EŞITLIĞIN ÖZELLIKLERI - MATEMATIK - 2025

Eşitlik özellikleri onlar numaraları veya değişkenler olup olmadığını, iki matematiksel nesneler arasındaki ilişkiyi ifade eder. Her zaman bu iki nesne arasında yer alan "=" sembolü ile gösterilir. Bu ifade, iki matematiksel nesnenin aynı nesneyi temsil ettiğini belirlemek için kullanılır; başka bir deyişle, iki nesne aynı şeydir.

Eşitliği kullanmanın önemsiz olduğu durumlar vardır. Örneğin 2 = 2 olduğu açıktır. Bununla birlikte, değişkenler söz konusu olduğunda artık önemsiz değildir ve belirli kullanımları vardır. Örneğin, y = x ve diğer yandan x = 7'ye sahipsek, y = 7 olduğu sonucuna varabiliriz.

Yukarıdaki örnek, kısaca göreceğiniz gibi, eşitlik özelliklerinden birine dayanmaktadır. Bu özellikler, matematiğin çok önemli bir bölümünü oluşturan denklemleri (değişkenleri içeren eşitlikler) çözmek için gereklidir.

Eşitliğin özellikleri nelerdir?

Yansıtıcı özellik

Eşitlik durumunda, dönüşlü özellik, her sayının kendisine eşit olduğunu ve herhangi bir gerçek sayı b için b = b olarak ifade edildiğini belirtir.

Özel eşitlik durumunda bu özellik aşikar görünmektedir, ancak diğer sayılar arasındaki ilişkilerde açık değildir. Başka bir deyişle, her gerçek sayı ilişkisi bu özelliği karşılamaz. Örneğin, "küçüktür" (<) ilişkisinin böyle bir durumu; hiçbir sayı kendinden küçük değildir.

Simetrik özellik

Eşitliğin simetrik özelliği, eğer a = b ise, o zaman b = a demektir. Değişkenlerde hangi sıra kullanılırsa kullanılsın eşitlik ilişkisi ile korunacaktır.

Ekleme durumunda, bu özelliğin değişme özelliği ile belirli bir benzerliği gözlemlenebilir. Örneğin, bu özellik nedeniyle y = 4 veya 4 = y yazmaya eşdeğerdir.

Geçiş özelliği

Eşitlik üzerindeki geçişli özellik, eğer a = b ve b = c ise, o zaman a = c olduğunu belirtir. Örneğin, 2 + 7 = 9 ve 9 = 6 + 3; bu nedenle, geçişli özelliğe göre 2 + 7 = 6 + 3'e sahibiz.

Basit bir uygulama şudur: Farz edin ki Julian 14 yaşında ve Mario, Rosa ile aynı yaşta. Rosa, Julián ile aynı yaştaysa, Mario kaç yaşında?

Bu senaryonun arkasında geçiş özelliği iki kez kullanılır. Matematiksel olarak şu şekilde yorumlanır: "a" Mario'nun çağı, "b" Rosa'nın yaşı ve "c" Julian'ın çağı olsun. B = c ve c = 14 olduğu bilinmektedir.

Geçişli özelliğe göre b = 14; yani Rosa 14 yaşında. A = b ve b = 14 olduğundan, geçiş özelliğini tekrar kullanarak a = 14 elde ederiz; yani, Mario'nun yaşı da 14 yaşında.

Tek tip özellik

Tek tip özellik, bir eşitliğin her iki tarafının da aynı miktarda toplanması veya çarpılması durumunda eşitliğin korunmasıdır. Örneğin, 2 = 2 ise, 2 + 3 = 2 + 3, 5 = 5 olduğu için bu açıktır. Bu özellik, en çok bir denklemi çözmeye çalışırken kullanışlıdır.

Örneğin, x-2 = 1 denklemini çözmenizin istendiğini varsayalım. Bir denklemi çözmenin, ilgili değişkeni (veya değişkenleri), belirli bir sayıya veya önceden belirlenmiş bir değişkene dayalı olarak açıkça belirlemekten ibaret olduğunu hatırlamak uygundur.

X-2 = 1 denklemine geri dönersek, yapmanız gereken, x'in ne kadar değerli olduğunu açıkça bulmaktır. Bunu yapmak için değişkenin temizlenmesi gerekir.

Yanlışlıkla bu durumda 2 sayısının negatif olması nedeniyle eşitliğin diğer tarafına pozitif işaret ile geçtiği öğretilmiştir. Ama bu şekilde söylemek doğru değil.

Temel olarak, yaptığınız şey, aşağıda göreceğimiz gibi, tek tip mülkü uygulamaktır. Fikir "x" i temizlemek; yani, denklemin bir tarafında onu yalnız bırakın. Geleneksel olarak genellikle sol tarafta bırakılır.

Bu amaçla, "elenecek" sayı -2'dir. Bunu yapmanın yolu 2 + 2 = 0 ve x + 0 = 0 olduğundan 2 eklemek olacaktır. Eşitliği değiştirmeden bunu yapabilmek için aynı işlem diğer tarafa da uygulanmalıdır.

Bu, tek tip özelliği gerçekleştirmemizi sağlar: x-2 = 1 olduğundan, eğer 2 sayısı eşitliğin her iki tarafına da eklenirse, tek tip özellik değiştirilmediğini söyler. O zaman x-2 + 2 = 1 + 2'ye sahibiz, bu da x = 3 demekle eşdeğerdir. Bununla denklem çözülecekti.

