Integrallerin tipleri biz hesaplamalarda olduğu belirsiz integral ve belirli integraller bulunmaktadır. Belirli integrallerin, belirsiz integrallerden çok daha fazla uygulaması olmasına rağmen, önce belirsiz integrallerin nasıl çözüleceğini öğrenmek gerekir.
Belirli integrallerin en çekici uygulamalarından biri, bir devirli katının hacminin hesaplanmasıdır. Her iki tip integral de aynı doğrusallık özelliklerine sahiptir ve ayrıca entegrasyon teknikleri integralin tipine bağlı değildir.
Katı Devrim
Ancak çok benzer olmasına rağmen, bir temel fark var; birinci tip integralde sonuç bir fonksiyondur (spesifik değildir), ikinci tipte sonuç bir sayıdır.
Temel integral türleri
İntegrallerin dünyası çok geniştir, ancak bunun içinde günlük yaşamda büyük uygulanabilirliğe sahip iki temel integral türünü ayırt edebiliriz.
1- Belirsiz integraller
F'nin etki alanındaki tüm x'ler için F '(x) = f (x) ise, F (x)' in ters türevi, ilkel veya f (x) integrali olduğunu söyleriz.
Öte yandan, (F (x) + C) '= F' (x) = f (x) olduğunu gözlemleyelim, bu da bir fonksiyonun integralinin benzersiz olmadığını, çünkü C sabitine farklı değerler verdiğimiz için farklı ters türevler.
Bu nedenle F (x) + C, f (x) 'in Belirsiz İntegrali olarak adlandırılır ve C, entegrasyon sabiti olarak adlandırılır ve bunu şu şekilde yazıyoruz
Belirsiz İntegral
Gördüğümüz gibi, f (x) fonksiyonunun belirsiz integrali bir fonksiyonlar ailesidir.
Örneğin, f (x) = 3x² fonksiyonunun belirsiz integralini bulmak istiyorsanız, önce f (x) 'in ters türevini bulmalısınız.
F (x) = x³'nin ters türev olduğunu görmek kolaydır, çünkü F '(x) = 3x². Bu nedenle şu sonuca varılabilir:
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Belirli integraller
Y = f (x) kapalı bir aralıkta gerçek ve sürekli bir fonksiyon olsun ve F (x) f (x) 'in ters türevi olsun. F (x) 'in a ve b sınırları arasındaki belirli integrali, F (b) -F (a) sayısı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir
Kalkülüsün Temel Teoremi
Yukarıda gösterilen formül daha çok "Kalkülüsün Temel Teoremi" olarak bilinir. Burada "a" alt limit ve "b" üst limit olarak adlandırılır. Gördüğünüz gibi, bir fonksiyonun belirli integrali bir sayıdır.
Bu durumda f (x) = 3x²'nin belirli integrali aralıkta hesaplanırsa bir sayı elde edilir.
Bu sayıyı belirlemek için f (x) = 3x²'nin ters türevi olarak F (x) = x³ seçiyoruz. Sonra bize 27-0 = 27 sonucunu veren F (3) -F (0) 'ı hesaplıyoruz. Sonuç olarak, f (x) 'in aralıktaki belirli integrali 27'dir.
G (x) = x³ + 3 seçilirse, G (x), F (x) 'den farklı f (x)' in ters türevi olur, ancak bu G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Bu nedenle, integral sabiti belirli integrallerde görünmez.
Bu tip integralin en kullanışlı uygulamalarından biri, uygun fonksiyonlar ve entegrasyon limitleri (ve bir dönme ekseni) oluşturarak bir düzlem figürünün (bir dönme katının) alanını (hacmini) hesaplamamıza izin vermesidir.
Belirli integrallerin içinde çizgi integralleri, yüzey integralleri, uygunsuz integraller, çoklu integraller gibi çeşitli uzantılarını bulabiliriz ve diğerleri arasında bilim ve mühendislikte çok yararlı uygulamalar bulunur.
Referanslar
- Casteleiro, JM (2012). Entegrasyonu kolay mı? Kendi kendine çalışma kılavuzu. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM ve Gómez-Álvarez, RP (2002). İntegral hesap (Resimli ed.). Madrid: ESIC Editoryal.
- Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs Öncesi Matematik. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs öncesi matematik: bir problem çözme yaklaşımı (2, Resimli ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kişan, H. (2005). Integral hesabı. Atlantik Yayıncıları ve Distribütörleri.
- Purcell, EJ, Varberg, D. ve Rigdon, SE (2007). Calculus (Dokuzuncu baskı). Prentice Hall.