KÜME TEORISI: ÖZELLIKLER, ÖĞELER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Küme teorisi , matematiksel mantık-setleri denilen varlıklar arasındaki ilişkilerin çalışma sorumludur bir dalıdır. Setler, aynı nitelikteki nesnelerin koleksiyonları olarak karakterize edilir. Bahsedilen nesneler setin öğeleridir ve şunlar olabilir: sayılar, harfler, geometrik şekiller, nesneleri temsil eden kelimeler, nesnelerin kendileri ve diğerleri.

19. yüzyılın sonlarına doğru küme teorisini öneren Georg Cantor'du. 20. yüzyılda diğer önemli matematikçiler resmileştirilirken: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel ve diğerleri.

Şekil 1. A, B kümeleri ve bunların kesişme noktaları A⋂ B'nin Venn diyagramı (Kendi detaylandırması).

Venn diyagramları, bir seti temsil etmenin grafik yoludur ve setin elemanları olan kapalı bir düzlemden oluşur.

Örneğin, Şekil 1'de A ve B'nin ortak unsurları olan iki A ve B kümesi gösterilmiştir. Bunlar, A ve B'nin kesişme kümesi olarak adlandırılan ve formda yazılan yeni bir küme oluşturur. aşağıdaki gibi sembolik:

A ∩ B

karakteristikleri

Küme, geometride nokta, çizgi veya düzlem kavramı olduğu için ilkel bir kavramdır. Kavramı ifade etmenin örnekler göstermekten daha iyi bir yolu yoktur:

İspanya bayrağının renklerinden oluşan E seti. Seti bu ifade etme şekline kavrama denir. Uzantı tarafından yazılan aynı E kümesi:

E = {kırmızı, sarı}

Bu durumda kırmızı ve sarı, E kümesinin öğeleridir. Öğelerin parantez içinde listelendiğine ve tekrar edilmediğine dikkat edilmelidir. İspanyol bayrağı durumunda, ikisi tekrarlanan üç renkli şerit (kırmızı, sarı, kırmızı) vardır, ancak bütün ifade edildiğinde unsurlar tekrarlanmaz.

İlk üç ünlü harften oluşan V kümesini varsayalım:

V = {a, e, i}

P (V) ile gösterilen V'nin güç kümesi, V'nin elemanları ile oluşturulabilen tüm kümelerin kümesidir:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Set türleri

Sınırlı set

Elemanlarının sayılabilir olduğu bir settir. Sonlu kümelerin örnekleri, İspanyol alfabesinin harfleri, İspanyolca'nın ünlüleri, Güneş sisteminin gezegenleri ve diğerleri. Sonlu bir kümedeki elemanların sayısı onun kardinalitesi olarak adlandırılır.

Sonsuz küme

Sonsuz bir küme, elemanlarının sayısı ne kadar büyük olursa olsun, her zaman daha fazla eleman bulmak mümkün olduğu için sayılamaz olduğu anlaşılır.

Sonsuz bir küme örneği, kapsamlı biçimde aşağıdaki gibi ifade edilen doğal sayılar kümesidir:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Açıkça sonsuz bir kümedir, çünkü ne kadar büyük olursa olsun, bir sonraki en büyük sonsuz bir süreçte her zaman bulunabilir. Açıkça sonsuz bir kümenin temel değeri ∞'dir.

Boş küme

Herhangi bir eleman içermeyen settir. Boş set V, Ø ile veya içinde eleman bulunmayan bir çift anahtar ile gösterilir:

V = {} = Ø.

Boş küme benzersizdir, bu nedenle "boş küme" demek yanlış olmalıdır, doğru biçim "boş küme" demektir.

