İLIŞKISEL ÖZELLIK: TOPLAMA, ÇARPMA, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Toplamanın ilişkisel özelliği , çeşitli matematiksel kümelerde toplama işleminin ilişkisel karakterini temsil eder. İçinde, söz konusu kümelerin üç (veya daha fazla) öğesi, her zaman doğru olacak şekilde a, b ve c olarak adlandırılan birbiriyle ilişkilidir:

a + (b + c) = (a + b) + c

Bu şekilde, işlemi gerçekleştirmek için gruplama yöntemine bakılmaksızın, sonucun aynı olacağı garanti edilir.

Şekil 1. Aritmetik ve cebirsel işlemler yaparken toplama işleminin ilişkisel özelliğini birçok kez kullanırız. (Çizim: freepik Kompozisyon: F. Zapata)

Ancak birleştirici özelliğin değişmeli özellik ile eşanlamlı olmadığı unutulmamalıdır. Yani, eklerin sırasının toplamı değiştirmediğini veya faktörlerin sırasının ürünü değiştirmediğini biliyoruz. Yani toplam için şu şekilde yazılabilir: a + b = b + a.

Bununla birlikte, ilişkilendirilebilir özellikte bu farklıdır, çünkü eklenecek öğelerin sırası korunur ve hangi değişiklikler ilk yürütülen işlemdir. Bu, önce (b + c) eklemek ve bu sonuca a eklemek, sonuca c ekleyerek a ile başlamaktan önemli değildir.

Toplama gibi birçok önemli işlem ilişkiseldir, ancak hepsi değildir. Örneğin, gerçek sayıların çıkarılmasında şöyle olur:

a - (b - c) ≠ (bir - b) - c

A = 2, b = 3, c = 1 ise, o zaman:

2– (3-1) ≠ (2-3) - 1

0 ≠ -2

Çarpmanın İlişkisel Özelliği

Toplama için yapıldığı gibi, çarpmanın çağrışımsal özelliği şunu belirtir:

bir ˟ (b ˟ c) = (bir ˟ b) ˟ c

Gerçek sayılar kümesi söz konusu olduğunda, durumun her zaman böyle olduğunu doğrulamak kolaydır. Örneğin, a = 2, b = 3, c = 1 değerlerini kullandığımızda:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reel sayılar, hem toplama hem de çarpmanın ilişkilendirme özelliğini yerine getirir. Öte yandan, vektörler gibi başka bir kümede toplam birleştiricidir, ancak çapraz çarpım veya vektör çarpımı değildir.

Çarpmanın ilişkisel özelliğinin uygulamaları

İlişkilendirici özelliğin yerine getirildiği işlemlerin bir avantajı, en uygun şekilde gruplayabilmektir. Bu, çözünürlüğü çok daha kolay hale getirir.

Örneğin, küçük bir kütüphanede her biri 5 raflı 3 raf olduğunu varsayalım. Her rafta 8 kitap var. Toplamda kaç kitap var?

İşlemi şu şekilde yapabiliriz: toplam kitap = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 kitap.

Veya bunun gibi: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 kitap.

Şekil 2. Çarpmanın ilişkilendirilebilir özelliğinin bir uygulaması, her raftaki kitap sayısını hesaplamaktır. Resim F. Zapata tarafından oluşturulmuştur.

Örnekler

-Doğal, tam sayı, rasyonel, gerçek ve karmaşık sayı kümelerinde toplama ve çarpmanın ilişkilendirme özelliği yerine getirilir.

Şekil 3. Gerçek sayılar için toplamanın ilişkilendirme özelliği yerine getirilir. Kaynak: Wikimedia Commons.

-Polinomlar için bu işlemlerde de geçerlidir.

-Çıkarma, bölme ve üs alma işlemlerinde, gerçek sayılar veya polinomlar için ilişkilendirme özelliği geçerli değildir.

-Matrisler söz konusu olduğunda, toplama ve çarpma için birleştirici özellik yerine getirilir, ancak ikinci durumda, değişme yerine getirilmez. Bu, A, B ve C matrisleri verildiğinde şunun doğru olduğu anlamına gelir:

(Bir x B) x C = Bir x (B x C)

Ama … A x B ≠ B x A

Vektörlerdeki ilişkisel özellik

Vektörler, gerçek sayılardan veya karmaşık sayılardan farklı bir küme oluşturur. Vektör kümesi için tanımlanan işlemler biraz farklıdır: toplama, çıkarma ve üç tür ürün vardır.

Vektörlerin toplamı, tıpkı sayılar, polinomlar ve matrisler gibi ilişkisel özelliği yerine getirir. Vektörler arasında yapılan skaler ve vektörler arasında yapılan skaler ürünlere gelince, ikincisi bunu yerine getirmez, ancak vektörler arasındaki başka bir işlem türü olan skaler çarpım, aşağıdakileri dikkate alarak bunu yerine getirir:

-Bir skaler ile bir vektörün çarpımı bir vektörle sonuçlanır.

-Ve iki vektörü skaler olarak çarparken, skaler bir sonuç çıkar.

Bu nedenle, v , u ve w vektörleri ve ek olarak bir skaler λ verildiğinde, şunu yazmak mümkündür:

- Vektörlerin toplamı: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalar çarpımı: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

İkincisi, v • u'nun skaler ve λ v'nin bir vektör olması sayesinde mümkündür .

Ancak:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Polinomların terimlerin gruplandırılmasıyla çarpanlara ayrılması

Bu uygulama çok ilginç, çünkü daha önce söylendiği gibi, çağrışımsal özellik belirli problemlerin çözülmesine yardımcı oluyor. Tek terimlilerin toplamı ilişkilidir ve bu, ilk bakışta bariz bir ortak faktör görünmediğinde faktoring için kullanılabilir.

Örneğin, x ³ + 2 x ² + 3 x +6'yı çarpanlarına ayırmanızın istendiğini varsayalım . Bu polinomun ortak bir faktörü yoktur, ancak şöyle gruplandırılırsa ne olacağını görelim:

İlk parantez ortak bir çarpan ^{2'ye sahiptir} :

İkincisinde ortak faktör 3'tür:

Egzersizler

- 1. Egzersiz

Bir okul binası 4 katlıdır ve her birinde 30 masa bulunan 12 derslik vardır. Okulun toplam kaç sırası var?

Çözüm

Bu problem, çarpmanın ilişkilendirilebilir özelliği uygulanarak çözülür, bakalım:

Toplam sıra sayısı = 4 kat x 12 derslik / kat x 30 sıra / sınıf = (4 x 12) x 30 sıra = 48 x 30 = 1440 sıra.

Veya tercih ederseniz: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 masa

- Egzersiz 2

Polinomlar verildiğinde:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

A (x) + B (x) + C (x) 'i bulmak için toplamanın ilişkisel özelliğini uygulayın.

Çözüm

İlk ikisini gruplayabilir ve üçüncüyü sonuca ekleyebilirsiniz:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Hemen polinom C (x) eklenir:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Okuyucu, A (x) + seçeneği ile çözülürse sonucun aynı olduğunu doğrulayabilir.

Referanslar

1. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
2. Matematik Eğlencelidir, Değişmeli, İlişkili ve Dağıtıcı Kanunlar. Mathisfun.com'dan kurtarıldı.
3. Matematik Deposu. İlişkili Mülkiyet Tanımı. Mathwarehouse.com'dan kurtarıldı.
4. Sciencing. Toplama ve Çarpmanın İlişkisel ve Değişmeli Özelliği (Örneklerle). Kurtarıldı: sciencing.com.
5. Vikipedi. İlişkili mülkiyet. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.