KUVVET SERILERI: ÖRNEKLER VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Bir güç serileri değişken x tozlar formunda açısından bir toplamı oluşur, veya daha genel olarak, C sabit bir reel sayıdır xc, bir. Özetle gösterimde bir dizi güç aşağıdaki gibi ifade edilir:

Katsayılar a _o , a ₁ , a ₂ … gerçel sayılardır ve seri n = 0'da başlar.

Şekil 1. Kuvvet serisinin tanımı. Kaynak: F. Zapata.

Bu seri, sabit olan c değerine ortalanır, ancak c'nin 0'a eşit olmasını seçebilirsiniz, bu durumda kuvvet serisi aşağıdakileri basitleştirir:

Seri, sırasıyla a _veya (xc) ⁰ ve a _veya x ^{0 ile başlar} . Ancak şunu biliyoruz:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Dolayısıyla a _o (xc) ⁰ = a _veya x ⁰ = a _o (bağımsız terim)

Kuvvet serileri ile ilgili iyi olan şey, fonksiyonların onlarla ifade edilebilmesidir ve bunun birçok avantajı vardır, özellikle karmaşık bir fonksiyonla çalışmak istiyorsanız.

Böyle bir durumda, işlevi doğrudan kullanmak yerine, türetmesi, entegre etmesi veya sayısal olarak çalışması daha kolay olabilen güç serisi genişletmesini kullanın.

Elbette her şey dizinin yakınsamasına koşullu. Belirli bir çok sayıda terim eklendiğinde bir dizi yakınsar, sabit bir değer verir. Ve yine de daha fazla terim eklersek, bu değeri elde etmeye devam ederiz.

Güç Serisi Olarak Fonksiyonlar

Kuvvet serisi olarak ifade edilen bir fonksiyona örnek olarak, f (x) = e ^x alalım .

Bu işlev aşağıdaki gibi bir dizi güç cinsinden ifade edilebilir:

ve ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Nerede! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… ve 0 alır! = 1.

Bir hesap makinesi yardımıyla, serinin açıkça verilen fonksiyonla örtüştüğünü kontrol edeceğiz. Örneğin x = 0 yaparak başlayalım.

E ⁰ = 1 olduğunu biliyoruz . Serinin ne yaptığını görelim:

ve ⁰ ≈ 1 + 0 (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

Ve şimdi x = 1'i deneyelim. Bir hesap makinesi, e ¹ = 2.71828 değerini döndürür ve ardından seriyle karşılaştıralım:

ve ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0.5000 + 0,1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2,7167

Yalnızca 5 terimle, zaten e ≈ 2.71'de tam bir eşleşmeye sahibiz. Serimizde gidecek çok az şey var, ancak daha fazla terim eklendikçe, seri kesinlikle e'nin tam değerine yakınlaşıyor. Gösterim, n → ∞ olduğunda kesindir.

Önceki analiz n = 2 için tekrar edilirse, çok benzer sonuçlar elde edilir.

Bu şekilde, f (x) = e ^x üstel fonksiyonunun bu güçler dizisi ile temsil edilebileceğinden eminiz :

Şekil 2. Bu animasyonda, daha fazla terim alındıkça kuvvet serisinin üstel fonksiyona nasıl yaklaştığını görebiliriz. Kaynak: Wikimedia Commons.

Geometrik güçler serisi

F (x) = e ^x işlevi, bir kuvvet serisi gösterimini destekleyen tek işlev değildir. Örneğin, f (x) = 1/1 - x işlevi, iyi bilinen yakınsak geometrik serilere çok benziyor:

Bu işleve uygun bir dizi elde etmek için a = 1 ve r = x yapmak yeterlidir, c = 0'da ortalanır:

Bununla birlikte, bu serinin │r│ <1 için yakınsak olduğu bilinmektedir, bu nedenle gösterim yalnızca (-1,1) aralığında geçerlidir, ancak fonksiyon x = 1 hariç tüm x'ler için geçerlidir.

Bu işlevi başka bir aralıkta tanımlamak istediğinizde, sadece uygun bir değere odaklanırsınız ve bitirdiniz.

