ÖKLID TEOREMI: ISPAT, UYGULAMA VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Öklid teoremi bir çizgi çizmek için bir üçgenin özelliklerini gösterir böler bunu sırayla, orijinal üçgenin benzer, benzer ve iki yeni üçgenler içerisine; o zaman orantılılık ilişkisi vardır.

Öklid, önemli teoremlerin birkaç ispatını gerçekleştiren antik çağın en büyük matematikçilerinden ve geometrikçilerinden biriydi. Başlıca olanlardan biri, geniş bir uygulama alanına sahip olan adını taşıyan olandır.

Durum böyleydi çünkü bu teorem aracılığıyla, üçgenin bacaklarının hipotenüs üzerindeki izdüşümleriyle ilişkilendirildiği dik üçgende var olan geometrik ilişkileri basit bir şekilde açıklıyor.

Formüller ve gösteri

Öklid teoremi, her dik üçgende, hipotenüse göre dik açının tepe noktasına karşılık gelen yüksekliği temsil eden bir çizgi çizildiğinde, orijinalden iki dik üçgenin oluştuğunu ileri sürer.

Bu üçgenler birbirine benzeyecek ve aynı zamanda orijinal üçgene benzeyecek, yani benzer tarafları birbiriyle orantılıdır:

Üç üçgenin açıları uyumludur; yani, tepe noktaları etrafında 180 derece döndürüldüklerinde, bir açı diğeriyle çakışır. Bu, hepsinin aynı olacağı anlamına gelir.

Bu şekilde, üç üçgen arasında var olan benzerlik, açılarının eşitliği ile de doğrulanabilir. Üçgenlerin benzerliğinden, Öklid bunların oranlarını iki teoremden belirler:

- Yükseklik teoremi.

- Bacakların teoremi.

Bu teoremin geniş bir uygulaması vardır. Antik çağda, trigonometri için büyük bir ilerlemeyi temsil eden yükseklikleri veya mesafeleri hesaplamak için kullanılıyordu.

Şu anda diğer alanların yanı sıra mühendislik, fizik, kimya ve astronomi gibi matematiğe dayalı çeşitli alanlarda uygulanmaktadır.

Yükseklik teoremi

Bu teoremde, herhangi bir dik üçgende, hipotenüse göre dik açıdan çizilen yüksekliğin, hipotenüs üzerinde belirlediği bacakların çıkıntıları arasındaki geometrik orantılı ortalama (yüksekliğin karesi) olduğu tespit edilmiştir.

Yani, yüksekliğin karesi, hipotenüsü oluşturan yansıtılan bacakların çarpımına eşit olacaktır:

h _c ² = m _* n

gösteri

C tepe noktasında bulunan bir ABC üçgeni verildiğinde, yüksekliği çizmek iki benzer dik üçgen, ADC ve BCD üretir; bu nedenle, karşılık gelen tarafları orantılıdır:

CD segmentine karşılık gelen h _c yüksekliği , AB = c hipotenüsüne karşılık gelecek şekilde, böylece elde ederiz:

Bu da şuna karşılık gelir:

Eşitliğin iki üyesini çarpmak için hipotenüs (h _c ) için çözüm bulduk:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Böylece, hipotenüsün değeri şu şekilde verilir:

Bacak teoremi

Bu teoremde, her dik üçgende, her bir bacağın ölçüsünün, hipotenüsün ölçüsü (tam) ile her birinin üzerindeki izdüşümü arasındaki geometrik orantılı ortalama (her bir bacağın karesi) olacağı tespit edilmiştir:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

gösteri

C tepe noktasında, hipotenüsü c olacak şekilde ABC üçgeni verildiğinde, yüksekliği (h) çizerken, sırasıyla m ve n segmentleri olan ve üzerinde uzanan a ve b bacaklarının çıkıntıları belirlenir. hipotenüs.

Böylece, ABC dik üçgeninde çizilen yüksekliğin iki benzer dik üçgen, ADC ve BCD oluşturmasına sahibiz, böylece karşılık gelen kenarlar aşağıdaki gibi orantılıdır:

DB = n, bacak CB'nin hipotenüse izdüşümüdür.

AD = m, AC bacağının hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür.

Ardından, hipotenüs c, çıkıntılarının bacaklarının toplamına göre belirlenir:

c = m + n

ADC ve BCD üçgenlerinin benzerliğinden dolayı, elimizde:

Yukarıdakiler şununla aynıdır:

Eşitliğin iki üyesini çarpmak için “a” bacağını çözdüğümüzde:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Böylece, "a" ayağının değeri şu şekilde verilir:

Aynı şekilde, ACB ve ADC üçgenlerinin benzerliğinden dolayı, elimizde:

Yukarıdakiler şuna eşittir:

Eşitliğin iki üyesini çarpmak için "b" ayağını bulduğumuzda:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Böylece, "b" ayağının değeri şu şekilde verilir:

Öklid teoremleri arasındaki ilişki

Yükseklik ve bacaklarla ilgili teoremler birbiriyle ilişkilidir, çünkü her ikisinin de ölçüsü dik üçgenin hipotenüsüne göre yapılır.

Öklid teoremlerinin ilişkisi sayesinde yüksekliğin değeri de bulunabilir; bu, bacak teoreminden m ve n değerlerini çözerek mümkündür ve yükseklik teoreminde yer değiştirirler. Bu şekilde, yüksekliğin bacakların çarpımına eşit olması, hipotenüse bölünmesi sağlanır:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = bir ² ÷ c

Yükseklik teoreminde m ve n'yi değiştiririz:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Çözülmüş egzersizler

örnek 1

ABC üçgeni verildiğinde, sağ A'da, AB = 30 cm ve BD = 18 cm ise AC ve AD'nin ölçüsünü belirleyin

Çözüm

Bu durumda, yansıtılan bacaklardan birinin (BD) ve orijinal üçgenin (AB) bacaklarından birinin ölçümlerine sahibiz. Bu şekilde bacak teoremi BC bacak değerini bulmak için uygulanabilir.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Bacak CD'sinin değeri BC = 50 olduğu bilerek bulunabilir:

CD = BC - BD

CD = 50-18 = 32 cm

Şimdi bacak teoremini tekrar uygulayarak AC bacak değerini belirlemek mümkündür:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Yüksekliğin (AD) değerini belirlemek için, yansıtılan bacakların CD ve BD değerleri bilindiği için yükseklik teoremi uygulanır:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Örnek 2

Segmentlerin ölçülerini bilerek, MNL üçgeninin yüksekliğinin (h) değerini N cinsinden belirleyin:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Çözüm

Hipotenüs (PM) üzerine yansıtılan bacaklardan birinin ölçüsünün yanı sıra orijinal üçgenin bacaklarının ölçüsüne sahibiz. Bu şekilde, bacak teoremi, yansıtılan diğer bacağın (LN) değerini bulmak için uygulanabilir:

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Bacakların ve hipotenüsün değeri zaten bilindiği için, yükseklik teoremleri ile bacakların ilişkisi sayesinde, yüksekliğin değeri belirlenebilir:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Referanslar

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktallar ve garip şeyler. Ekonomik Kültür Fonu.
2. Cabrera, VM (1974). Modern Matematik, Cilt 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3. yıl matematik. Karakas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (bindokuzyüz doksan beş). İspanyol Ansiklopedisi: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Öklid, RP (1886). Öklid'in Geometri Öğeleri.
6. Guardeño, AJ (2000). Matematiğin mirası: Öklid'den Newton'a, dahiler kitapları aracılığıyla. Sevilla Üniversitesi.