BENZER TERIMLERIN AZALTILMASI (ÇÖZÜLMÜŞ EGZERSIZLERLE) - MATEMATIK - 2025

Bu tür terimlerin indirgenmesi, cebirsel ifadeleri basitleştirmek için kullanılan bir yöntemdir. Cebirsel bir ifadede, benzer terimler aynı değişkene sahip olanlardır; yani, bir harfle temsil edilen aynı bilinmeyenlere sahipler ve bunların üsleri aynı.

Bazı durumlarda polinomlar çok geniştir ve bir çözüme ulaşmak için ifadeyi azaltmaya çalışmak gerekir; Bu, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemler ve cebirsel özellikler uygulanarak birleştirilebilen benzer terimler olduğunda mümkündür.

açıklama

Benzer terimler, aynı üsleri olan aynı değişkenlerden oluşur ve bazı durumlarda bunlar yalnızca sayısal katsayılarıyla farklılaştırılır.

Değişkenleri olmayanlar da benzer terimler olarak kabul edilir; yani, yalnızca sabitleri olan terimler. Dolayısıyla, örneğin, aşağıdaki terimler benzer terimlerdir:

- 6x ² - 3x ² . Her iki terim de aynı x ² değişkenine sahiptir .

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³ . Her iki terim de aynı değişkenlere sahiptir a ² b ³ .

- 7 - 6. Terimler sabittir.

Aynı değişkenlere sahip, ancak farklı üsleri olan terimlere benzer olmayan terimler denir, örneğin:

- 9a ² b + 5ab. Değişkenlerin farklı üsleri vardır.

- 5x + y. Değişkenler farklı.

- b - 8. Bir terimin bir değişkeni vardır, diğeri bir sabittir.

Bir polinom oluşturan benzer terimleri tanımlayarak, bunlar aynı değişkenlere sahip olanların tümünü aynı üslerle birleştirerek bire indirgenebilir. Bu şekilde, onu oluşturan terimlerin sayısı azaltılarak ifade basitleştirilir ve çözümünün hesaplanması kolaylaştırılır.

Benzer terimlerin azaltılması nasıl yapılır?

Benzer terimlerin azaltılması, ürünün birleştirici özelliği ve ürünün dağılma özelliği uygulanarak yapılır. Aşağıdaki prosedürü kullanarak bir dönem indirimi yapılabilir:

- İlk olarak, benzer terimler gruplandırılır.

- Benzer terimlerin katsayıları (değişkenlere eşlik eden sayılar) eklenir veya çıkarılır ve duruma göre ilişkisel, değişmeli veya dağıtıcı özellikler uygulanır.

- Daha sonra elde edilen yeni terimler yazılır ve önlerine operasyondan kaynaklanan işaret yerleştirilir.

Misal

Şu ifadenin terimlerini azaltın: 10x + 3y + 4x + 5y.

Çözüm

İlk olarak, terimler, değişmeli özelliği uygulayarak benzer olanları gruplamak için sıralanır:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Daha sonra dağılım özelliği uygulanır ve değişkenlere eşlik eden katsayılar, terimlerin indirgenmesini elde etmek için eklenir:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Benzer terimleri azaltmak için, değişkene eşlik eden katsayıların işaretlerini hesaba katmak önemlidir. Üç olası durum vardır:

Eşit işaretli benzer terimlerin azaltılması

Bu durumda katsayılar eklenir ve terimlerin işareti sonucun önüne yerleştirilir. Dolayısıyla olumlu iseler, ortaya çıkan terimler olumlu olacaktır; terimlerin olumsuz olması durumunda, sonuçta değişkenin yanında (-) işareti olacaktır. Örneğin:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6'dır.

Benzer terimlerin azaltılması c

Bu durumda katsayılar çıkarılır ve en büyük katsayının işareti sonucun önüne yerleştirilir. Örneğin:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² ve.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 bir ³ b + bir ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 ila ³ b.

