CEBIRIN KILIT ÖZELLIĞI: İSPAT, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Cebir kilit özelliği 2 elemanlarının bahsedilen işlem altında işlenir sonra gerekli bir koşul olduğu bir işlem, bir dizi iki eleman ile ilgilidir bir olgudur, sonuç, ilk setten aittir.

Örneğin, çift sayıları bir küme ve bir toplamı bir işlem olarak alırsak, bu kümenin toplamına göre bir kilidi elde ederiz. Bunun nedeni, 2 çift sayının toplamının her zaman başka bir çift sayı vermesi ve böylece kilit koşulunun yerine getirilmesidir.

Kaynak: unsplash.com

karakteristikleri

Yapılar veya halkalar gibi cebirsel uzayları veya gövdeleri belirleyen birçok özellik vardır. Bununla birlikte, kilit özelliği, temel cebirde en iyi bilinen özelliklerden biridir.

Bu özelliklerin tüm uygulamaları sayısal unsurlara veya olaylara dayanmaz. Birçok günlük örnek, saf cebirsel-teorik bir yaklaşımla çalışılabilir.

Bir örnek, diğerleri arasında ticari ortaklık veya evlilik gibi herhangi bir türden yasal bir ilişki üstlenen bir ülkenin vatandaşları olabilir. Bu operasyon veya yönetim yapıldıktan sonra ülke vatandaşı olarak kalırlar. Bu şekilde iki vatandaşa ilişkin vatandaşlık ve yönetim işlemleri bir kilidi temsil eder.

Sayısal cebir

Sayılarla ilgili olarak, matematik ve cebirin farklı akımlarında çalışma konusu olan birçok yön vardır. Çağdaş araştırma ve çalışma için teorik temel teşkil eden bu çalışmalardan çok sayıda aksiyom ve teorem ortaya çıkmıştır.

Sayısal kümelerle çalışırsak, kilit özelliği için başka bir geçerli tanım oluşturabiliriz. A, B'nin içerdiği tüm kümeleri ve işlemleri içeren en küçük kümeyse, A kümesinin başka bir B kümesinin kilidi olduğu söylenir.

gösteri

Kilit kanıtı, R gerçek sayılar kümesinde bulunan elemanlar ve işlemler için uygulanır.

A ve B, R kümesine ait iki sayı olsun, bu elemanların kapanışı R'nin içerdiği her işlem için tanımlanır.

Toplam

- Toplam: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Bu, gerçek sayılara ait olan tüm A ve B için, A artı B'nin toplamının C'ye eşit olduğunu söylemenin cebirsel yoludur, ki bu da gerçek sayılara aittir.

Bu önermenin doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır; herhangi bir gerçek sayı arasındaki toplamı yapmak ve sonucun da gerçek sayılara ait olup olmadığını doğrulamak yeterlidir.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Reel sayılar ve toplam için kilit koşulunun yerine getirildiği görülmektedir. Bu şekilde şu sonuca varılabilir: Gerçek sayıların toplamı bir cebirsel kilittir.

Çarpma işlemi

- Çarpma: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Gerçeklere ait olan tüm A ve B'ler için, A'nın B ile çarpımının C'ye eşit olduğuna sahibiz ve bu da gerçeklere aittir.

Önceki örneğin aynı unsurları ile doğrulama yapılırken aşağıdaki sonuçlar gözlenir.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Bu, şu sonuca varmak için yeterli kanıttır: Gerçek sayıların çarpımı cebirsel bir kilittir.

Bu tanım, bazı istisnalar bulacak olsak da, gerçek sayıların tüm işlemlerini kapsayacak şekilde genişletilebilir.

Kaynak: Pixabay.com

R'deki özel durumlar

Bölünme

İlk özel durum, aşağıdaki istisnanın görüldüğü bölünmedir:

∀ bir ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

R'ye ait olan tüm A ve B'ler için, B'den A'nın gerçeklere ait olmadığına sahibiz, ancak ve ancak B sıfıra eşitse.

Bu durum, sıfıra bölünememe sınırlamasına atıfta bulunmaktadır. Sıfır, gerçek sayılara ait olduğu için şunu takip eder: Bölme, gerçeklerde bir kilit değildir.

Dosyalama

Güçlendirme operasyonları da vardır, daha özel olarak radikalleşme operasyonları, burada çift indeksli radikal güçler için istisnalar sunulmuştur:

Gerçeklere ait olan tüm A için, A'nın n'inci kökü gerçeklere aittir, ancak ve ancak A, tek elemanı sıfır olan bir kümeye birleştirilmiş pozitif gerçeklere aitse.

Bu şekilde, çift köklerin yalnızca pozitif gerçekler için geçerli olduğu belirtilir ve potansiyelleşmenin R'de bir kilit olmadığı sonucuna varılır.

Logaritma

Homolog bir şekilde, sıfırdan küçük veya sıfıra eşit değerler için tanımlanmayan logaritmik fonksiyon için görülebilir. Logaritmanın bir R kilidi olup olmadığını kontrol etmek için aşağıdaki şekilde devam edin:

Gerçeklere ait olan tüm A için, A'nın logaritması gerçeklere aittir, ancak ve ancak A pozitif gerçeklere aitse.

Negatif değerler ve yine R'ye ait olan sıfırı dışarıda bırakarak şöyle ifade edilebilir:

Logaritma, gerçek sayıların bir kilidi değildir.

Örnekler

Doğal sayıların toplanması ve çıkarılması için kilidi kontrol edin:

N cinsinden toplam

İlk şey, verilen setin farklı öğeleri için kilit durumunu kontrol etmektir; burada herhangi bir öğenin koşulu bozduğu gözlenirse, bir kilidin varlığı otomatik olarak reddedilebilir.

Bu özellik, aşağıdaki işlemlerde görüldüğü gibi tüm olası A ve B değerleri için geçerlidir:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Kilitleme koşulunu bozan hiçbir doğal değer yoktur, bu nedenle şu sonuca varılmıştır:

Toplam, N'de bir kilittir.

N cinsinden çıkar

Durumu bozabilecek doğal unsurlar aranır; A - B yerlilere aittir.

Çalıştırmak, kilit koşulunu karşılamayan doğal eleman çiftlerini bulmak kolaydır. Örneğin:

7-10 = -3 ∉ bir N

Bu şekilde şu sonuca varabiliriz:

Çıkarma, doğal sayılar kümesinde bir kilit değildir.

Önerilen egzersizler

1-Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde Q rasyonel sayılar kümesi için kilit özelliğinin yerine getirilip getirilmediğini gösterin.

2-Gerçek sayılar kümesinin, tam sayılar kümesinin bir kilidi olup olmadığını açıklayın.

3-Hangi sayısal kümenin gerçek sayıların kilidi olabileceğini belirleyin.

4-Toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeye göre hayali sayılar kümesi için kilidin özelliğini kanıtlayın.

Referanslar

1. Saf matematik panoraması: Bourbakistlerin seçimi. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Cebirsel sayı teorisi. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Meksika Ulusal Özerk Üniversitesi, 1975.
3. Doğrusal Cebir ve Uygulamaları. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Cebirsel yapılar V: vücut teorisi. Hector A. Merklen. Amerikan Devletleri Örgütü, Genel Sekreterlik, 1979.
5. Değişmeli cebire giriş. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.