Bayes Teoremi bize izin veren bir işlemdir için tek A. olasılık dağılımı beri olay A ve B'nin olasılık dağılımı açısından, rastgele bir olay Belirli B'nin şartlı olasılık ifade
Bu teorem çok kullanışlıdır, çünkü bu teorem sayesinde, B'nin meydana geldiğini bilerek bir A olayının meydana gelmesi olasılığını, bunun tersi olma olasılığı ile, yani B'nin A verildiğinde meydana gelmesi olasılığını ilişkilendirebiliriz.
Bayes teoremi, aynı zamanda bir matematikçi olan 18. yüzyıl İngiliz teologu Rahip Thomas Bayes'in gümüş bir önermesiydi. Teolojide birçok eserin yazarıydı, ancak şu anda, yukarıda bahsedilen Bayes Teoreminin ana sonuç olarak öne çıktığı birkaç matematiksel incelemeyle tanınıyor.
Bayes, bu teoremi 1763 yılında yayınlanan ve üzerinde büyük sayıların geliştirildiği "Şanslar Doktrininde Bir Sorunun Çözülmesine Yönelik Bir Deneme" başlıklı bir makalede ele aldı. çeşitli bilgi alanlarındaki uygulamalarla çalışır.
açıklama
İlk olarak, bu teoremi daha iyi anlamak için, olasılık teorisinin bazı temel kavramları, özellikle koşullu olasılık için çarpım teoremi gereklidir.
S örnek uzayının E ve A keyfi olayları için.
Ve bölümlerin tanımı, bize S örnek uzayının A 1 , A 2 , …, A n olaylarına sahipsek, A i karşılıklı olarak dışlayıcıysa ve birleşmeleri S ise, bunların S'nin bir bölümünü oluşturacağını söyleyen bölümler.
Bu göz önüne alındığında, B başka bir olay olsun. Böylece B'yi şöyle görebiliriz
A i'nin B ile kesiştiği yer, birbirini dışlayan olaylardır.
Ve sonuç olarak,
Ardından, çarpma teoremini uygulamak
Öte yandan, B verilen Ai'nin koşullu olasılığı şu şekilde tanımlanır:
Uygun şekilde ikame etmek, herhangi bir i için buna sahibiz.
Bayes Teoreminin Uygulamaları
Bu sonuç sayesinde araştırma grupları ve çeşitli kurumlar bilgiye dayalı sistemleri geliştirmeyi başardılar.
Örneğin, hastalıklar çalışmasında, Bayes teoremi, belirli bir özelliğe sahip bir grup insanda bir hastalığın bulunma olasılığını ayırt etmeye yardımcı olabilir, veri olarak hastalığın küresel oranlarını ve söz konusu özelliklerin baskınlığını hem sağlıklı hem de hasta insanlar.
Öte yandan, yüksek teknolojiler dünyasında, bu sonuçla “Bilgi Tabanlı” yazılım geliştiren büyük firmaları etkilemiştir.
Günlük bir örnek olarak Microsoft Office asistanımız var. Bayes teoremi, yazılımın kullanıcının sunduğu sorunları değerlendirmesine ve ona hangi tavsiyelerde bulunacağını belirlemesine ve böylece kullanıcının alışkanlıklarına göre daha iyi bir hizmet sunmasına yardımcı olur.
Özellikle, bu formül yakın zamanlara kadar göz ardı edildi, çünkü bu esas olarak, bu sonuç 200 yıl önce geliştirildiğinde, onlar için çok az pratik kullanım vardı. Ancak günümüzde, büyük teknolojik gelişmeler sayesinde bilim adamları bu sonucu pratiğe dökmenin yollarını buldular.
Çözülmüş Egzersizler
1. Egzersiz
Bir cep telefonu şirketinin iki makinesi A ve B vardır. Üretilen cep telefonlarının% 54'ü makine A, geri kalanı makine B tarafından yapılmıştır. Üretilen tüm cep telefonları iyi durumda değildir.
A tarafından üretilen hatalı cep telefonlarının oranı 0,2 ve B tarafından 0,5'tir. O fabrikadan bir cep telefonunun arızalı olma olasılığı nedir? Bir cep telefonunun arızalı olduğunu bilerek, A makinesinden gelme olasılığı nedir?
Çözüm
Burada iki kısımda yapılan bir deneyiniz var; ilk bölümde olaylar meydana gelir:
A: makine A tarafından yapılan hücre.
B: makine B tarafından yapılan hücre.
A makinesi cep telefonlarının% 54'ünü ürettiğinden ve geri kalanı B makinesi tarafından üretildiğinden, B makinesinin cep telefonlarının% 46'sını ürettiği anlaşılmaktadır. Bu olayların olasılıkları şu şekilde verilmiştir:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Deneyin ikinci kısmındaki olaylar:
D: arızalı cep telefonu.
E: arızalı olmayan cep telefonu.
Açıklamada belirtildiği gibi, bu olayların olasılıkları ilk bölümde elde edilen sonuca bağlıdır:
P (DA) = 0.2.
P (DB) = 0.5.
Bu değerleri kullanarak, bu olayların tamamlayıcılarının olasılıkları da belirlenebilir, yani:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0.2
= 0.8
ve
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0.5
= 0.5.
Şimdi olay D şu şekilde yazılabilir:
Koşullu olasılık sonuçları için Çarpma Teoremini kullanma:
Bunun üzerine ilk soru cevaplanır.
Şimdi sadece Bayes Teoreminin uygulandığı P (AD) 'yi hesaplamamız gerekiyor:
Bayes teoremi sayesinde, cep telefonunun arızalı olduğu bilerek, A makinesi tarafından bir cep telefonu yapılmış olma olasılığının 0,319 olduğu söylenebilir.
Egzersiz 2
Üç kutu siyah ve beyaz toplar içerir. Her birinin bileşimi şu şekildedir: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Kutulardan biri rastgele seçilir ve rastgele bir top çizilir ve bu da beyaz olur. Seçilmiş olma ihtimali en yüksek olan kutu nedir?
Çözüm
U1, U2 ve U3'ü kullanarak, seçilen kutuyu da temsil edeceğiz.
Bu olaylar S'nin bir bölümünü oluşturur ve kutu seçimi rastgele olduğundan P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 olduğu doğrulanır.
Eğer B = {çekilen top beyazsa}, P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4 olacaktır.
Elde etmek istediğimiz şey, topun kutudan çıkarılma olasılığı, Ui söz konusu topun beyaz, yani P (Ui-B) olduğunu bilerek ve üç değerden hangisinin hangisinin en yüksek olduğunu bilmek için kutu büyük olasılıkla isteka topunun çıkarılması olmuştur.
Bayes teoremini kutulardan ilkine uygulamak:
Ve diğer ikisi için:
P (U2-B) = 2/6 ve P (U3-B) = 1/6.
Ardından, kutulardan ilki, isteka topunun çıkarılması için seçilme olasılığı en yüksek olandır.
Referanslar
- Kai Lai Chung. Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen. Ayrık Matematik ve Uygulamaları. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Olasılık ve İstatistiksel Uygulamalar. SA ALHAMBRA MEKSİKANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Ayrık Matematiğin Çözülmüş Problemleri. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teori ve Olasılık Problemleri. McGRAW-HILL.