Bolzano teoremi "bir işlev kapalı aralığının her noktada süreklidir ve yerine getirildiği takdirde "a" ve (fonksiyonu altında) "b", zıt işaretlere sahip imajı daha sonra en az bir nokta olacağını belirtiyor açık aralıktaki (a, b) c "," c "de değerlendirilen fonksiyon 0'a eşit olacak şekilde.
Bu teorem, filozof, teolog ve matematikçi Bernard Bolzano tarafından 1850'de açıklandı. Günümüz Çek Cumhuriyeti'nde doğan bu bilim adamı, tarihte sürekli fonksiyonların özelliklerinin resmi bir ispatını yapan ilk matematikçilerden biriydi.
açıklama
Bolzano teoremi, bir gerçek değişkenin belirli gerçek fonksiyonlarının belirli değerlerinin, özellikle sıfırların belirlenmesine yardımcı olan ara değer teoremi olarak da bilinir.
Verilen bir fonksiyonda f (x) devam eder - yani f (a) ve f (b) bir eğri ile bağlıdır, burada f (a) x ekseninin altındadır (negatiftir) ve f (b) ile x ekseninin yukarısında (pozitiftir) veya tam tersi, grafiksel olarak x ekseni üzerinde, "a" ve "b" arasında bir ara değer olan "c" yi ve f (c) değerini temsil edecek bir kesme noktası olacaktır. 0'a eşit olacaktır.
Bolzano teoremini grafiksel olarak analiz ederken, f (a) * f (b) 'nin 0'dan küçük olduğu bir aralıkta tanımlanan her f sürekli fonksiyon için, içinde bu fonksiyonun en az bir "c" kökü olacağı görülebilir. aralığı (a, b).
Bu teorem, o açık aralıktaki nokta sayısını belirlemez, sadece en az 1 nokta olduğunu belirtir.
gösteri
Bolzano teoremini kanıtlamak için, genellik kaybı olmaksızın f (a) <0 ve f (b)> 0 olduğu varsayılır; bu nedenle, "a" ve "b" arasında f (x) = 0 olan birçok değer olabilir, ancak yalnızca birinin gösterilmesi gerekir.
F'yi (a + b) / 2 orta noktasında değerlendirerek başlıyoruz. F ((a + b) / 2) = 0 ise ispat burada biter; aksi takdirde f ((a + b) / 2) pozitif veya negatiftir.
Aralığın yarılarından biri, aşırı uçlarda değerlendirilen fonksiyonun işaretleri farklı olacak şekilde seçilir. Bu yeni aralık olacak.
Şimdi, orta noktasında değerlendirilen f sıfır değilse, önceki işlemin aynısı gerçekleştirilir; yani bu aralığın yarısı burçların durumunu yerine getiren seçilir. Bu yeni aralık olsun.
Bu işleme devam ederseniz, iki diziniz {an} ve {bn} olacak, öyle ki:
{an} artıyor ve {bn} azalıyor:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ bir ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Her aralığın uzunluğunu hesaplarsanız, yapmanız gerekenler:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Bu nedenle, n (bn-an) 'ın sonsuzluğuna yaklaşırken limit 0'a eşittir.
Bunu kullanarak {an} artıyor ve sınırlı ve {bn} azalıyor ve sınırlanıyor, şöyle bir "c" değeri var:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ bir ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
An'ın sınırı "c" ve {bn} sınırı da "c" dir. Bu nedenle, herhangi bir δ> 0 verildiğinde, aralığın (c-δ, c + δ) aralığında yer alacağı şekilde her zaman bir "n" vardır.
Şimdi, f (c) = 0 olduğu gösterilmelidir.
Eğer f (c)> 0 ise, o zaman f sürekli olduğundan, f'nin tüm aralık boyunca pozitif olacağı şekilde bir ε> 0 vardır (c - ε, c + ε). Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, f'nin işareti değiştirdiği ve ayrıca bir çelişki olan (c - ε, c + ε) içinde yer aldığı bir "n" değeri vardır.
F (c) <0 ise, o zaman f sürekli olduğundan, f aralığı boyunca negatif olacak şekilde bir ε> 0 vardır (c - ε, c + ε); ancak f'nin oturum açmayı değiştirdiği bir "n" değeri vardır. Aynı zamanda bir çelişki olan (c - within, c + ε) içinde bulunduğu ortaya çıktı.
Bu nedenle, f (c) = 0 ve kanıtlamak istediğimiz şey bu.