Benzer şekilde, (1/5) y-1 = 9 denklemini çözmek istiyorsanız, aşağıdaki gibi uniform özelliği kullanarak devam edebilirsiniz:

Daha genel olarak aşağıdaki ifadeler yapılabilir:

- ab = cb ise, a = c.

- xb = y ise, x = y + b.

- (1 / a) z = b ise, z = a ×

- (1 / c) a = (1 / c) b ise, o zaman a = b.

İptal özelliği

İptal özelliği, özellikle çıkarma ve bölme durumu (temelde toplama ve çarpmaya da karşılık gelen) göz önüne alındığında, tekdüze özelliğin özel bir durumudur. Bu özellik, bu durumu ayrı olarak ele alır.

Örneğin, 7 + 2 = 9 ise 7 = 9-2. Veya 2y = 6 ise, y = 3 (her iki tarafta ikiye bölerek).

Önceki duruma benzer şekilde, aşağıdaki ifadeler iptal özelliği aracılığıyla oluşturulabilir:

- a + b = c + b ise, a = c.

- x + b = y ise x = yb.

- az = b ise, z = b / a.

- ca = cb ise, a = b.

İkame özelliği

Bir matematiksel nesnenin değerini bilirsek, ikame özelliği, bu değerin herhangi bir denklem veya ifadede ikame edilebileceğini belirtir. Örneğin, eğer b = 5 ve a = bx ise, ikinci eşitlikte "b" nin değerini değiştirerek, a = 5x elde ederiz.

Başka bir örnek şudur: "m", "n" yi bölerse ve ayrıca "n", "m" yi bölerse, o zaman m = n olmalıdır.

Aslında, "m" nin "n" yi böldüğünü söylemek (veya eşdeğer olarak, "m" nin "n" nin bölenidir) demek, m ÷ n bölümünün kesin olduğu anlamına gelir; yani "m" yi "n" ye böldüğünde ondalık değil tam sayı elde edilir. Bu, m = k × n olacak şekilde bir "k" tamsayısının var olduğu söylenerek ifade edilebilir.

"N" ayrıca "m" yi böldüğünden, o zaman bir "p" tamsayısı vardır, öyle ki n = p × m. İkame özelliğinden dolayı, n = p × k × n'ye sahibiz ve bunun gerçekleşmesi için iki olasılık vardır: n = 0, bu durumda 0 = 0 kimliğine sahip oluruz; op × k = 1, dolayısıyla kimlik n = n.

"N" nin sıfır olmadığını varsayalım. O zaman zorunlu olarak p × k = 1; bu nedenle, p = 1 ve k = 1. İkame özelliğini tekrar kullanarak, m = k × n eşitliğinde k = 1'i (veya eşdeğer olarak, n = p × m'de p = 1) ikame ederek, sonunda kanıtlamak istediğimiz m = n'yi elde ederiz.

Bir eşitlikte güç özelliği

Daha önce görüldüğü gibi toplama, çarpma, çıkarma veya bölme gibi bir işlem her iki açıdan eşitlik açısından yapılırsa korunur, aynı şekilde eşitliği değiştirmeyen diğer işlemler de uygulanabilir.

Anahtar, her zaman eşitliğin her iki tarafında da gerçekleştirmek ve işlemin gerçekleştirilebileceğinden emin olmaktır. Yetkilendirme durumu böyledir; yani, bir denklemin her iki tarafı da aynı güce yükseltilirse, yine de bir eşitliğe sahibiz.

Örneğin, 3 = 3 olduğundan, 3 ² = 3 ² (9 = 9). Genel olarak, bir "n" tamsayısı verildiğinde, eğer x = y ise, o zaman x ⁿ = y ⁿ .

Eşitlikte kök mülkiyet

Bu belirli bir yetkilendirme durumudur ve güç, karekökü temsil eden ½ gibi tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğunda uygulanır. Bu özellik, bir eşitliğin her iki tarafına da aynı kök uygulandığında (mümkün olduğunda) eşitliğin korunduğunu belirtir.

Önceki durumdan farklı olarak, burada, negatif bir sayının çift kökünün iyi tanımlanmadığı iyi bilindiğinden, uygulanacak kökün paritesine dikkat etmelisiniz.

Radikalin eşit olması durumunda sorun yoktur. Örneğin, x ³ = -8 ise, bir eşitlik olmasına rağmen, örneğin her iki tarafa da bir karekök uygulayamazsınız. Bununla birlikte, bir küp kökü uygulayabilirseniz (bu, x'in değerini açıkça bilmek istiyorsanız daha da kullanışlıdır), böylece x = -2 elde edilir.

Referanslar

1. Aylwin, CU (2011). Mantık, Kümeler ve Sayılar. Mérida - Venezuela: Yayın Konseyi, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rof Rodríguez, M. ve Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Eşik.
3. Lira, ML (1994). Simon ve matematik: ikinci sınıf için matematik metni: öğrenci kitabı. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Matematik Kursu 3. Editör Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Miguel ve Lucía ile matematiksel etkinlikler ve oyunlar. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C. ve Preciado, M. (1985). 2. Matematik Kursu. Editör Progreso.