Boş kümenin özellikleri arasında, herhangi bir kümenin bir alt kümesi olduğuna sahibiz:

Ø ⊂ A

Ayrıca, bir küme boş kümenin bir alt kümesiyse, bu durumda zorunlu olarak söz konusu küme vakum olacaktır:

Bir ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Üniter set

Birim kümesi, tek bir öğe içeren herhangi bir kümedir. Örneğin, Dünya'nın doğal uyduları kümesi, tek unsuru Ay olan üniter bir kümedir. 2'den küçük ve sıfırdan büyük tamsayıların B kümesi yalnızca 1 öğesine sahiptir, bu nedenle bir birim kümesidir.

İkili küme

Bir küme, yalnızca iki elemanı varsa ikilidir. Örneğin, X kümesi, x ^ 2 = 2'nin gerçek sayı çözümü olacak şekilde. Uzantıya göre bu küme şu şekilde yazılır:

X = {-√2, + √2}

Evrensel set

Evrensel küme, aynı tür veya yapıdaki diğer kümeleri içeren bir kümedir. Örneğin, evrensel doğal sayılar kümesi, gerçek sayılar kümesidir. Ancak gerçek sayılar aynı zamanda tam sayıların ve rasyonel sayıların evrensel bir kümesidir.

Çekirdek ürün

- Setler arası ilişkiler

Meclislerde, bunlar ve elemanları arasında çeşitli tipte ilişkiler kurulabilir. İki set A ve B, aralarında tam olarak aynı unsurlara sahipse, aşağıdaki gibi ifade edilen bir eşitlik ilişkisi kurulur:

A = B

Bir A kümesinin tüm öğeleri bir B kümesine aitse, ancak B'nin tüm öğeleri A'ya ait değilse, bu kümeler arasında şu şekilde belirtilen bir dahil etme ilişkisi vardır:

A ⊂ B, ancak B ⊄ A

Yukarıdaki ifade okur: A, B'nin bir alt kümesidir, ancak B, A'nın bir alt kümesi değildir.

Bazı elemanların veya elemanların bir kümeye ait olduğunu belirtmek için, üyelik sembolü ∈ kullanılır, örneğin, x elemanının veya elemanlarının A kümesine ait olduğunu söylemek için sembolik olarak şöyle yazılır:

x ∈ A

Bir eleman A kümesine ait değilse, bu ilişki şu şekilde yazılır:

ve ∉ A

Üyelik ilişkisi, bir setin unsurları ile set arasında meydana gelir, güç setinin tek istisnası, güç seti, söz konusu setin unsurları ile oluşturulabilen tüm olası setlerin koleksiyonu veya setidir.

V = {a, e, i} varsayalım, güç seti P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, bu durumda V kümesi P (V) kümesinin bir elemanı olur ve yazılabilir:

V ∈ P (V)

- Dahil etme özellikleri

Dahil etmenin ilk özelliği, her kümenin kendi içinde bulunduğunu veya başka bir deyişle, kendisinin bir alt kümesi olduğunu belirler:

A ⊂ A

Dahil etmenin diğer özelliği geçişliliktir: eğer A, B'nin bir alt kümesiyse ve B de C'nin bir alt kümesiyse, o zaman A, C'nin bir alt kümesidir. Sembolik biçimde, geçişlilik ilişkisi şu şekilde yazılır:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Dahil etmenin geçişkenliğine karşılık gelen Venn şeması aşağıdadır:

Şekil 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Setler arası işlemler

Kavşak

Kesişme, iki küme arasında, ilk ikisi ile aynı evrensel kümeye ait yeni bir kümeye yol açan bir işlemdir. O anlamda kapalı bir operasyondur.

Sembolik olarak kavşak işlemi şu şekilde formüle edilir:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Bir örnek şudur: "elemanlar" kelimesindeki harflerin A kümesi ve "tekrarlanan" kelimesinin harflerinin B kümesi, A ve B arasındaki kesişme şu şekilde yazılır:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. A'nın evrensel U seti, B'nin ve ayrıca A⋂B'nin İspanyol alfabesinin harfleri kümesidir.

