SIMPSON KURALI: FORMÜL, KANIT, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Simpson sitesindeki kuralı , yaklaşık, belirli integraller hesaplamak için bir yöntemdir. Entegrasyon aralığını eşit aralıklı çift sayıda alt aralıklara bölmeye dayanır.

Ardışık iki alt aralığın uç değerleri, denklemi ikinci derece polinom olan bir parabolün uyduğu üç noktayı tanımlar.

Şekil 1. Simpson yönteminde, entegrasyon aralığı eşit genişlikte çift sayıda aralığa bölünmüştür. Fonksiyon, her 2 alt aralıkta bir parabol ile yaklaşık olarak belirlenir ve integrale, parabollerin altındaki alanın toplamı ile yaklaşılır. Kaynak: upv.es.

Ardından, ardışık iki aralıktaki fonksiyonun eğrisinin altındaki alan, interpolasyon polinomunun alanı ile yaklaşık olarak belirlenir. Tüm ardışık alt aralıkların parabolü altındaki alana katkısını ekleyerek, integralin yaklaşık değerine sahibiz.

Öte yandan, bir parabolün integrali cebirsel olarak tam olarak hesaplanabildiğinden, belirli integralin yaklaşık değeri için analitik bir formül bulmak mümkündür. Simpson formülü olarak bilinir.

Bu şekilde elde edilen yaklaşık sonucun hatası, alt bölümlerin sayısı n daha büyük olduğunda (burada n, bir çift sayıdır) azalır.

Toplam aralığın n normal alt aralığının bir bölümü yapıldığında, I integraline yaklaşımın üst sınırının tahmin edilmesine izin veren bir ifade aşağıda verilecektir.

Formül

Entegrasyon aralığı, n çift tam sayı olmak üzere n alt aralığa bölünmüştür. Her bir alt bölümün genişliği şu şekilde olacaktır:

h = (b - bir) / n

Bu şekilde bölümleme aralık üzerinden yapılır:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Burada X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Aralıktaki sürekli ve tercihen pürüzsüz fonksiyonun belirli integral I değerine yaklaşık olarak izin veren formül şöyledir:

gösteri

Simpson formülünü elde etmek için, her alt aralıkta f (X) fonksiyonuna, üç noktadan geçen ikinci derece polinom p (X) (parabol) ile yaklaşılır :; ve .

Daha sonra polinom p (x) 'in integrali hesaplanır ve bu aralıktaki f (X) fonksiyonunun integraline yaklaşır.

Şekil 2. Simpson formülünü gösteren grafik. Kaynak: F. Zapata.

İnterpolasyon polinomunun katsayıları

Parabolün denklemi p (X) genel forma sahiptir: p (X) = AX ² + BX + C.Parabol kırmızı ile gösterilen Q noktalarından geçerken (şekle bakın), ardından A, B, C katsayıları aşağıdaki denklem sisteminden belirlenir:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

C katsayısının belirlendiği görülmektedir. A katsayısını belirlemek için, elde edilen birinci ve üçüncü denklemleri ekliyoruz:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Daha sonra C'nin değeri ikame edilir ve A temizlenir, bırakılır:

A = / (2 h ² )

B katsayısını belirlemek için, üçüncü denklem birinciden çıkarılır ve B çözülür, elde edilir:

B = = 2 saat.

Özetle, Qi, Qi + 1 ve Qi + 2 noktalarından geçen ikinci derece polinom p (X) katsayılarına sahiptir:

A = / (2 h ² )

B = = 2 saat

C = f (Xi + 1)

Yaklaşık integralin hesaplanması

İntegralin yaklaşık olarak hesaplanması

Daha önce belirtildiği gibi, h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n adımıyla toplam entegrasyon aralığında bir {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} bölümü yapılır, burada n çift sayıdır.

Yaklaşım hatası

Aralıktaki alt bölümlerin sayısının dördüncü üssü ile hatanın azaldığına dikkat edin. Örneğin, n alt bölümden 2n'ye giderseniz, hata 1/16 oranında azalır.

Simpson yaklaşımı vasıtasıyla elde edilen hatanın üst sınırı, aralıktaki dördüncü türevin maksimum mutlak değerinin dördüncü türevi ikame edilerek aynı formülden elde edilebilir.

Çalışılan Örnekler

- Örnek 1

F (X) = 1 / (1 + X ² ) fonksiyonunu düşünün .

İki alt bölümlü (n = 2) Simpson yöntemini kullanarak aralıkta f (X) fonksiyonunun belirli integralini bulun.

Çözüm

N = 2 alıyoruz. Entegrasyonun sınırları a = -1 ve b = -2'dir, dolayısıyla bölüm aşağıdaki gibi görünür:

X0 = -1; X1 = 0 ve X2 = +1.

Bu nedenle, Simpson formülü aşağıdaki formu alır:

Şekil 3. Yazılım kullanarak Simpson kuralıyla sayısal entegrasyon örneği. Kaynak: F. Zapata.

Referanslar

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Resimli Baskı). Madrid: ESIC Editoryal.
2. UPV. Simpson yöntemi. Valencia Politeknik Üniversitesi. Youtube.com adresinden kurtarıldı
3. Purcell, E. 2007. Calculus Dokuzuncu Baskı. Prentice Hall.
4. Vikipedi. Simpson kuralı. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
5. Vikipedi. Lagrange polinom enterpolasyonu. Kurtarıldı: es.wikipedia.com