- Önemli ürünler ve örnekler
- Binom kare
- Konjuge binomların çarpımı
- Ortak bir terime sahip iki iki terimli çarpım
- Kare polinom
- Binom küpü
- Üç terimli küp
- Önemli ürünlerin çözülmüş egzersizleri
- 1. Egzersiz
- Çözüm
- Egzersiz 2
- Çözüm
- Referanslar
Dikkat çekici ürünler geleneksel olarak çözülmesi gerekmez polinomların çarpmalar ifade edilir cebirsel işlemler, fakat bazı kurallar yardımıyla aynı sonuçları bulunabilir.
Polinomlar evet ile çarpılır, bu nedenle çok sayıda terim ve değişkene sahip olmaları mümkündür. Süreci kısaltmak için, terim terime gitmek zorunda kalmadan çarpmaya izin veren dikkate değer ürün kuralları kullanılır.
Önemli ürünler ve örnekler
Her kayda değer ürün, çarpanlar olarak adlandırılan, iki terimli veya üç terimli gibi çeşitli terimlerin polinomlarından oluşan bir çarpanlara ayırmanın sonucu olan bir formüldür.
Faktörler bir gücün temelidir ve bir üssüne sahiptir. Faktörler çarpıldığında üsler eklenmelidir.
Polinomlara bağlı olarak bazıları diğerlerinden daha fazla kullanılan birkaç dikkat çekici ürün formülü vardır ve bunlar şunlardır:
Binom kare
Terimlerin eklendiği veya çıkarıldığı, bir ikilinin kendi başına çarpımıdır, kuvvet olarak ifade edilir:
için. Kare toplamı iki terimli: İlk terimin karesine, artı terimlerin çarpımının iki katı artı ikinci terimin karesine eşittir. Şöyle ifade edilir:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Aşağıdaki şekilde ürünün yukarıda belirtilen kurala göre nasıl geliştiğini görebilirsiniz. Sonuç, tam karenin üç terimli olarak adlandırılır.
örnek 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Örnek 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Bir karesel çıkarmanın binomu: Bir toplamın iki terimli aynı kuralı geçerlidir, ancak bu durumda ikinci terim negatiftir. Formülü aşağıdaki gibidir:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = bir 2 - 2ab + b 2 .
örnek 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Konjuge binomların çarpımı
Her birinin ikinci terimleri farklı işaretlere sahip olduğunda iki iki terimli konjuge edilir, yani, birincisi pozitif ve ikinci negatif veya tam tersi. Her bir tek terimlinin karesini alıp çıkarılarak çözülür. Formülü aşağıdaki gibidir:
(a + b) * (a - b)
Aşağıdaki şekilde, iki eşlenik iki terimli çarpımın çarpımı geliştirilir ve sonucun kareler arasında bir fark olduğu gözlemlenir.
örnek 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Ortak bir terime sahip iki iki terimli çarpım
Ortak bir terimi olan iki iki terimlinin çarpımı olduğu için en karmaşık ve nadiren kullanılan önemli ürünlerden biridir. Kural şunları belirtir:
- Ortak terimin karesi.
- Artı ortak olmayan terimlerin toplamını ve ardından bunları ortak terimle çarpın.
- Artı yaygın olmayan terimlerin çarpımlarının toplamı.
Formülde temsil edilir: (x + a) * (x + b) ve resimde gösterildiği gibi geliştirilmiştir. Sonuç, tam olmayan bir kare üç terimlidir.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
İkinci terimin (farklı terim) negatif olma olasılığı vardır ve formülü aşağıdaki gibidir: (x + a) * (x - b).
Örnek 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Her iki farklı terimin de olumsuz olması durumu olabilir. Formülü şöyle olacaktır: (x - a) * (x - b).
Örnek 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Kare polinom
Bu durumda ikiden fazla terim vardır ve onu geliştirmek için her birinin karesi alınır ve bir terimin diğeriyle çarpımının iki katı ile toplanır; formülü: (a + b + c) 2 ve işlemin sonucu bir kare üç terimli.
örnek 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binom küpü
Oldukça karmaşık bir üründür. Bunu geliştirmek için, binom aşağıdaki gibi karesiyle çarpılır:
için. Bir toplamın küp küpü için:
- İlk terimin küpü, artı ilk terimin karesinin üç katı çarpı ikincisi.
- Artı ilk terimin üçü, çarpı ikinci karedir.
- Artı ikinci terimin küpü.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = bir 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
örnek 1
(bir + 3) 3 = bir 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(bir + 3) 3 = bir 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(bir + 3) 3 = bir 3 + 9 bir 2 + 27a + 27.
b. Bir çıkarma işleminin küp küpü için:
- Birinci terimin küpü, eksi ilk terimin karesinin üç katı çarpı ikincisi.
- Artı ilk terimin üçü, çarpı ikinci karedir.
- İkinci terimin küpü eksi.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = bir 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Örnek 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Üç terimli küp
Karesiyle çarpılarak geliştirilir. Bu çok büyük dikkate değer bir üründür çünkü 3 terim artı her terimin karesinin üç katı, her terimin çarpımı artı üç terimin çarpımının altı katı vardır. Daha iyi bir şekilde görüldü:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
örnek 1
Önemli ürünlerin çözülmüş egzersizleri
1. Egzersiz
Aşağıdaki iki terimliyi küp şeklinde genişletin: (4x - 6) 3 .
Çözüm
Bir binomun küpünün birinci terimin küpüne eşit olduğunu, eksi ilk terimin karesinin üç katının ikinci terime eşit olduğunu hatırlamak; artı birinci terimin üçü, çarpı ikinci karesi, eksi ikinci terimin küpü.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36), - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Egzersiz 2
Şu iki terimliyi geliştirin: (x + 3) (x + 8).
Çözüm
X ve ikinci terim pozitif olan ortak bir terimin olduğu bir binom vardır. Bunu geliştirmek için, yalnızca ortak terimin artı ortak olmayan terimlerin toplamının (3 ve 8) karesini almalı ve daha sonra bunları ortak terim artı ortak olmayan terimlerin çarpımlarının toplamı ile çarpmalısınız.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Referanslar
- Melek, AR (2007). Temel Cebir. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Birleşik Krallık: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). İlköğretim ve Orta Düzey Cebir: Birleşik Bir Yaklaşım. Florida: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.