EŞ DÜZLEMLI VEKTÖRLER NELERDIR? (ÇÖZÜLMÜŞ EGZERSIZLERLE) - FIZIKSEL - 2025

Eş düzlemli vektörleri veya eş düzlemsel aynı düzlemde yer olanlardır. Yalnızca iki vektör olduğunda, bunlar her zaman eş düzlemlidir, çünkü sonsuz düzlemler olduğundan, onları içeren birini seçmek her zaman mümkündür.

Üç veya daha fazla vektörünüz varsa, bunların bazıları diğerleriyle aynı düzlemde olmayabilir, bu nedenle eşdüzlemli olarak kabul edilemezler. Aşağıdaki şekil, kalın A , B , C ve D ile gösterilen bir dizi eş düzlemli vektörü göstermektedir :

Şekil 1. Dört eş düzlemli vektör. Kaynak: kendi kendine.

Vektörler, bilim ve mühendislikle ilgili fiziksel büyüklüklerin davranışları ve özellikleriyle ilgilidir; örneğin hız, ivme ve kuvvet.

Kuvvet, uygulama şekli değiştiğinde, örneğin yoğunluğu, yönü ve yönü değiştirerek bir nesne üzerinde farklı etkiler üretir. Bu parametrelerden sadece birini değiştirseniz bile sonuçlar oldukça farklıdır.

Hem statik hem de dinamik birçok uygulamada, bir cisme etki eden kuvvetler aynı düzlemdedir, bu nedenle eş düzlemli kabul edilirler.

Vektörlerin düzlemsel olması için koşullar

Üç vektörün eş düzlemli olması için aynı düzlemde yer almaları gerekir ve bu, aşağıdaki koşullardan herhangi birini karşılarlarsa gerçekleşir:

-Vektörler paraleldir, bu nedenle bileşenleri orantılıdır ve doğrusal olarak bağımlıdır.

-Karışık ürününüz boş.

-Üç vektörünüz varsa ve bunlardan herhangi biri diğer ikisinin doğrusal kombinasyonu olarak yazılabiliyorsa, bu vektörler eşdüzlemdir. Örneğin, diğer ikisinin toplamından ortaya çıkan bir vektör, üçünün hepsi aynı düzlemdedir.

Alternatif olarak, eş düzlemlilik koşulu aşağıdaki şekilde ayarlanabilir:

Üç vektör arasında karışık ürün

Vektörler arasındaki karışık ürün, üç vektör u , v ve w ile tanımlanır ve aşağıdaki işlemin gerçekleştirilmesinden kaynaklanan bir skaler ile sonuçlanır:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Parantez içinde İlk olarak, çarpım gerçekleştirilir: v x w , sonucun düzlemine normal bir vektör (dik) olan iki hacim ve ağırlık yalan .

Eğer u , v ve w ile aynı düzlemde ise , doğal olarak u ve bahsedilen normal vektör arasındaki skaler çarpım (iç çarpım) 0 olmalıdır. Bu şekilde, üç vektörün eş düzlemli olduğu (aynı düzlemde uzandıkları) doğrulanır.

Karışık ürün sıfır olmadığında, sonucu bitişik kenarlar olarak u , v ve w vektörlerine sahip paralel yüzlü hacmine eşittir .

Uygulamalar

Eş düzlemli, eşzamanlı ve eşdoğrusal olmayan kuvvetler

Eşzamanlı kuvvetlerin tümü aynı noktaya uygulanır. Aynı düzlemde iseler, sonuçta ortaya çıkan kuvvet olarak adlandırılan ve orijinal kuvvetlerle aynı etkiye sahip olan tek bir tane ile değiştirilebilirler.

Bir cisim, A , B ve C olarak adlandırılan eş düzlemli ve doğrusal olmayan (paralel olmayan) üç eş düzlemli kuvvet sayesinde dengede ise , Lamy's teoremi, bu kuvvetler (büyüklükler) arasındaki ilişkinin aşağıdaki gibi olduğunu gösterir:

A / günah α = B / günah β = C / günah γ

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, uygulanan kuvvetlere zıt açılar olarak α, β ve γ ile:

Şekil 2. Üç eş düzlemli kuvvet A, B ve C bir nesneye etki eder. Kaynak: Kiwakwok, İngilizce Wikipedia'da

Çözülmüş egzersizler

-1. Egzersiz

Aşağıdaki vektörlerin eş düzlemli olması için k'nin değerini bulun:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Çözüm

Vektörlerin bileşenlerine sahip olduğumuz için, karışık ürünün kriteri kullanılır, bu nedenle:

u ( v x w ) = 0

Önce v x w'yi çözün . Vektörler, uzaydaki üç dikey yönü (genişlik, yükseklik ve derinlik) ayıran birim vektörler i , j ve k cinsinden ifade edilecektir :

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 ben + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Şimdi, u ile önceki işlemin sonucu olan vektör arasındaki skaler çarpımı, işlemi 0'a eşitleyerek ele alıyoruz:

u · ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Aranan değer: k = - 6

Yani u vektörü :

u = <-3, -6, 2>

Egzersiz 2

Şekil, ağırlığı W = 600 N olan ve şekil 3'te gösterilen açılarda yerleştirilen kablolar sayesinde dengede asılı duran bir nesneyi göstermektedir. Bu durumda Lamy teoremini uygulamak mümkün müdür? Her durumda, dengeyi mümkün kılan T ₁ , T ₂ ve T ₃ büyüklüklerini bulun .

Şekil 3. Gösterilen üç gerilimin etkisi altında bir ağırlık dengede asılı kalır. Kaynak: kendi kendine.

Çözüm

Lamy'nin teoremi, bu durumda, üç gerilmenin uygulandığı düğüm dikkate alınırsa uygulanabilir, çünkü bunlar bir eş düzlemsel kuvvetler sistemi oluştururlar. İlk olarak, T _3'ün büyüklüğünü belirlemek için asılı ağırlık için serbest cisim diyagramı yapılır _:

Şekil 4. Ağırlığı asmak için serbest cisim diyagramı. Kaynak: kendi kendine.

Denge koşulundan şunu takip eder:

Aşağıdaki şekilde kuvvetler arasındaki açılar kırmızıyla işaretlenmiştir, bunların toplamlarının 360 is olduğu kolaylıkla doğrulanabilir. Şimdi, kuvvetlerden biri ve aralarındaki üç açı bilindiği için Lamy'nin teoremini uygulamak mümkündür:

Şekil 5. - Kırmızı ile Lamy teoremini uygulamak için açılar. Kaynak: kendi kendine.

T ₁ / günah 127º = W / günah 106º

Bu nedenle: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Yine Lamy'nin teoremi T _2'yi çözmek için uygulanır :

T ₂ / günah 127 = T ₁ / günah 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Referanslar

1. Figueroa, D. Serisi: Bilimler ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Kinematik. 31-68.
2. Fiziksel. Modül 8: Vektörler. Kurtarıldı: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mühendisler için Mekanik. Statik 6. Baskı. Continental Publishing Company.28-66.
4. McLean, W. Schaum Serisi. Mühendisler için Mekanik: Statik ve Dinamik. 3. Baskı. McGraw Hill. 1-15.
5. Vikipedi. Vektör. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.