları yapmalıyız:

Bir ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

Bir ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Bu nedenle, şunları yapmalıyız:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Özellik 6

Vektörlerin geometrik özelliklerinden biridir. A ve B, R, iki vektör ise ³ ve İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin sonra, bunların arasında oluşan açı:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), burada - ∙ - bir vektörün modülünü veya büyüklüğünü belirtir.

Bu özelliğin geometrik yorumu aşağıdaki gibidir:

A = PR ve B = PQ olsun. Dolayısıyla, A ve B vektörlerinin oluşturduğu açı, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, RQP üçgeninin P açısıdır.

Bu nedenle, PR ve PQ'nun bitişik kenarları olan paralelkenarın alanı --A - B - sin (ϴ) 'dir, çünkü --A --'yı taban olarak alabiliriz ve yüksekliği şu şekilde verilir: --B - günah (ϴ).

Bu nedenle, --AxB --'nin söz konusu paralelkenarın alanı olduğu sonucuna varabiliriz.

Misal

Aşağıdaki dörtgen P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) ve S (5,7, -3) köşeleri göz önüne alındığında, söz konusu dörtgenin bir paralelkenardır ve alanını bulur.

Bunun için önce dörtgenin kenarlarının yönünü belirleyen vektörleri belirliyoruz. Bu:

A = PQ = (1-4, 3 + 2, - 1-3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1-3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Gördüğümüz gibi, A ve C aynı yönetmen vektöre sahip, bunun için her ikisinin de paralel olduğu; aynısı B ve D için de olur. Bu nedenle, PQRS'nin bir paralelkenar olduğu sonucuna varıyoruz.

Bu paralelkenarın alanını elde etmek için BxA'yı hesaplıyoruz:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Bu nedenle, alanın karesi şöyle olacaktır:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Paralelkenar alanının 89'un karekökü olacağı sonucuna varılabilir.

Özellik 7

İki vektör, A ve B, R paraleldir ³ ancak ve ancak AxB = 0 ise

gösteri

Açıktır ki, A veya B boş vektör ise, AxB = 0 sağlanır. Sıfır vektörü başka herhangi bir vektöre paralel olduğundan, özellik geçerlidir.

İki vektörden hiçbiri sıfır vektör değilse, büyüklükleri sıfırdan farklıdır; yani, hem --A-- ≠ 0 hem de --B-- ≠ 0, yani --AxB-- = 0'a sahip olacağız ancak ve ancak günah (ϴ) = 0 ise ve bu ancak ve ancak ϴ = π veya ϴ = 0.

Bu nedenle, AxB = 0 sonucunu ancak ve ancak ϴ = π veya ϴ = 0 ise sonuçlandırabiliriz; bu, yalnızca her iki vektör birbirine paralel olduğunda gerçekleşir.

Özellik 8

A ve B, R, iki vektörün ise ³ , daha sonra AxB A ve B her ikisi de diktir

gösteri

Bu kanıt için, A ∙ B sıfıra eşitse iki vektörün dik olduğunu hatırlayalım. Dahası, şunu biliyoruz:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ancak AxA 0'a eşittir. Bu nedenle, elimizde:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Bununla A ve AxB'nin birbirine dik olduğu sonucuna varabiliriz. Benzer şekilde, yapmalıyız:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

BxB = 0 olduğundan, elimizde:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Bu nedenle AxB ve B birbirine diktir ve bununla özellik gösterilmektedir. Bir düzlemin denklemini belirlememize izin verdiği için bu bizim için çok faydalıdır.

örnek 1

P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ve R (2, 1, 3) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulun.

A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) ve B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2) olsun. O zaman A = - i + 3j + k ve B = i - 2j + k. Bu üç noktanın oluşturduğu düzlemi bulmak için düzleme normal olan AxB vektörünü bulmak yeterlidir.

AxB = (- ben + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Bu vektörle ve P (1, 3, 2) noktasını alarak düzlemin denklemini şu şekilde belirleyebiliriz:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Böylece, düzlemin denkleminin 5x + 2y - z - 9 = 0 olduğunu görüyoruz.

