EŞ DÜZLEMLI NOKTALAR: DENKLEM, ÖRNEK VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Eş düzlemli noktaları hepsi aynı düzlemde aittir. İki nokta daima eş düzlemlidir, çünkü bu noktalar içinden sonsuz düzlemlerin geçtiği bir çizgiyi tanımlar. O zaman her iki nokta da çizgiden geçen her bir düzleme aittir ve bu nedenle her zaman eş düzlemli olacaktır.

Öte yandan, üç nokta tek bir düzlemi tanımlar ve buradan üç noktanın her zaman belirledikleri düzlemle eş düzlemli olacağını izler.

Şekil 1. A, B, C ve D (Ω) düzlemiyle eş düzlemlidir. E, F ve G, (Ω) ile eş düzlemli değildir ancak tanımladıkları düzlemle eş düzlemlidirler. Kaynak: F. Zapata.

Üç noktadan fazlası eş düzlemli olabilir veya olmayabilir. Örneğin şekil 1'de A, B, C ve D noktaları düzleme (Ω) eş düzlemlidir. Ancak E, F ve G, tanımladıkları düzlemle eş düzlemli olmalarına rağmen () ile eş düzlemli değildir.

Üç nokta verilen bir uçağın denklemi

Bilinen üç nokta A, B, C tarafından belirlenen bir düzlemin denklemi, denklemi yerine getiren jenerik koordinatlara (x, y, z) sahip herhangi bir P noktasının söz konusu düzleme ait olduğunu garanti eden matematiksel bir ilişkidir.

Önceki ifade, (x, y, z) koordinatlarının P'si düzlemin denklemini yerine getirirse, o zaman söz konusu noktanın, düzlemi belirleyen A, B, C üç noktası ile eş düzlemli olacağını söylemekle eşdeğerdir.

Bu düzlemin denklemini bulmak için AB ve AC vektörlerini bularak başlayalım :

AB =

AC =

AB X AC vektör ürünü , A, B, C noktaları tarafından belirlenen düzleme dik veya normal bir vektörle sonuçlanır.

Koordinatları (x, y, z) olan herhangi bir P noktası, AP vektörü AB X AC vektörüne dikse düzleme aittir ve aşağıdaki durumlarda garanti edilir:

AP • (AB X AC) = 0

Bu, AP , AB ve AC'nin üçlü çarpımının sıfır olduğunu söylemeye eşdeğerdir . Yukarıdaki denklem matris biçiminde yazılabilir:

Misal

A (0, 1, 2) noktaları olsun; B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) ve D (a, 0, 1). Dört noktanın eş düzlemli olması için bir değerin ne olması gerekir?

Çözüm

A'nın değerini bulmak için, D noktası, düzlemin denklemini sağlıyorsa garanti edilen, A, B ve C tarafından belirlenen düzlemin bir parçası olmalıdır.

Sahip olduğumuz determinantı geliştirmek:

Önceki denklem bize eşitliğin yerine getirilmesi için a = -1 olduğunu söyler. Başka bir deyişle, D (a, 0,1) noktasının A, B ve C noktalarıyla eş düzlemli olmasının tek yolu, a'nın -1 olmasıdır. Aksi takdirde eş düzlemli olmayacaktır.

Çözülmüş egzersizler

- 1. Egzersiz

Bir uçak, sırasıyla 1, 2 ve 3'te Kartezyen eksenleri X, Y, Z ile kesişir. Bu düzlemin eksenlerle kesişmesi A, B ve C noktalarını belirler. Kartezyen bileşenleri olan bir D noktasının Dz bileşenini bulun:

D'nin A, B ve C noktalarıyla eş düzlemli olması şartıyla.

Çözüm

Bir düzlemin Kartezyen eksenlerle kesişimi bilindiğinde, düzlemin denkleminin segmental formu kullanılabilir:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

D noktası bir önceki düzleme ait olması gerektiği için:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Demek ki:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Yukarıdan, D (3, -2, -3) noktasının A (1, 0, 0) noktalarıyla eş düzlemli olduğu; B (0, 2, 0) ve C (0, 0, 3).

- Egzersiz 2

A (0, 5, 3) noktalarının olup olmadığını belirleyin; B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) ve D (2, 3, 1) eş düzlemlidir.

Çözüm

Satırları DA, BA ve CA koordinatları olan matrisi oluşturuyoruz. Daha sonra determinant hesaplanır ve sıfır olup olmadığı doğrulanır.

Tüm hesaplamalar yapıldıktan sonra eş düzlemli oldukları sonucuna varılır.

- Egzersiz 3

Uzayda iki çizgi var. Bunlardan biri, parametrik denklemi olan (R) çizgisidir:

Diğeri ise denklemi olan doğrudur (S):

(R) ve (S) 'nin eş düzlemli çizgiler olduğunu, yani aynı düzlemde uzandıklarını gösterin.

Çözüm

(R) çizgisinde (R) iki noktayı ve (S) çizgisinde iki noktayı rastgele alarak başlayalım:

Çizgi (R): λ = 0; A (1, 1, 1) ve λ = 1; B (3, 0, 1)

(S) => y = ½ doğrusunda x = 0 olsun; C (0, ½, -1). Öte yandan, y = 0 => x = 1 yaparsak; D (1, 0, -1).

Yani (R) çizgisine ait A ve B noktalarını ve (S) çizgisine ait C ve D noktalarını aldık. Bu noktalar eş düzlemli ise, o zaman iki çizgi de olacaktır.

Şimdi eksen olarak A noktasını seçiyoruz ve sonra AB , AC ve AD vektörlerinin koordinatlarını buluyoruz . Bu şekilde şunları elde edersiniz:

B - A: (3-1, 0 -1, 1-1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Bir sonraki adım, ilk satırı AB vektörünün katsayıları olan determinantı oluşturmak ve hesaplamaktır, ikinci sıra AC'nin ve üçüncü sıra AD vektörünün katsayılarıdır :

Determinantın boş olduğu ortaya çıktığından, dört noktanın eşdüzlemli olduğu sonucuna varabiliriz. Ek olarak, (R) ve (S) hatlarının da eş düzlemli olduğu belirtilebilir.

- Egzersiz 4

Alıştırma 3'te gösterildiği gibi (R) ve (S) doğruları eş düzlemlidir. Bunları içeren düzlemin denklemini bulun.

Çözüm

A, B, C noktaları bu düzlemi tamamen tanımlar, ancak koordinatların (x, y, z) herhangi bir X noktasının ona ait olduğunu empoze etmek istiyoruz.

X'in A, B, C ile tanımlanan ve (R) ve (S) çizgilerinin bulunduğu düzleme ait olması için determinantın , ikinci satırda AX'in bileşenleri tarafından ilk satırında oluşturulmuş olması gerekir. olanlar tarafından AB ve kişilerce üçte AC :

Bu sonucun ardından şu şekilde gruplandırıyoruz:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Ve hemen şu şekilde yeniden yazılabileceğini görürsünüz:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Dolayısıyla x + 2y - z = 2, (R) ve (S) doğrularını içeren düzlemin denklemidir.

Referanslar

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Doğrusal Cebir. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Düz Analitik Geometri. Mérida - Venezuela: Editoryal Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektörler. Kurtuluş: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Ön hesaplama. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Temel Geometri Kavramları. Rowman ve Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.