MERKEZI SIMETRI: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

İki nokta A ve A ', AA' parçası içinden geçtiğinde bir O noktasına göre merkezi simetriye sahiptir ve aynı zamanda AA'nın orta noktasıdır. O noktasına simetrinin merkezi denir.

Bir O noktasına göre ABC üçgeninin merkezi simetriği, aşağıdaki özelliklere sahip başka bir A'B'C 'üçgenidir:

-Homolog segmentler eşit uzunluktadır

- Karşılık gelen açıları aynı ölçüye sahiptir.

Şekil 1. ABC Üçgeni ve simetrik A'B'C '. Kaynak: F. Zapata.

Şekil 1, bir ABC üçgenini (kırmızı) ve simetri merkezine O göre merkezi simetrisini A'B'C '(yeşil) göstermektedir.

Aynı şekilde, dikkatli bir gözlemci, aynı sonucun, 180 O. olduğu ve O'da ortalandığı sürece, orijinal üçgenin bir dönüşünü uygulayarak elde edildiğini anlayacaktır.

Bu nedenle, merkezi bir simetri, simetri merkezine göre 180º'lik bir dönüşe eşdeğerdir.

Merkezi simetrinin özellikleri

Merkezi bir simetri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

- Simetrinin merkezi, simetrisi ile bir noktayı birleştiren parçanın orta noktasıdır.

-Simetrinin merkezinde yer alan bir diğerinin simetrik noktası, simetri merkezi ile çakışır.

-Bir üçgenin merkezi simetriği, orijinale uygun bir üçgendir (eşittir).

-Bir dairenin merkezi simetrisine göre görüntüsü, eşit yarıçaplı başka bir çemberdir.

-Bir çevre kendi merkezine göre merkezi simetriye sahiptir.

Şekil 2. Merkezi simetri ile tasarım. Kaynak: Pixabay.

-Elipse, merkezine göre merkezi simetriye sahiptir.

-Bir segment, orta noktasına göre merkezi simetriye sahiptir.

- Eşkenar üçgenin merkezine göre merkezi simetrisi yoktur, çünkü simetrisi birinciyle uyumlu olmasına rağmen döndürülmüş bir eşkenar üçgen verir.

-Kare merkezlerine göre merkezi simetriye sahiptir.

-Bir beşgen, merkezine göre merkezi simetriye sahip değildir.

-Düzenli çokgenler, çift sayıda kenara sahip olduklarında merkezi simetriye sahiptir.

Örnekler

Simetri kriterlerinin bilim ve mühendislikte birçok uygulaması vardır. Doğada merkezi simetri mevcuttur, örneğin buz kristalleri ve örümcek ağları bu tür bir simetriye sahiptir.

Ayrıca, merkezi simetri ve diğer simetri türlerinin varlığından yararlanıldığında birçok sorun kolayca çözülür. Bu nedenle, ne zaman ortaya çıktığını hızlı bir şekilde belirlemek uygundur.

Şekil 3. Buz kristallerinin merkezi simetrisi vardır. Kaynak: Pixabay.

örnek 1

(A, b) koordinatlarının bir P noktası verildiğinde, koordinatların (0, 0) başlangıç ​​O noktasına göre simetrik P 'koordinatlarını bulmalıyız.

İlk şey, O başlangıç ​​noktasından ve P noktasından geçen bir doğrunun çizildiği P 'noktasını oluşturmaktır. Bu doğrunun denklemi y = (b / a) x şeklindedir.

Şimdi simetrik P 'noktasının koordinatlarını (a', b ') olarak adlandıralım. P 'noktası O'dan geçen doğru üzerinde olmalıdır ve bu nedenle doğrudur: b' = (b / a) a '. Ayrıca, OP mesafesi, analitik biçimde aşağıdaki gibi yazılan OP'ye eşit olmalıdır:

√ (bir ² + b ² ) = √ (bir ' ² + b' ² )

Aşağıdakiler, önceki ifadede b '= yerine karekökü ortadan kaldırmak için eşitliğin her iki tarafının karesini almaktır: (a ² + b ² ) =

Ortak çarpanı çıkararak ve basitleştirerek, a ' ² = a ² olduğunu elde ederiz . Bu denklemin iki gerçek çözümü vardır: a '= + a veya a' = -a.

B 'elde etmek için yine b' = (b / a) a 'kullanıyoruz. Eğer a 'nın pozitif çözümü ikame edilirse, bu b' = b'ye ulaşırız. Ve negatif çözüm ikame edildiğinde, b '= -b.

Pozitif çözüm, P 'için aynı P noktasını verir, bu nedenle atılır. Negatif çözüm kesinlikle simetrik noktanın koordinatlarını verir:

P ': (-a, -b)

Örnek 2

Bir AB segmentinin ve onun merkezi simetrik A'B 'nin aynı uzunluğa sahip olduğunu göstermek gerekir.