Örnek 2

P (4, 0, - 2) noktasını içeren ve x - y + z = 0 ve 2x + y - 4z - 5 = 0 düzlemlerinin her birine dik olan düzlemin denklemini bulun.

Ax + by + cz + d = 0 düzlemine normal bir vektörün (a, b, c) olduğunu bildiğimizde, (1, -1,1) x - y + z = 0 y'nin normal bir vektörüdür ( 2,1, - 4) 2x + y - 4z - 5 = 0'ın normal bir vektörüdür.

Bu nedenle, aranan düzleme normal bir vektör (1, -1,1) ve (2, 1, - 4) 'e dik olmalıdır. Bu vektör:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Ardından, aranan düzlemin P (4,0, - 2) noktasını içeren ve normal vektör olarak (3,6,3) vektörüne sahip olan düzlem olduğunu görürüz.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Uygulamalar

Paralel yüzlü bir hacmin hesaplanması

Üçlü skaler ürüne sahip bir uygulama, şekilde gösterildiği gibi, kenarları A, B ve C vektörleri tarafından verilen bir paralel yüzeyin hacmini hesaplayabilmektir:

Bu uygulamayı şu şekilde çıkarabiliriz: Daha önce söylediğimiz gibi, AxB vektörü, A ve B'nin düzlemine normal olan bir vektördür. Ayrıca, - (AxB) vektörünün o düzleme normal başka bir vektör olduğu da var.

C vektörüyle en küçük açıyı oluşturan normal vektörü seçiyoruz; Genelliği kaybetmeden AxB, C ile açısı en küçük olan vektör olsun.

Hem AxB hem de C aynı başlangıç ​​noktasına sahip. Ayrıca, paralelkenarın tabanını oluşturan paralelkenarın alanının -AxB- olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, paralel yüzeyin yüksekliği h ile verilirse, hacmi şöyle olacaktır:

V = --AxB - h.

Öte yandan, AxB ve C arasındaki iç çarpımı da şu şekilde açıklayalım:

Bununla birlikte, trigonometrik özelliklere göre h = --C - cos (ϴ) elde ederiz, dolayısıyla şunlara sahibiz:

Bu şekilde bizde:

Genel olarak, paralel yüzlü bir hacmin, AxB ∙ C üçlü skaler çarpımının mutlak değeri ile verildiğine sahibiz.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ve S = (2, 6, 9) noktaları göz önüne alındığında, bu noktalar kenarları bir paralel yüz oluşturur. bunlar PQ, PR ve PS'dir. Söz konusu paralel yüzlü hacmin belirlenmesi.

Çözüm

Eğer alırsak:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Üçlü skaler çarpım özelliğini kullanarak:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.

Bu nedenle, söz konusu paralel yüzlü hacminin 52 olduğunu gördük.

Egzersiz 2

P, Q, R ve S noktalarının (1, 3, 4), (3, 5, 3) olduğu, kenarları A = PQ, B = PR ve C = PS ile verilen bir paralel yüzeyin hacmini belirleyin, Sırasıyla (2, 1, 6) ve (2, 2, 5).

Çözüm

İlk önce A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1) var.

AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6) hesaplıyoruz.

Sonra AxB ∙ C'yi hesaplıyoruz:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5-6 = 1.

Böylece söz konusu paralel yüzlü hacminin 1 kübik birim olduğu sonucuna vardık.

Referanslar

1. Leithold, L. (1992). Analitik geometri ile hesaplama. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D. ve Krane, K. (2001). Physics Cilt 1. Meksika: Kıta.
3. Saenz, J. (nd). Vektör Kalkülüs 1ed. Hipotenüs.
4. Spiegel, MR (2011). Vektörel Analiz 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG ve Wright, W. (2011). Çeşitli Değişkenlerin Hesaplanması 4ed. Mc Graw Hill.