Bu ne için?
Grafik yorumundan, Bolzano teoremi, aralıkları her zaman 2'ye bölen artımlı bir arama yöntemi olan ikiye bölme (yaklaşıklık) yoluyla sürekli bir fonksiyonda kökleri veya sıfırları bulmak için kullanılır.
Daha sonra bir aralık alınır veya işaret değişikliğinin meydana geldiği yerde, istenen değere yaklaşabilmek için aralık küçülüp küçülünceye kadar süreç tekrarlanır; yani, fonksiyonun 0 yaptığı değere.
Özetle Bolzano teoremini uygulamak ve böylelikle kökleri bulmak, bir fonksiyonun sıfırlarını sınırlamak veya bir denkleme çözüm getirmek için aşağıdaki adımlar gerçekleştirilir:
- f aralıkta sürekli bir fonksiyon olup olmadığı doğrulanır.
- Aralık verilmemişse, fonksiyonun sürekli olduğu yerde bulunmalıdır.
- f'de değerlendirildiğinde aralığın uçlarının zıt işaretler verip vermediği doğrulanır.
- Karşıt işaretler elde edilmezse aralık, orta nokta kullanılarak iki alt aralığa bölünmelidir.
- İşlevi orta noktada değerlendirin ve Bolzano hipotezinin karşılandığını doğrulayın, burada f (a) * f (b) <0.
- Bulunan değerin işaretine (pozitif veya negatif) bağlı olarak, yukarıda belirtilen hipotez yerine getirilene kadar süreç yeni bir alt aralıkla tekrarlanır.
Çözülmüş egzersizler
1. Egzersiz
F (x) = x 2 - 2 fonksiyonunun aralıkta en az bir gerçek çözüme sahip olup olmadığını belirleyin.
Çözüm
F (x) = x 2 - 2 fonksiyonuna sahibiz. Polinom olduğu için herhangi bir aralıkta sürekli olduğu anlamına gelir.
Aralıkta gerçek bir çözüme sahip olup olmadığını belirlemesi istenir, bu nedenle şimdi yalnızca bunların işaretini bilmek ve farklı olma koşulunu yerine getirip getirmediğini bilmek için işlevdeki aralığın uçlarını ikame etmek gerekir:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negatif)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (pozitif)
Bu nedenle, f (1) ≠ işareti f (2).
Bu, f (c) = 0 olan aralığa ait en az bir "c" noktası olmasını sağlar.
Bu durumda, "c" değeri aşağıdaki gibi kolayca hesaplanabilir:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Böylece, √2 ≈ 1,4 aralığa aittir ve f (√2) = 0 olmasını sağlar.
Egzersiz 2
X 5 + x + 1 = 0 denkleminin en az bir gerçek çözüme sahip olduğunu gösterin .
Çözüm
İlk olarak f (x) = x 5 + x + 1'in bir polinom fonksiyonu olduğunu, yani tüm gerçek sayılarda sürekli olduğunu not edelim .
Bu durumda, aralık verilmez, bu nedenle, işlevi değerlendirmek ve işaret değişikliklerini bulmak için değerler sezgisel olarak, tercihen 0'a yakın seçilmelidir:
Aralığı kullanırsanız yapmanız gerekenler:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
İşaret değişikliği olmadığı için işlem başka aralıklarla tekrarlanır.
Aralığı kullanırsanız yapmanız gerekenler:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
Bu aralıkta bir işaret değişikliği vardır: f (-1) ≠ işareti f (0) 'ın işareti, bu f (x) = x 5 + x + 1 fonksiyonunun en az bir gerçek kökü "c" olduğu anlamına gelir. aralığında, f (c) = 0 olacak şekilde. Başka bir deyişle, x 5 + x + 1 = 0'ın aralıkta gerçek bir çözüme sahip olduğu doğrudur .
Referanslar
- Bronshtein I, SK (1988). Mühendisler ve Öğrenciler için Matematik El Kitabı. . Editoryal MIR.
- George, A. (1994). Matematik ve Zihin. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematiksel analiz. Üç cilt halinde. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Orta Öğretim Öğretmenleri. Cilt II. DELİ.
- Mateos, ML (2013). R. Editörler, 20 Aralık'ta analizin temel özellikleri.
- Piskunov, N. (1980). Diferansiyel ve İntegral Hesap. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Ekonomik Analiz için Matematik. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Sürekli Simetri: Öklid'den Klein'a. American Mathematical Soc.