EKSENEL SIMETRI: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Aksiyal simetri düz bir açıortay başka şekil noktalarına sahip bir şekil denk noktaları simetri ekseni adı zamandır. Aynı zamanda radyal, rotasyonel veya silindirik simetri olarak da adlandırılır.

Genellikle geometrik şekillerde uygulanır, ancak eksenel simetri sergileyen kelebekler, akrepler, uğur böcekleri veya insanlar gibi hayvanlar olduğu için doğada kolaylıkla gözlemlenebilir.

Toronto şehir silüeti ve sudaki yansımasının bu fotoğrafında eksenel simetri sergileniyor. (Kaynak: Pixabay)

Eksenel simetrik nasıl bulunur

Bir P noktasının bir çizgiye (L) göre eksenel simetrisini P 'bulmak için aşağıdaki geometrik işlemler gerçekleştirilir:

1. - P noktasından geçen çizgiye (L) dik olan.

2.- İki çizginin kesişmesi bir O noktası belirler.

3.- PO segmentinin uzunluğu ölçülür, daha sonra bu uzunluk, O'dan başlayarak P'den O'ya doğru P 'noktasını belirleyerek çizgiye (PO) kopyalanır.

4. - P 'noktası, P noktasının eksene (L) göre eksenel simetrikidir, çünkü (L) doğru, PP' segmentinin açı ortasıdır ve O, adı geçen segmentin orta noktasıdır.

Şekil 1. Söz konusu eksen PP 'segmentinin bir açıortayıysa, iki nokta P ve P' bir eksene (L) eksenel olarak simetriktir.

Eksenel simetrinin özellikleri

- Eksenel simetri izometriktir, yani geometrik bir şeklin mesafeleri ve karşılık gelen simetrisi korunur.

- Bir açının ölçüsü ve simetrisi eşittir.

- Simetri ekseni üzerindeki bir noktanın eksenel simetrisi, noktanın kendisidir.

- Simetri eksenine paralel bir çizginin simetrik çizgisi de söz konusu eksene paralel bir çizgidir.

- Simetri eksenine bir sekant çizgisi, simetrik bir çizgi olarak, başka bir sekant çizgisine sahiptir ve bu da, orijinal çizginin aynı noktasında simetri eksenini keser.

- Bir çizginin simetrik görüntüsü, orijinal çizgininki ile aynı ölçüdeki simetri ekseni ile bir açı oluşturan başka bir çizgidir.

- Simetri eksenine dik bir çizginin simetrik görüntüsü, birinciyle örtüşen başka bir çizgidir.

- Bir çizgi ve onun eksenel simetrik çizgisi, açıortayı simetri ekseni olan bir açı oluşturur.

Şekil 2. Eksenel simetri, mesafeleri ve açıları korur.

Eksenel simetri örnekleri

Doğa, bol miktarda eksenel simetri örneği sergiler. Örneğin, yüzlerin simetrisini, kelebekler gibi böcekleri, durgun su yüzeylerindeki yansımaları ve aynaları veya bitkilerin yapraklarını görebilirsiniz.

Şekil 3. Bu kelebek mükemmele yakın eksenel simetri sergiliyor. (Kaynak: Pixabay)

Şekil 4. Bu kızın yüzü eksenel simetriye sahiptir. (Kaynak: Pixabay)

Eksenel simetri çalışmaları

1. Egzersiz

Kartezyen koordinatları sırasıyla A = (2, 5), B = (1, 1) ve C = (3,3) olan A, B ve C köşelerinden oluşan üçgenimiz var. Y ekseni (ordinat ekseni) etrafında simetrik olan üçgenin Kartezyen koordinatlarını bulun.

Çözüm: Bir P noktasının koordinatları (x, y) varsa, ordinat ekseni (Y ekseni) etrafındaki simetrik P '= (- x, y) olur. Başka bir deyişle, apsisinin değeri işareti değiştirirken, ordinatın değeri aynı kalır.

Bu durumda, A ', B' ve C 'köşeli simetrik üçgenin koordinatları olacaktır:

A '= (- 2, 5); Şekil 6'da görüldüğü gibi B '= (- 1, 1) ve C' = (- 3, 3).

Şekil 6. Bir noktanın koordinatları (x, y) varsa, Y eksenine (ordinat ekseni) göre simetrik koordinatları (-x, y) olacaktır.

Egzersiz 2

1. egzersizdeki ABC üçgenine ve simetrik A'B'C'ye referansla, orijinal üçgenin karşılık gelen kenarlarının ve simetrisinin aynı uzunluğa sahip olduğunu kontrol edin.

Çözüm: Kenarların mesafesini veya uzunluğunu bulmak için Öklid mesafesi formülünü kullanıyoruz:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Karşılık gelen simetrik kenar A'B'nin uzunluğu aşağıda hesaplanmıştır:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Bu şekilde eksenel simetrinin iki nokta arasındaki mesafeyi koruduğu doğrulanmıştır. Prosedür, üçgenin diğer iki kenarı için tekrarlanabilir ve uzunluktaki değişmezliği kontrol etmek için simetriktir. Örneğin -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Egzersiz 3

ABC üçgeni ve 1. Alıştırmadaki simetrik A'B'C 'ile ilişkili olarak, orijinal üçgenin ve simetrisinin karşılık gelen açılarının aynı açısal ölçüye sahip olduğunu kontrol edin.

Çözüm: BAC ve B'A'C 'açılarının ölçülerini belirlemek için, önce AC ile AB vektörlerinin skaler çarpımını ve ardından A'C' ile A'B ' nin skaler çarpımını hesaplayacağız .

Bunu hatırlayarak:

A = (2, 5), B = (1, 1) ve C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) ve C' = (- 3, 3).

Şunlara sahiptir:

AB = <1-2, 1-5> ve AC = <3-2, 3-5>

benzer şekilde

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> ve AC = <-3 + 2, 3-5>

Ardından aşağıdaki skaler ürünler bulunur:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

benzer şekilde

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

BAC açısının ölçüsü:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Benzer şekilde, B'A'C 'açısının ölçüsü:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Eksenel simetrinin açıların ölçüsünü koruduğu sonucuna varılır.

Egzersiz 4

P noktası koordinatlardan (a, b) olsun. Eksenel simetrisi P 'nin y = x doğrusuna göre koordinatlarını bulun.

Çözüm: Simetrik nokta P'nin koordinatlarını y = x doğrusuna göre (a ', b') olarak adlandıracağız. PP 'segmentinin orta noktası M koordinatlarına ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) sahiptir ve ayrıca y = x doğrusundadır, dolayısıyla aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

a + a '= b + b'

Öte yandan, PP 'segmentinin -1 eğimi vardır çünkü y = x doğrusuna diktir ve 1 eğimi vardır, dolayısıyla aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

b - b '= a' -a

Önceki iki eşitlik a 've b' için çözüldüğünde şu sonuca varılır:

a '= bununla b' = a.

Yani, bir P (a, b) noktası verildiğinde, y = x doğrusuna göre eksenel simetrisi P '(b, a)' dır.

Referanslar

1. Arce M., Blázquez S ve diğerleri. Düzlemin dönüşümleri. Educutmxli.files.wordpress.com adresinden kurtarıldı
2. Hesaplama cc. Eksenel simetri. Calculo.cc'den kurtarıldı
3. Superprof. Eksenel simetri. Kurtarıldığı kaynak: superprof.es
4. wikipedia. Eksenel simetri. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Dairesel Simetri. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı