CHEBYSHOV TEOREMI: NEDIR, UYGULAMALAR VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Teoremi Chebyshev (Chebyshev veya eşitsizlik) Olasılık teorisinin en önemli klasik sonuçlarından biridir. Rastgele değişkenin dağılımına değil, X varyansına bağlı olan bir sınır sağlayarak, rastgele X değişkeniyle tanımlanan bir olayın olasılığının tahmin edilmesine izin verir.

Teorem, teoremi ilk ifade eden olmasa da 1867'de ilk kanıt veren Rus matematikçi Pafnuty Chebyshov'un (Chebychev veya Tchebycheff olarak da yazılmıştır) adını almıştır.

Bu eşitsizlik veya özellikleri nedeniyle Chebyshov eşitsizliği denen eşitsizlikler, esas olarak sınırları hesaplayarak olasılıkları tahmin etmek için kullanılır.

Ne içeriyor?

Olasılık teorisi çalışmasında, rastgele bir X değişkeninin dağılım fonksiyonu biliniyorsa, beklenen değeri - ya da matematiksel beklenti E (X) - ve varyansı Var (X) olduğu sürece hesaplanabilir. bu tür miktarlar mevcuttur. Ancak, tersi mutlaka doğru değildir.

Yani, E (X) ve Var (X) 'i bilmek, X'in dağılım fonksiyonunu elde etmek ille de mümkün değildir, bu nedenle bazı k> 0 için P (-X-> k) gibi miktarların elde edilmesi çok zordur. Ancak Chebyshov'un eşitsizliği sayesinde rastgele değişkenin olasılığını tahmin etmek mümkündür.

Chebyshov'un teoremi bize, p olasılık fonksiyonuna sahip bir örnek uzay S üzerinde rastgele bir X değişkenimiz varsa ve k> 0 ise, o zaman şunu söyler:

Uygulamalar ve örnekler

Chebyshov teoreminin birçok uygulaması arasında aşağıdakilerden bahsedilebilir:

Olasılıkları sınırlama

Bu en yaygın uygulamadır ve P (-XE (X) -≥k) için bir üst sınır vermek için kullanılır, burada k> 0, sadece rasgele değişken X'in varyansı ve beklentisiyle, olasılık fonksiyonunu bilmeden .

örnek 1

Bir şirkette bir hafta boyunca üretilen ürün sayısının ortalama 50 olan rastgele bir değişken olduğunu varsayalım.

Bir haftalık üretim varyansının 25'e eşit olduğu biliniyorsa, bu hafta üretimin ortalamadan 10'dan fazla farklılık gösterme olasılığı hakkında ne söyleyebiliriz?

Çözüm

Elimizdeki Chebyshov eşitsizliğini uygulamak:

Buradan, üretim haftasında eşya sayısının ortalamayı 10'dan fazla geçme olasılığının en fazla 1/4 olduğunu elde edebiliriz.

Limit Teoremlerinin Kanıtı

Chebyshov'un eşitsizliği, en önemli limit teoremlerinin kanıtlanmasında önemli bir rol oynar. Örnek olarak aşağıdakilere sahibiz:

Büyük sayıların zayıf kanunu

Bu yasa, aynı ortalama dağılım E (Xi) = μ ve varyans Var (X) = σ ² olan bağımsız rastgele değişkenlerin bir X1, X2,…, Xn,… dizisi ve bilinen bir ortalama örneklemin verildiğini belirtir:

O halde k> 0 için:

Veya eşdeğer olarak:

gösteri

Önce aşağıdakilere dikkat edelim:

X1, X2,…, Xn bağımsız olduklarından, şunu takip eder:

Bu nedenle şunları söylemek mümkündür:

Sonra, Chebyshov teoremini kullanarak, elimizde:

Son olarak teorem, n sonsuza yaklaşırken sağdaki sınırın sıfır olmasından kaynaklanır.

Bu testin yalnızca Xi varyansının mevcut olduğu durum için yapıldığına dikkat edilmelidir; yani farklılaşmaz. Böylece, E (Xi) varsa teoremin her zaman doğru olduğunu gözlemliyoruz.

Chebyshov limit teoremi

X1, X2,…, Xn,… tüm doğal n'ler için Var (Xn) ≤ C olacak şekilde bir miktar C <sonsuz olacak şekilde bağımsız rastgele değişkenlerin bir dizisiyse, o zaman herhangi bir k> 0 için:

gösteri

Varyans dizisi tekdüze olarak sınırlandığından, tüm doğal n'ler için Var (Sn) C / n'ye sahibiz. Ancak şunu biliyoruz:

N'yi sonsuza doğru eğilimli yapmak, aşağıdaki sonuçlar:

Bir olasılık 1 değerini geçemeyeceğinden istenen sonuç elde edilir. Bu teoremin bir sonucu olarak, Bernoulli'nin özel durumundan bahsedebiliriz.

Bir deney, iki olası sonuçla (başarısızlık ve başarı) bağımsız olarak n kez tekrarlanırsa, burada p, her deneydeki başarı olasılığıdır ve X, elde edilen başarı sayısını temsil eden rastgele değişkendir, o zaman her k> 0 için yapmalısın:

Örnek boyut

Varyans açısından, Chebyshov'un eşitsizliği, -Sn-μ -> = k'nin oluşma olasılığının istendiği kadar küçük olmasını garanti etmek için yeterli olan bir n örneklem büyüklüğü bulmamızı sağlar, bu da bir yaklaşıma sahip olmamızı sağlar. ortalamaya.

Spesifik olarak, X1, X2,… Xn, n büyüklüğünde bağımsız rastgele değişkenlerin bir örneği olsun ve E (Xi) = μ ve varyansının σ ² olduğunu varsayalım . Sonra, Chebyshov'un eşitsizliğine göre:

Misal

X1, X2,… Xn'nin Bernoulli dağılımına sahip bağımsız rasgele değişkenlerin bir örneği olduğunu varsayalım, p = 0.5 olasılıkla 1 değerini alıyorlar.

Aritmetik ortalama Sn ile beklenen değeri (0.1'den fazla) arasındaki farkın 0.01'den küçük veya ona eşit olma olasılığını garanti edebilmek için örneğin boyutu ne olmalıdır?

Çözüm

E (X) = μ = p = 0.5 ve Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25. Chebyshov eşitsizliğine göre, herhangi bir k> 0 için elimizde:

Şimdi, k = 0.1 ve δ = 0.01 aldığımızda:

Bu şekilde, -Sn - 0.5 -> = 0.1 olayının olasılığının 0.01'den küçük olmasını garanti etmek için en az 2.500 örneklem büyüklüğüne ihtiyaç olduğu sonucuna varılmıştır.

Chebyshov-tipi eşitsizlikler

Chebyshov'un eşitsizliğiyle ilgili birkaç eşitsizlik var. En iyi bilinenlerden biri Markov eşitsizliğidir:

Bu ifadede X, k, r> 0 olan negatif olmayan bir rastgele değişkendir.

Markov eşitsizliği farklı şekillerde olabilir. Örneğin, Y negatif olmayan bir rastgele değişken olsun (yani P (Y> = 0) = 1) ve E (Y) = μ olduğunu varsayalım. Ayrıca (E (Y)) ^r = μ _r'nin bazı r> 1 tam sayıları için var olduğunu varsayalım . Yani:

Diğer bir eşitsizlik Gauss'tur, bu bize mod sıfırda olan tek modlu rastgele bir X değişkeni verildiğinde, sonra k> 0 için,

Referanslar

1. Kai Lai Chung. Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen. Ayrık Matematik ve Uygulamaları. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Olasılık ve İstatistiksel Uygulamalar. SA ALHAMBRA MEKSİKANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Ayrık Matematiğin Çözülmüş Problemleri. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori ve Olasılık Problemleri. McGRAW-HILL.