(Ax, Ay) ve B noktası: (Bx, By) olan A noktasının koordinatlarından başlayarak, AB segmentinin uzunluğu şu şekilde verilir:

d (AB) = √ ((Bx - Eksen) ² + (By - Ay) ² )

Benzetme yoluyla, simetrik A'B 'segmentinin uzunluğu şu şekilde olacaktır:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ay ') ² )

A 'simetrik noktasının koordinatları Ax' = -Ax ve Ay '= -Ay'dir. Benzer şekilde B 'ninkiler Bx' = -Bx ve By '= -By'dir. Bu koordinatlar d (A'B ') mesafesinin denkleminde yer değiştirirse, bizde:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + ( -By + Ay) ² ) ile eşdeğerdir:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Böylelikle her iki segmentin de aynı uzunluğa sahip olduğu gösterilmiştir.

Çözülmüş egzersizler

- 1. Egzersiz

R yarıçaplı ve O merkezli bir dairenin merkezi simetrik O'sunun aynı orijinal daire olduğunu analitik olarak gösterin.

Çözüm

Yarıçapı R ve merkezi O (0,0) olan bir dairenin denklemi:

x ² + y ² = R ² (C çevresi denklemi)

(X, y) koordinatlarının y çevresinin her noktasında P'nin simetrik P 'koordinatlarının (x', y ') bulunursa, simetrik çevrenin denklemi:

x ' ² + y' ² = R ² (Simetrik daire C 'denklemi)

Şimdi, P'ye simetrik olan ve (a, b) koordinatlarına sahip bir P 'noktasının koordinatlarının (-a, -b) olduğu sonucuna varıldığı örnek 1'in sonucuna bakıyoruz.

Ancak bu alıştırmada, P noktası koordinatlara (x, y) sahiptir, bu nedenle simetrik P 'koordinatlarına sahip olacaktır x' = -xe y '= -y. Elimizdeki simetrik çemberin denkleminde bunu değiştirirsek:

(X) ² + (-y) ² = R ' ²

Buna eşdeğer olan: x ² + y ² = R ² , bir çemberin merkezine göre merkez simetrisinin çemberin kendisi olduğu sonucuna varılır.

- Egzersiz 2

Merkezi simetrinin açıları koruduğunu geometrik biçimde gösterin.

Çözüm

Şekil 4. Alıştırma için simetrik noktaların oluşturulması 2. Kaynak: F. Zapata.

Uçakta A, B ve C olmak üzere üç nokta vardır. Simetrikleri A ', B' ve C ', şekil 4'te gösterildiği gibi simetri merkezine O göre inşa edilmiştir.

Şimdi ∡ABC = β açısının ∡A'B'C '= β' açısı ile aynı ölçüye sahip olduğunu göstermeliyiz.

C ve C 'simetrik olduğundan, OC = OC'. Benzer şekilde OB = OB 've OA = OA'. Öte yandan, köşe tarafından karşı oldukları için ∡BOC = angleB'OC 'açısı.

Bu nedenle, BOC ve B'OC 'üçgenleri, iki eşit kenar arasında eşit bir açıya sahip oldukları için uyumludur.

BOC, B'OC 'ile uyumlu olduğundan, γ ve γ' açıları eşittir. Ancak bu açılar, γ = γ 'yerine getirilmesinin yanı sıra, BC ve B'C' çizgileri arasındaki dahili alternatiflerdir, bu da BC çizgisinin B'C'ye paralel olduğunu gösterir.

Benzer şekilde BOA, α = α 'olduğu B'OA' ile uyumludur. Ancak α ve α ', BA ve B'A' çizgileri arasındaki alternatif iç açılardır ve buradan BA çizgisinin B'A'ya paralel olduğu sonucuna varılır.

∡ABC = β açısının kenarları ∡A'B'C '= β' açısına paralel olduğundan ve her ikisi de dar olduğundan, şu sonuca varılmıştır:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Bu şekilde, merkezi simetrinin açıların ölçüsünü koruduğunu kanıtlıyoruz.

Referanslar

1. Baldor, JA 1973. Düzlem ve Uzay Geometrisi. Orta Amerika Kültürü.
2. Matematiksel yasalar ve formüller. Açı ölçüm sistemleri. Ingemecanica.com adresinden kurtarıldı.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Gutenberg.org'dan kurtarıldı.
4. Vikipedi. Merkezi simetri. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
5. Vikipedi. Konveyör. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
6. Zapata F. İç ve dış açıları eşleştirin. Kurtarıldı: lifeder.com