Böylelikle farklı işaretlere sahip benzer terimleri azaltmak için pozitif işaretli (+) olanların tümü ile tek bir ek terim oluşturulur, katsayılar eklenir ve sonuca değişkenler eşlik eder.

Aynı şekilde, eksi işareti (-) olan tüm bu terimlerle birlikte bir çıkarım terimi oluşturulur, katsayılar eklenir ve sonuca değişkenler eşlik eder.

Son olarak, oluşturulan iki terimin toplamları çıkarılır ve sonuca daha büyük olanın işareti yerleştirilir.

İşlemlerde benzer terimlerin azaltılması

Benzer terimlerin indirgenmesi, toplama, çıkarma, çarpma ve cebirsel bölme işlemlerine uygulanabilen bir cebir işlemidir.

Toplamda

Benzer terimlere sahip birkaç polinomunuz olduğunda, bunları azaltmak için, her polinomun terimleri işaretlerini koruyacak şekilde sıralanır, ardından birbiri ardına yazılır ve benzer terimler azaltılır. Örneğin, aşağıdaki polinomlara sahibiz:

3x - 4xy + 7x ² ve + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

Çıkarmada

Bir polinomu diğerinden çıkarmak için, eksilen yazılır ve ardından işaretli çıkarım değiştirilir ve sonra benzer terimlerin indirgenmesi yapılır. Örneğin:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Bu nedenle, polinomlar 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c olarak özetlenir .

Çarpımlarda

Polinomların bir ürününde, çarpanı oluşturan terimler, çarpanı oluşturan her bir terimle çarpılır, çarpımın işaretleri pozitifse aynı kalır.

Yalnızca negatif bir terimle çarpıldığında değiştirilirler; yani, aynı işaretin iki terimi çarpıldığında sonuç pozitif (+) ve farklı işaretlere sahip olduklarında negatif (-) olacaktır.

Örneğin:

a) (a + b) _* (a + b)

= bir ² + ab + ab + b ²

= bir ² + 2ab + b ² .

b) (a + b) _* (a - b)

= bir ² - ab + ab - b ²

= bir ² - b ² .

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= bir ² - 2ab + b ² .

Bölümlerde

İki polinomu bölme yoluyla azaltmak istediğinizde, ikinci (bölen) ile çarpıldığında ilk polinomla (bölünen) sonuçlanan üçüncü bir polinom bulmalısınız.

Bunun için, temettü ve bölen şartlarının soldan sağa doğru sıralanması gerekir, böylece her ikisindeki değişkenler aynı sırada olur.

Daha sonra, bölünenin solundaki ilk dönemden başlayarak bölenin solundaki ilk terime kadar, her dönemin işaretleri dikkate alınarak bölünme yapılır.

Örneğin, polinomu: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² ve ² + 4xy ³ - 15y ⁴ polinomuna bölerek azaltın: -5x ² + 4xy + 3y ² .

Elde edilen polinom -2x ² + 8xy - 5y ^2'dir .

Çözülmüş egzersizler

İlk egzersiz

Verilen cebirsel ifadenin terimlerini azaltın:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Çözüm

Toplamanın değişmeli özelliği, aynı değişkenlere sahip terimler gruplanarak uygulanır:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Daha sonra çarpmanın dağılma özelliği uygulanır:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) bir ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Son olarak, her bir terimin katsayılarını ekleyip çıkararak basitleştirilirler:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

İkinci egzersiz

Aşağıdaki polinomların ürününü basitleştirin:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

Çözüm

Birinci polinomun her terimi, terimlerin işaretlerinin farklı olduğu dikkate alınarak ikinciyle çarpılır; bu nedenle, çarpımının sonucu negatif olacak ve üslerin yasaları uygulanmalıdır.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

X = 64 ⁶ 56 x - ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ .

Referanslar

1. Melek, AR (2007). Temel Cebir. Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). İlköğretim ve Orta Düzey Cebir: Birleşik Bir Yaklaşım. Florida: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Cebir. Pearson Education.
5. Vigil, C. (2015). Cebir ve Uygulamaları.