Toplam teleskopik bir kol işlemleri sayısal dizisidir. Argümanı aşağıdaki modellerden herhangi birine uyan ifadelerin başlangıç değerinden "n" ye kadar olan öğelerin toplamıyla ilgilenir:
(F x - F x + 1 ); (F x + 1 - F x )
Ayrıca:
Kaynak: Pixabay.com
Geliştirildiklerinde zıt terimlerin iptaline maruz kalan unsurların bir toplamını temsil ederler. Teleskopik toplamalar için aşağıdaki eşitliği tanımlamayı mümkün kılmak:
Adı, katlanıp açılabilen, özellikle boyutunu değiştiren klasik bir teleskopun görünümüyle olan ilişkisinden gelir. Aynı şekilde, doğası gereği sonsuz olan teleskopik özetler, basitleştirilmiş anlatımda özetlenebilir:
F 1 - F n + 1
gösteri
Terimlerin toplamını geliştirirken, faktörlerin ortadan kaldırılması oldukça açıktır. Durumların her biri için, bir sonraki yinelemede karşıt öğeler görünecektir.
İlk durum, (F x - F x + 1 ) örnek olarak alınacaktır , çünkü süreç (F x + 1 –F x ) için homolog bir şekilde çalışmaktadır .
İlk 3 değer geliştirilirken {1, 2, 3} sadeleştirme eğilimi gözlemlenir
X 1 (F 1 - F 1 + 1 ) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1 ) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1 ) = F 3 - F 4
Açıklanan unsurların toplamını ifade ederken:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
F 2 ve F 3 terimlerinin karşıtları ile birlikte anlatıldığı ve bu durumun basitleştirilmesini kaçınılmaz kıldığı görülmektedir. Aynı şekilde F 1 ve F 4 terimlerinin de korunduğu görülmektedir.
Toplamı, x = 3, x = 1 ila yapıldı, bu demektir ki elemanının F 4 genel bir terim karşılık gelir F , n + 1.
Böylece eşitliği gösterir:
Nasıl çözülür?
Teleskopik özetlerin amacı çalışmayı kolaylaştırmaktır, böylece sonsuz sayıda terim geliştirmek veya çok uzun olan bazı ek zincirlerini basitleştirmek gerekmez.
Çözünürlüğü için yalnızca F 1 ve F n + 1 terimlerini değerlendirmek gerekli olacaktır . Bu basit ikameler, toplamanın nihai sonucunu oluşturur.
Terimlerin toplamı ifade edilmeyecek ve sadece sonucun gösterilmesi için gerekli hale gelecektir, normal hesaplama süreci için gerekli olmayacaktır.
Önemli olan sayı serilerinin yakınsamasına dikkat etmektir. Bazen toplama argümanı iç içe geçmeli olarak ifade edilmeyecektir. Bu durumlarda, alternatif faktoring yöntemlerinin uygulanması çok yaygındır.
Teleskopik toplamalarda karakteristik çarpanlara ayırma yöntemi basit kesirlerinkidir. Bu, orijinal bir fraksiyon, teleskopik modelin (F x - F x + 1 ) veya (F x + 1 - F x ) gözlemlenebildiği birkaç fraksiyonun toplamına ayrıştırıldığında meydana gelir .
Basit kesirlere ayrıştırma
Sayısal serilerin yakınsamasını doğrulamak için, rasyonel ifadeleri basit kesir yöntemiyle dönüştürmek çok yaygındır. Amaç, arsayı teleskopik bir toplama şeklinde modellemektir.
Örneğin, aşağıdaki eşitlik, basit kesirlere ayrıştırmayı temsil eder:
Sayı serisini geliştirirken ve karşılık gelen özellikleri uygularken, ifade aşağıdaki biçimi alır:
Teleskopik şeklin takdir edildiği yer (F x - F x + 1 ).
Prosedür oldukça sezgiseldir ve eşitliği bozmadan paydada bulunan ürünleri ayırmamıza izin veren pay değerlerini bulmayı içerir. Bu değerlerin belirlenmesinde ortaya çıkan denklemler, eşitliğin her iki tarafı arasında yapılan karşılaştırmalara göre yükseltilir.
Bu prosedür, egzersiz 2'nin geliştirilmesinde adım adım gözlemlenir.