Bir fonksiyonun güçlerinin seri genişlemesi nasıl bulunur

X = c'de tüm mertebelerin türevlerine sahip olduğu sürece, herhangi bir fonksiyon c merkezli bir kuvvet serisinde geliştirilebilir. Prosedür, Taylor teoremi adı verilen aşağıdaki teoremi kullanır:

F (x), I aralığında güçlerin bir dizi genişlemesini kabul eden, f ⁽ⁿ⁾ olarak gösterilen, n derecesinin türevlerine sahip bir fonksiyon olsun . Taylor'ın seri gelişimi:

Böylece:

Serinin n'inci terimi olan R _n'ye kalan denir:

C = 0 olduğunda seriye Maclaurin serisi denir.

Burada verilen bu seri, başlangıçta verilen seriyle aynıdır, ancak şimdi her terimin katsayılarını açıkça bulmanın bir yolu var, şu şekilde verilir:

Bununla birlikte, serinin temsil edilecek fonksiyona yakınsadığından emin olmalıyız. Her Taylor serisinin, _n'deki katsayıları hesaplarken akılda tutulan f (x) değerine yakınsaması gerekmez .

Bunun nedeni, belki de fonksiyonun x = c'de değerlendirilen türevlerinin, başka birinin türevlerinin aynı değeriyle, yine x = c'de çakışmasıdır. Bu durumda katsayılar aynı olacaktır, ancak hangi işleve karşılık geldiği belli olmadığından gelişme belirsiz olacaktır.

Neyse ki bilmenin bir yolu var:

Yakınsama kriteri

Belirsizliği önlemek için, I aralığında tüm x'ler için _n → 0 olarak R _n → 0 ise, dizi f (x) 'e yakınsar.

Egzersiz yapmak

- Egzersiz çözüldü 1

F (x) = 1/2 - x fonksiyonunun geometrik kuvvet serisini c = 0'da ortalanmış olarak bulun.

Çözüm

Verilen işlevi, serisi bilinen 1 / 1- x ile mümkün olduğunca yakın eşleşecek şekilde ifade edin. Öyleyse orijinal ifadeyi değiştirmeden pay ve paydayı yeniden yazalım:

1/2 - x = (1/2) /

½ sabit olduğu için, toplamdan çıkar ve yeni x / 2 değişkeni cinsinden yazılır:

X = 2'nin fonksiyonun alanına ait olmadığını ve Geometrik Kuvvet Serileri bölümünde verilen yakınsama kriterine göre genişletmenin │x / 2│ <1 veya eşdeğer olarak -2 <x <2 için geçerli olduğunu unutmayın.

- Egzersiz çözüldü 2

F (x) = sin x fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımının ilk 5 terimini bulun.

Çözüm

Aşama 1

İlk olarak türevler:

0 mertebesinin türevi: f (x) = sin x ile aynı fonksiyondur

-İlk türev: (sin x) ´ = cos x

-İkinci türev: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Üçüncü türev: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Dördüncü türev: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Adım 2

Daha sonra her bir türev, bir Maclaurin genişlemesi gibi x = c'de değerlendirilir, c = 0:

günah 0 = 0; çünkü 0 = 1; - günah 0 = 0; -cos 0 = -1; günah 0 = 0

Aşama 3

A _n katsayıları _oluşturulur ;

a _o = 0/0! = 0; bir ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; bir ₃ = -1 / 3!; bir ₄ = 0/4! = 0

4. adım

Son olarak seri şunlara göre birleştirilir:

günah x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Okuyucunun daha fazla terime ihtiyacı var mı? Daha kaç, dizi işleve daha yakın.

Katsayılarda bir model olduğunu, bir sonraki sıfır olmayan terimin _{5 olduğunu} ve tek indeksi olanların da 0'dan farklı olduğunu ve işaretleri değiştirerek:

günah x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Yakınsadığını kontrol etmek için bir alıştırma olarak bırakılmıştır, bölüm kriteri serilerin yakınsaması için kullanılabilir.

Referanslar

1. CK-12 Vakfı. Kuvvet Serileri: fonksiyonların ve işlemlerin gösterimi. Kurtarıldı: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. İntegral Hesabı. Ulusal Litoral Üniversitesi.
3. Larson, R. 2010. Bir değişkenin hesaplanması. 9. Baskı. McGraw Hill.
4. Matematik Serbest Metinler. Güç serisi. Math.liibretexts.org adresinden kurtarıldı.
5. Vikipedi. Güç serisi. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.