İKINCI DERECEDEN DIZILER: ÖRNEKLER, KURAL VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

İkinci dereceden ardıllar , matematiksel terimlerle, belirli bir kural aritmetiğini izleyen sayı dizilerinden oluşur. Bir dizinin herhangi bir terimini belirlemek için bu kuralı bilmek ilginçtir.

Bunu yapmanın bir yolu, iki ardışık terim arasındaki farkı belirlemek ve elde edilen değerin her zaman tekrarlanıp tekrarlanmadığını görmektir. Durum böyle olunca düzenli bir sekans olduğu söyleniyor.

Sayı dizileri, sayı dizilerini düzenlemenin bir yoludur. Kaynak: Pixabay.com

Ancak kendini tekrar etmezse, o zaman farklılıklar arasındaki farkı incelemeyi deneyebilir ve bu değerin sabit olup olmadığını görebilirsiniz. Eğer öyleyse, ikinci dereceden bir dizidir .

Düzenli dizilere ve ikinci dereceden dizilere örnekler

Aşağıdaki örnekler, şimdiye kadar açıklanmış olanları netleştirmeye yardımcı olur:

Düzenli ardıllık örneği

S dizisi = {4, 7, 10, 13, 16, ……} olsun

S ile gösterilen bu dizi, bu tamsayı durumunda sonsuz bir sayı kümesidir.

Düzenli bir dizi olduğu görülebilir, çünkü her terim önceki terime veya öğeye 3 eklenerek elde edilir:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Başka bir deyişle: bu sıra düzenlidir çünkü bir sonraki terim ile bir önceki arasındaki fark sabit bir değer verir. Verilen örnekte bu değer 3'tür.

Önceki terime sabit bir miktar eklenerek elde edilen düzenli dizilere aritmetik ilerlemeler de denir. Ve ardışık terimler arasındaki fark -sabit- oran olarak adlandırılır ve R olarak gösterilir.

Düzensiz ve ikinci dereceden dizi örneği

Şimdi aşağıdaki sıraya bakın:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Ardışık farklılıklar hesaplandığında, aşağıdaki değerler elde edilir:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Farklılıkları sabit değildir, bu yüzden normal bir sıra OLMADIĞI söylenebilir.

Bununla birlikte, farklılıklar kümesini ele alırsak, S _diff olarak ifade edilecek başka bir _{dizimiz var} :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Bu yeni dizi aslında düzenli bir dizidir, çünkü her terim bir öncekine sabit R = 2 değeri eklenerek elde edilir. Bu nedenle S'nin ikinci dereceden bir dizi olduğunu onaylayabiliriz .

İkinci dereceden bir dizi oluşturmak için genel kural

İkinci dereceden bir dizi oluşturmak için genel bir formül vardır:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Bu formülde, T ise _N sekans pozisyonu n'de bir terimdir. A, B ve C sabit değerlerdir, n ise birer birer değişir, yani 1, 2, 3, 4, …

Önceki örneğin S dizisinde A = 1, B = 1 ve C = 0. Buradan, tüm terimleri üreten formül şu şekildedir: T _n = n ² + n

Demek ki:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

İkinci dereceden bir dizinin ardışık iki terimi arasındaki fark

T _{n + 1} - T _n = -

İfadeyi dikkate değer ürün kalıntıları ile geliştirmek:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Basitleştirerek şunları elde edersiniz:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

S _Dif farklarının şu şekilde yazılabilecek sırasını veren formül budur :

Fark _n = A ∙ (2n + 1) + B

Açıkça bir sonraki terim 2 ise ∙ Bazen bir önceki terim. Yani, farklar dizisinin oranı S _diff : R = 2 ∙ A.

İkinci dereceden dizilerin çözülmüş sorunları

1. Egzersiz

S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} dizisi olsun. Şunları belirleyin:

i) Düzenli mi değil mi

ii) İkinci dereceden mi değil mi

iii) İkinci dereceden, farklılıklar dizisi ve oranları

Yanıtlar

i) Aşağıdaki ve önceki terimler arasındaki farkı hesaplayalım:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Ardışık terimler arasındaki fark sabit olmadığı için S dizisinin düzenli olmadığını doğrulayabiliriz.

ii) Farklılıklar dizisi düzenlidir, çünkü terimleri arasındaki fark sabit değer 2'dir. Bu nedenle, orijinal S dizisi ikinci dereceden.

iii) S'nin ikinci dereceden olduğunu zaten belirledik, farklılıkların sırası:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} ve oranı R = 2'dir.