Tarih
Teleskopik özetlerin sunulduğu tarihsel anı tanımlayabilmek oldukça belirsizdir. Ancak Leibniz ve Huygens tarafından yapılan sayısal seriler çalışmalarında uygulaması 17. yüzyılda görülmeye başlanır.
Üçgen sayıların toplamını araştıran her iki matematikçi de, birbirini izleyen belirli bir dizi elemanın yakınsamasındaki eğilimleri fark etmeye başlar. Ancak daha da ilginç olanı, bu ifadelerin birbirini takip etmesi gerekmeyen unsurlarda modellenmesinin başlangıcıdır.
Aslında, daha önce basit kesirlere atıfta bulunmak için kullanılan ifade:
Huygens tarafından tanıtıldı ve hemen Leibniz'in dikkatini çekti. Zamanla değer 2'ye yakınsamayı kim gözlemleyebilirdi. Bilmeden teleskopik toplama formatını uyguladı.
Egzersizler
1. Egzersiz
Aşağıdaki toplamın hangi terime yakınsadığını tanımlayın:
Toplamı manuel olarak geliştirirken, aşağıdaki model gözlemlenir:
(2 3 - 2 4 ) + (2 4 - 2 5 ) + (2 5 - 2 6 ). . . . (2 10 - 2 11 )
2 4'ten 2 10'a kadar olan faktörlerin olumlu ve olumsuz kısımları olduğu yerlerde, bunların iptali açık hale gelir. O halde basitleştirilmeyecek tek faktör ilk “2 3 ” ve son “2 11 ” olacaktır.
Bu şekilde, teleskopik toplama kriterini uygularken aşağıdakiler elde edilir:
Egzersiz 2
Argümanı teleskopik tipte bir toplamaya dönüştürün ve serinin yakınsamasını tanımlayın:
İfadede belirtildiği gibi, yapılacak ilk şey, argümanı yeniden ifade etmek ve onu teleskopik bir şekilde ifade etmek için basit kesirlere ayrıştırmaktır.
Paydaları sırasıyla "n" ve "n + 1" olan 2 kesir bulmalısınız, burada aşağıda kullanılan yöntem eşitliği sağlayan pay değerlerini elde etmelidir.
A ve B'nin değerlerini tanımlamaya devam ediyoruz. Önce kesirleri toplayın.
Ardından paydalar basitleştirilir ve doğrusal bir denklem oluşturulur.
Bir sonraki adımda, soldaki “3” ile karşılaştırılabilir bir model elde edilinceye kadar sağdaki ifade çalıştırılır.
Kullanılacak denklemleri tanımlamak için, eşitliğin her iki tarafının sonuçları karşılaştırılmalıdır. Diğer bir deyişle, sol tarafta n değişkeninin hiçbir değeri gözlenmez, bu şekilde A + B'nin sıfıra eşit olması gerekecektir.
A + B = 0; A = -B
Öte yandan, sabit değer A'nın sabit değer 3'e eşit olması gerekecektir.
A = 3
Böylece.
A = 3 ve B = -3
Basit kesirler için pay değerleri zaten tanımlandıktan sonra, toplama yeniden ifade edilir.
Genel teleskopik toplama biçiminin halihazırda elde edildiği yer. Teleskopik seri geliştirilmiştir.
Çok büyük bir sayıya bölündüğünde, sonuç, serinin 3 değerine yakınsamasını gözlemleyerek, sıfıra yaklaşıp yaklaşacaktır.
Sorunu tanımlayan sonsuz sayıda yineleme nedeniyle bu tür seriler başka bir şekilde çözülemedi. Bununla birlikte, bu yöntem, diğerleri ile birlikte, amacı yakınsama değerlerini belirlemek veya söz konusu serinin sapmasını tanımlamak olan sayısal serilerin çalışma dalını çerçeveler.
Referanslar
- Sonsuz küçük matematik dersleri. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- İntegral Hesap: Fonksiyon Dizileri ve Serileri. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 Ekim. 2014.
- Hesap ve Reel Analiz Kursu. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 Haziran. 2006.
- Sonsuz seriler. Tomlinson Kalesi. Clarendon Press, 1930.
- Sonsuz Süreçler Teorisinin Öğeleri. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.