Ardışık iki sayının karelerinin toplamının ne olduğunu bulmak için, sonucu elde etmek için ilgili sayıları ikame etmenin yeterli olduğu bir formül bulunabilir.
Bu formül genel bir şekilde bulunabilir, yani herhangi bir ardışık sayı çifti için kullanılabilir.
"Ardışık sayılar" diyerek, dolaylı olarak her iki sayının da tam sayı olduğunu söylüyorsunuz. Ve "kareler" ile her sayının karesini almaktan bahsediyor.
Örneğin, 1 ve 2 sayıları dikkate alınırsa, kareleri 1² = 1 ve 2² = 4, dolayısıyla karelerin toplamı 1 + 4 = 5 olur.
Öte yandan, 5 ve 6 sayıları alınırsa, kareleri 5² = 25 ve 6² = 36 olup, karelerin toplamı 25 + 36 = 61'dir.
Ardışık iki sayının karelerinin toplamı nedir?
Şimdi amaç, önceki örneklerde yapılanları genelleştirmek. Bunu yapmak için, bir tamsayı ve onun ardışık tamsayısını yazmanın genel bir yolunu bulmak gerekir.
Ardışık iki tam sayıya, örneğin 1 ve 2'ye bakarsanız, 2'nin 1 + 1 olarak yazılabileceğini görebilirsiniz. Ayrıca 23 ve 24 sayıları gözlenirse 24'ün 23 + 1 olarak yazılabileceği sonucuna varılır.
Negatif tamsayılar için bu davranış da doğrulanabilir. Nitekim -35 ve -36 dikkate alınırsa -35 = -36 + 1 olduğu görülmektedir.
Bu nedenle, herhangi bir "n" tamsayısı seçilirse, "n" ye ardışık tam sayı "n + 1" dir. Böylece, iki ardışık tam sayı arasında bir ilişki zaten kurulmuştur.
Karelerin toplamı nedir?
Ardışık iki tam sayı "n" ve "n + 1" verildiğinde, kareleri "n²" ve "(n + 1) ²" olur. Dikkat çeken ürünlerin özelliklerini kullanarak bu son terim şu şekilde yazılabilir:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
Son olarak, ardışık iki sayının karelerinin toplamı şu ifade ile verilir:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Bir önceki formül detaylandırılırsa, karelerin toplamının ne olduğunu bilmek için sadece en küçük "n" tamsayısını bilmenin yeterli olduğu, yani iki tamsayının en küçüğünü kullanmanın yeterli olduğu görülebilir.
Elde edilen formülün bir başka perspektifi şudur: seçilen sayılar çarpılır, ardından elde edilen sonuç 2 ile çarpılır ve son olarak 1 eklenir.
Öte yandan, sağdaki ilk ek bir çift sayıdır ve 1 eklemek tek ile sonuçlanacaktır. Bu, ardışık iki sayının karelerini toplamanın sonucunun her zaman tek sayı olacağını söylüyor.
Ayrıca iki sayının karesi eklendiği için bu sonucun her zaman pozitif olacağı da belirtilebilir.
Örnekler
1.- 1 ve 2 tam sayılarını düşünün. En küçük tam sayı 1'dir. Önceki formülü kullanarak, karelerin toplamının: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 olduğu sonucuna varılır. = 4 + 1 = 5. Başlangıçta yapılan sayımlara uyan.
2.- 5 ve 6 tam sayıları alınırsa, karelerin toplamı 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61 olacaktır ki bu da başlangıçta elde edilen sonuçla örtüşmektedir.
3. - -10 ve -9 tam sayıları seçilirse, karelerinin toplamı: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181'dir.
4.- Bu fırsattaki tam sayılar -1 ve 0 olsun, sonra karelerinin toplamı 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1 ile verilir.
Referanslar
- Bouzas, PG (2004). Lise Cebiri: Matematikte İşbirlikli Çalışma. Narcea Sürümleri.
- Cabello, RN (2007). Yetkiler ve Kökler. Kitaplarınızı yayınlayın.
- Cabrera, VM (1997). Hesaplama 4000. Editoryal Progreso.
- Guevara, MH (nd). Tam Sayılar Seti. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
- Smith, SA (2000). Cebir. Pearson Education.
- Thomson. (2006). GED'i geçmek: Matematik. InterLingua Yayıncılık.