Egzersiz 2

Önceki örnekten S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} sekansının ikinci dereceden olduğu doğrulanmış olsun. Belirleyin:

i) T _n genel terimini belirleyen formül _.

ii) Üçüncü ve beşinci terimleri kontrol edin.

iii) Onuncu terimin değeri.

Yanıtlar

i) T genel formülü _n A ∙ n ² + b ∙ N + C Daha sonra A, B ve C'nin değerlerini bilmek kalır.

Farklılık dizisinin oranı 2'dir. Ayrıca, herhangi bir ikinci dereceden dizi için R oranı, önceki bölümlerde gösterildiği gibi 2 ∙ A'dır.

R = 2 ∙ A = 2, bu da bizi A = 1 olduğu sonucuna götürür.

Farklar dizisinin ilk terimi S _Dif 2'dir ve n = 1 ve A = 1 ile A ∙ (2n + 1) + B'yi sağlamalıdır, yani:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

B'yi çözerek şunu elde ederiz: B = -1

O zaman S (n = 1) 'in ilk terimi 1 değerindedir, yani: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Zaten A = 1 ve B = -1 olduğunu bildiğimiz gibi, ikame edersek:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

C'yi çözdüğümüzde değerini elde ederiz: C = 1.

Özetle:

A = 1, B = -1 ve C = 1

O zaman n'inci terim T _n = n ² - n + 1 olacaktır

ii) Üçüncü terim T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 ve doğrulanır. Beşinci T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 de doğrulanmıştır.

iii) Onuncu terim T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91 olacaktır.

Egzersiz 3

Alıştırma 3 için alanların sırası. Kaynak: kendi detaylandırması.

Şekil, beş rakamdan oluşan bir diziyi göstermektedir. Kafes, uzunluk birimini temsil eder.

i) Şekillerin alanı için sırayı belirleyin.

ii) İkinci dereceden bir dizi olduğunu gösterin.

iii) Şekil # 10'un alanını bulun (gösterilmemiştir).

Yanıtlar

i) Şekiller dizisinin alanına karşılık gelen S dizisi:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) S terimlerinin ardışık farklılıklarına karşılık gelen sıra:

S _fark = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Ardışık terimler arasındaki fark sabit olmadığından, S düzenli bir sıra değildir. Bunun ikinci dereceden olup olmadığını bilmeye devam ediyor, bunun için farklılıkların sırasını tekrar yapıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

{2, 2, 2, …….}

Dizinin tüm terimleri tekrar ettiğinden, S'nin ikinci dereceden bir dizi olduğu doğrulanmıştır.

iii) S _dif dizisi düzenli ve oranı R 2'dir. Yukarıda gösterilen denklemi kullanarak R = 2 ∙ A, kalır:

2 = 2 ∙ A, bu da A = 1 olduğu anlamına gelir.

Farklar S dizisinin ikinci dönem _Dif 4 ve S n'inci terimi _Dif olduğu

Bir ∙ (2n + 1) + B.

İkinci terim n = 2'dir. Ek olarak, A = 1 olduğu zaten belirlendi, bu nedenle önceki denklemi kullanarak ve yerine koyduğumuzda:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

B'yi çözerek şunu elde ederiz: B = -1.

S'nin ikinci teriminin 2 değerinde olduğu ve genel terimin formülünü n = 2 ile yerine getirmesi gerektiği bilinmektedir:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Demek ki

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

C = 0 olduğu, yani S dizisinin genel terimini veren formülün şu olduğu sonucuna varılmıştır:

T _{, n} = 1 ∙ n ² - 1 ∙ N + 0 = n ² - N

Şimdi beşinci terim doğrulandı:

T ₅ = 5 ^2-5 = 20

iii) Burada çizilmemiş olan Şekil # 10, S dizisinin onuncu terimine karşılık gelen alana sahip olacaktır:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Referanslar

1. https://www.geogebra.org