EĞIK ÇIZGILER: ÖZELLIKLER, DENKLEMLER VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Eğik çizgiler , belirli bir adres gösteren düz bir yüzeye veya diğer hatta göre ya eğimli olanlardır. Örnek olarak, aşağıdaki şekilde görünen bir düzlemde çizilen üç çizgiyi düşünün.

İlgili göreceli konumlarını biliyoruz çünkü onları, genellikle yatay olan x ekseni olan bir referans çizgisiyle karşılaştırıyoruz.

Şekil 1. Aynı düzlemdeki dikey, yatay ve eğik çizgiler. Kaynak: F. Zapata.

Bu şekilde yatay referans olarak seçildiğinde, soldaki çizgi dikey, merkezdeki yatay ve sağdaki çizgi günlük referans çizgilerine göre eğimli olduğundan eğiktir.

Şimdi, kağıt yüzeyi veya perde gibi aynı düzlemde bulunan çizgiler, kesişip kesişmediklerine bağlı olarak birbirlerine göre farklı konumlarda bulunurlar. İlk durumda bunlar sekant çizgilerdir, ikincisinde ise paraleldirler.

Öte yandan sekant çizgiler, eğik çizgiler veya dikey çizgiler olabilir. Her iki durumda da, çizgilerin eğimleri farklıdır, ancak eğik çizgiler 90º'den farklı olarak birbirleriyle α ve β açıları oluştururken, dikey çizgilerle belirlenen açılar her zaman 90º'dir.

Aşağıdaki şekil bu tanımları özetlemektedir:

Şekil 2. Çizgiler arasındaki bağıl konumlar: paralel, eğik ve dik, birbirleriyle oluşturdukları açı bakımından farklılık gösterir. Kaynak: F. Zapata.

Denklemler

Düzlemdeki çizgilerin göreceli konumlarını bilmek için aralarındaki açıyı bilmek gerekir. Çizgilerin:

Paralel : Aynı eğime sahiplerse (aynı yön) ve asla kesişmiyorlarsa, bu nedenle noktaları eşit uzaklıklıdır.

Tesadüfler : tüm noktaları çakıştığında ve bu nedenle aynı eğime sahip olduğunda, ancak noktaları arasındaki mesafe sıfırdır.

Kurutucular : Eğimleri farklıysa, noktaları arasındaki mesafe değişir ve kesişme noktası tek bir noktadır.

Dolayısıyla, düzlemdeki iki çizginin kesişen mi yoksa paralel mi olduğunu öğrenmenin bir yolu eğimlerinden geçer. Çizgilerin paralellik ve diklik kriterleri aşağıdaki gibidir:

Düzlemdeki iki çizginin eğimlerini bilerek, yukarıdaki kriterlerden hiçbiri karşılanmazsa, doğruların eğik olduğu sonucuna varırız. Bir doğru üzerinde iki nokta bilerek, bir sonraki bölümde göreceğimiz gibi, eğim hemen hesaplanır.

İki doğrunun kesişme noktasını bularak, oluşturdukları denklem sistemini çözerek kesişen mi yoksa paralel mi olduğunu öğrenebilirsiniz: eğer bir çözüm varsa, ayrıktırlar, çözüm yoksa paraleldirler, ancak çözümler sonsuzsa, çizgiler çakışır.

Ancak bu kriter, kesişseler bile bu çizgiler arasındaki açı hakkında bize bilgi vermez.

Doğrular arasındaki açıyı bilmek için, her birine ait olan iki u ve v vektörüne ihtiyacımız var . Dolayısıyla, aşağıdaki şekilde tanımlanan vektörlerin skaler çarpımı aracılığıyla oluşturdukları açıyı bilmek mümkündür:

u • v = uvcos α

Düzlemdeki çizginin denklemi

Kartezyen düzlemdeki bir çizgi birkaç şekilde temsil edilebilir, örneğin:

- Eğim-kesişim formu: m doğrunun eğimi ve b doğrunun dikey eksenle kesişimiyse, doğrunun denklemi y = mx + b'dir.