Birlik

İki kümenin birleşimi, iki kümede ortak olan öğeler ve iki kümenin ortak olmayan öğelerinin oluşturduğu kümedir. Kümeler arasındaki birleşim işlemi sembolik olarak şu şekilde ifade edilir:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

fark

A kümesi eksi B kümesinin fark işlemi AB ile gösterilir. AB, A'da bulunan ve B'ye ait olmayan tüm elemanların oluşturduğu yeni bir kümedir. Sembolik olarak şöyle yazılır:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Şekil 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Simetrik fark

Simetrik fark, ortaya çıkan kümenin iki küme için ortak olmayan öğelerden oluştuğu iki küme arasındaki bir işlemdir. Simetrik fark sembolik olarak şu şekilde temsil edilir:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Örnekler

örnek 1

Venn diyagramı, kümeleri temsil etmenin grafiksel bir yoludur. Örneğin, kelime kümesindeki harflerin C kümesi şu şekilde temsil edilir:

Örnek 2

Aşağıda, "küme" sözcüğündeki ünlüler kümesinin, "küme" sözcüğündeki harf kümesinin bir alt kümesi olduğu Venn diyagramlarıyla gösterilmiştir.

Örnek 3

İspanyol alfabesinin harflerinin Ñ kümesi sonlu bir kümedir, bu uzantı tarafından küme şu şekilde yazılır:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} ve önem derecesi 27'dir.

Örnek 4

Set V İspanyolca ünlülerin küme N bir alt kümesidir:

V ⊂ Ñ bu nedenle sonlu bir kümedir.

Kapsamlı biçimde sonlu V kümesi şu şekilde yazılır: V = {a, e, i, o, u} ve kardinalitesi 5'tir.

Örnek 5

A = {2, 4, 6, 8} ve B = {1, 2, 4, 7, 9} kümeleri verildiğinde, AB ve BA'yı belirleyin.

A - B, A'nın B'de olmayan öğeleridir:

A - B = {6, 8}

B - A, B'nin A'da olmayan öğeleridir:

B - A = {1, 7, 9}

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Sembolik biçimde ve ayrıca 10'dan küçük çift doğal sayıların P kümesini genişleterek yazın.

Çözüm: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Egzersiz 2

210'un çarpanları olan doğal sayıların oluşturduğu A kümesini ve 9'dan küçük asal doğal sayıların oluşturduğu B kümesini varsayın.

Çözüm: A kümesinin elemanlarını belirlemek için, 210 doğal sayısının çarpanlarını bularak başlamalıyız:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Sonra A kümesi yazılır:

A = {2, 3, 5, 7}

Şimdi, 9'dan küçük asal olan B kümesinin asal olmadığını düşünüyoruz çünkü asal tanımına uymuyor: "bir sayı, ancak ve ancak tam olarak iki bölen, 1 ve sayının kendisi varsa asaldır." 2 eşittir ve aynı zamanda asaldır çünkü bir asal tanımını karşılar, 9'dan küçük diğer asallar 3, 5 ve 7'dir. Yani B kümesi:

B = {2, 3, 5, 7}

Bu nedenle iki küme eşittir: A = B.

Egzersiz 3

X elemanlarının x'ten farklı olduğu kümeyi belirleyin.

Çözüm: C = {x / x ≠ x}

Her eleman, sayı veya nesne kendisine eşit olduğundan, C kümesi boş kümeden farklı olamaz:

C = Ø

Egzersiz 4

N'ler doğal sayılar kümesi ve Z tam sayılar kümesi olsun. N ⋂ Z ve N ∪ Z'yi belirleyin.

Çözüm:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z çünkü N ⊂ Z.

Referanslar

1. Garo, M. (2014). Matematik: ikinci dereceden denklemler: İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF ve Paul, RS (2003). Yönetim ve ekonomi için matematik. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 EYL. Eşik.
4. Preciado, CT (2005). Matematik Kursu 3. Editör Progreso.
5. Matematik 10 (2018). "Sonlu Kümeler Örnekleri". Kurtarıldı: matematicas10.net
6. Vikipedi. Küme teorisi. Kurtarıldı: es.wikipedia.com