SARRUS KURALI: NELERDEN OLUŞUR VE BELIRLEYICI TÜRLERI - KÜLTÜR KELIME - 2025

Kural Sarrus 3 × 3 belirleyicileri sonucunu hesaplamak için kullanılır. Bunlar doğrusal denklemleri çözmek ve uyumlu olup olmadıklarını bulmak için kullanılır.

Uyumlu sistemler, çözümü elde etmeyi kolaylaştırır. Ayrıca, vektör setlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını belirlemek ve vektör uzayının temelini oluşturmak için kullanılırlar.

Bu uygulamalar matrislerin tersine çevrilebilirliğine dayanmaktadır. Bir matris düzenli ise determinantı 0'dan farklıdır. Tekil ise determinantı 0'a eşittir. Determinantlar sadece kare matrislerde hesaplanabilir.

Herhangi bir sıradaki matrisleri hesaplamak için Laplace teoremi kullanılabilir. Bu teorem, ana matristen ayrıştırdığımız küçük determinantların toplamı olarak yüksek boyutlu matrisleri basitleştirmemizi sağlar.

Bir matrisin determinantının, her satır veya sütunun çarpımlarının toplamına, çarpı onun bitişik matrisinin determinantına eşit olduğunu belirtir.

Bu, determinantları azaltır, böylece n derecesinin determinantı, n-1'in n determinantı olur. Bu kuralı art arda uygularsak, hesaplamasının çok daha kolay olduğu boyut 2 (2 × 2) veya 3 (3 × 3) belirleyicilerini elde edebiliriz.

Sarrus kuralı

Pierre Frederic Sarrus, 19. yüzyıl Fransız matematikçiydi. Matematiksel incelemelerinin çoğu, sayısal denklemler içindeki denklem çözme yöntemlerine ve varyasyonlar hesabına dayanmaktadır.

Tezlerinden birinde, mekanikteki en karmaşık bilmecelerden birini çözdü. Eklemli parçaların sorunlarını çözmek için Sarrus, alternatif doğrusal hareketlerin düzgün dairesel hareketlerle dönüşümünü başlattı. Bu yeni sistem Sarrus mekanizması olarak bilinir.

Bu matematikçiye en çok ün kazandıran araştırma, "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Denklemleri çözmek için yeni yöntem) adlı makalesinde belirleyicileri hesaplamak için yeni bir yöntem getirmesiydi. Yıl 1833. Doğrusal denklemleri çözmenin bu yolu Sarrus kuralı olarak bilinir.

Sarrus kuralı, Laplace teoremini kullanmaya gerek kalmadan 3x3 matrisin determinantını hesaplamaya izin vererek çok daha basit ve sezgisel bir yöntem sunar. Sarrus kuralının değerini kontrol etmek için, herhangi bir boyut 3 matrisini alıyoruz:

Belirleyicisinin hesaplanması, ters köşegenlerin çarpımını çıkararak ana köşegenlerinin çarpımı kullanılarak gerçekleştirilecektir. Bu aşağıdaki gibi olacaktır:

Sarrus'un kuralı, determinantın köşegenlerini hesaplarken çok daha kolay bir görüş elde etmemizi sağlar. İlk iki sütun matrisin arkasına eklenerek basitleştirilebilir. Böylelikle çarpımın hesaplanmasında ana köşegenlerinin hangilerinin tersi olduğu daha net görülmektedir.

Bu görüntü aracılığıyla Sarrus kuralının uygulanışını görebiliriz, ilk matrisin grafik temsilinin altına 1. ve 2. satırı dahil ederiz. Bu şekilde, ana köşegenler ilk görünen üç köşegendir.

Üç ters köşegen, sırayla, arkada ilk görünenlerdir.

Bu şekilde, köşegenler, determinantın çözünürlüğünü karmaşıklaştırmadan, matrisin hangi elemanlarının her bir köşegene ait olduğunu bulmaya çalışırken daha görsel bir şekilde görünür.

Resimde görüldüğü gibi, köşegenleri seçeriz ve her bir fonksiyonun sonuçtaki ürününü hesaplarız. Mavi renkte görünen köşegenler, toplananlardır. Bunların toplamına kırmızı renkte görünen köşegenlerin değerini çıkarıyoruz.

Sıkıştırmayı kolaylaştırmak için cebirsel terimler ve alt terimler kullanmak yerine sayısal bir örnek kullanabiliriz.

Örneğin herhangi bir 3 × 3 matrisi alırsak:

Sarrus kuralını uygulamak ve daha görsel bir şekilde çözmek için sırasıyla 4. ve 5. satırlar olarak 1. ve 2. satırı eklemeliyiz. 1. sırayı 4. pozisyonda ve 2. sırayı 5. pozisyonda tutmak önemlidir. Onları değiştirirsek, Sarrus Kuralı etkili olmayacak.

Determinantı hesaplamak için matrisimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

Hesaplamaya devam etmek için ana köşegenlerin elemanlarını çarpacağız. Soldan başlayan torunların olumlu bir işareti olacaktır; sağdan başlayan ters köşegenlerin negatif işareti vardır.

Bu örnekte, maviler pozitif, kırmızılar ise negatif işarete sahip olacaktır. Sarrus Kuralının son hesaplaması şöyle görünecektir:

Belirleyici türleri

1. boyutun belirleyicisi

Matrisin boyutu 1 ise, matris şöyle görünür: A = (a)

Bu nedenle, belirleyicisi aşağıdaki gibi olacaktır: det (A) = -A- = a

Özetle, A matrisinin determinantı, bu durumda a olan matris A'nın mutlak değerine eşittir.

2. boyutun belirleyicisi

Boyut 2'nin matrislerine geçersek, şu türde matrisler elde ederiz:

Belirleyicisinin şu şekilde tanımlandığı durumlarda:

Bu determinantın çözünürlüğü, ters köşegeninin çarpımını çıkararak ana köşegeninin çarpımına dayanır.

Bir anımsatıcı olarak, determinantını hatırlamak için aşağıdaki diyagramı kullanabiliriz:

3. boyutun belirleyicisi

Matrisin boyutu 3 ise, ortaya çıkan matris şu türde olacaktır:

Bu matrisin determinantı şu şekilde Sarrus kuralıyla çözülecektir:

Referanslar

1. Jenny Olive (1998) Matematik: Bir Öğrencinin Hayatta Kalma Rehberi. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30 Saniyelik Matematik: Matematikte En Zihin Genişleyen 50 Teori. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Matematik Bağlantısı. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) 3 × 3 Matrisin Determinantlarının Hesaplanması Üzerine Bir Araştırma. Lap Lambert Akademik Yayınları.
5. Anthony Nicolaides (1994) Belirleyiciler ve Matrisler. Yayını geç.
6. Jesse Russell (2012) Sarrus Kuralı.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Doğrusal cebire giriş. ESIC Editoryal.