- Doğrunun genel denklemi : Ax + By + C = 0, burada m = A / B eğimdir.

Kartezyen düzlemde, dikey ve yatay çizgiler, çizginin denkleminin belirli durumlarıdır.

- Dikey çizgiler : x = a

- Yatay çizgiler : y = k

Şekil 3. Solda dikey çizgi x = 4 ve yatay çizgi y = 6. Sağda bir eğik çizgi örneği. Kaynak: F. Zapata.

Şekil 3'teki örneklerde, dikey kırmızı çizginin denklemi x = 4 iken, x eksenine (mavi) paralel olan çizginin y = 6 denklemi vardır. Sağdaki çizgiye gelince, bunun eğik olduğunu görüyoruz. ve denklemini bulmak için şekilde vurgulanan noktaları kullanırız: (0,2) ve (4,0) bu şekilde:

Bu çizginin dikey eksenle kesilmesi, grafikten de görülebileceği gibi y = 2'dir. Bu bilgilerle:

X eksenine göre eğim açısının belirlenmesi basittir. Hissediyorum:

Bu nedenle, x ekseninden doğrunun pozitif açısı: 180º - 26.6º = 153.4º

Eğik çizgi örnekleri

Şekil 4. Eğik çizgi örnekleri. Kaynak: eskrimciler Ian Patterson. Pisa'nın eğik kulesi. Pixabay.

Eğik çizgiler birçok yerde görülür, bunları mimaride, sporda, elektrik besleme kablolarında, borularda ve daha birçok yerde bulmaya özen gösterme meselesidir. Doğada, aşağıda göreceğimiz gibi, eğik çizgiler de mevcuttur:

Işık ışınları

Güneş ışığı düz bir çizgide hareket eder, ancak Dünya'nın yuvarlak şekli güneş ışığının yüzeye nasıl çarptığını etkiler.

Aşağıdaki resimde, güneş ışınlarının tropikal bölgelerde dik olarak çarptığını, bunun yerine ılıman bölgelerde ve kutuplarda yüzeye eğik olarak ulaştığını açıkça görüyoruz.

Bu nedenle güneş ışınları atmosferde daha uzun bir mesafe kat eder ve ayrıca ısı daha geniş bir yüzeye yayılır (şekle bakın). Sonuç, kutuplara yakın alanların daha soğuk olmasıdır.

Şekil 5. Güneş ışınları ılıman kuşaklara ve kutuplara eğik olarak düşer, bunun yerine tropik kuşakta aşağı yukarı dikeydir. Kaynak: Wikimedia Commons.

Aynı düzlemde olmayan çizgiler

İki çizgi aynı düzlemde olmadığında, bilindiği gibi yine de eğik veya eğik olabilirler. Bu durumda yönetmen vektörleri paralel değildir, ancak aynı düzleme ait olmadıkları için bu çizgiler kesişmez.

Örneğin, sağdaki şekil 6'daki çizgiler açıkça farklı düzlemlerdedir. Onlara yukarıdan bakarsanız, kesiştiklerini görürsünüz, ancak ortak noktaları yoktur. Sağda, önden bakıldığında tekerlekleri çapraz gibi görünen bisikletin tekerleklerini görüyoruz.

Şekil 6. Farklı düzlemlere ait eğik çizgiler. Kaynak: sol F. Zapata, sağ Pixabay.

Referanslar

1. Geometri. Bir çizginin yönetmen vektörü. Kurtarıldı: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Analitik Geometri ile Analiz. 8. Baskı. McGraw Hill.
3. Matematik bir oyundur. Çizgiler ve Açılar. Kurtarıldı: juntadeandalucia.es.
4. Kesişen düz çizgiler. Profesoraltuna.com'dan kurtarıldı.
5. Villena, M. R3'te Analitik Geometri. Kurtarıldı: dspace.espol.edu.ec.