MILET MASALLARI TEOREMI: BIRINCI, IKINCI VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Thales of Miletus'un birinci ve ikinci teoremleri, benzer olanlardan (birinci teorem) veya dairelerden (ikinci teorem) üçgenlerin belirlenmesine dayanır. Çeşitli alanlarda çok faydalı oldular. Örneğin, ilk teorem, karmaşık ölçüm cihazları olmadığında büyük yapıları ölçmek için çok yararlıydı.

Thales of Miletus, geometriye büyük katkılarda bulunan ve bu iki teoreminin öne çıktığı (bazı metinlerde Thales olarak da yazılmıştır) ve bunların faydalı uygulamalarına büyük katkılar sağlayan bir Yunan matematikçiydi. Bu sonuçlar tarih boyunca kullanılmış ve çok çeşitli geometrik problemlerin çözülmesini mümkün kılmıştır.

Milet Thales

Thales'in İlk Teoremi

Thales'in ilk teoremi, diğer şeylerin yanı sıra, daha önce bilinen bir diğerine benzer bir üçgenin inşasına izin veren çok kullanışlı bir araçtır. Buradan, teoremin birden çok bağlamda uygulanabilecek çeşitli versiyonları türetilmiştir.

İfadenizi vermeden önce, üçgenlerin benzerliklerine dair bazı nosyonları hatırlayalım. Esasen, açıları uyumluysa iki üçgen benzerdir (aynı ölçüye sahiptirler). Bu, iki üçgenin benzer olması durumunda karşılık gelen (veya homolog) taraflarının orantılı olmasıyla sonuçlanır.

Thales'in ilk teoremi, bir doğrunun belirli bir üçgende kenarlarından herhangi birine paralel çizilmesi durumunda elde edilen yeni üçgenin ilk üçgene benzer olacağını belirtir.

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi oluşan açılar arasında da bir ilişki elde edilir.

Uygulama

Birçok uygulaması arasında, Thales'in yaşadığı ve hiçbir modern ölçüm cihazının bulunmadığı Antik Çağ'da büyük yapılardan ölçümlerin yapılma yöntemlerinden biri öne çıkmaktadır ve bununla ilgilidir. şimdi varlar.

Thales'in Mısır'daki en yüksek piramidi, Cheops'u bu şekilde ölçtüğü söyleniyor. Bunun için Thales, güneş ışınlarının yansımalarının yere paralel çizgiler oluşturarak dokunduğunu varsayıyordu. Bu varsayıma göre, yere dikey olarak bir sopa veya baston çiviledi.

Daha sonra ortaya çıkan iki üçgenin benzerliğini kullandı; biri piramidin gölgesinin uzunluğu (kolayca hesaplanabilir) ve piramidin yüksekliği (bilinmeyen), diğeri ise gölgenin uzunlukları tarafından oluşturulan ve çubuğun yüksekliği (ayrıca kolayca hesaplanabilir).

Bu uzunluklar arasındaki orantılılık kullanılarak piramidin yüksekliği çözülebilir ve bilinebilir.

Bu ölçüm yöntemi, yüksekliğin doğruluğu açısından önemli bir yaklaşıklık hatası verebilmesine ve güneş ışınlarının paralelliğine bağlı olmasına rağmen (bu da kesin bir zamana bağlıdır), bunun çok ustaca bir fikir olduğu kabul edilmelidir. ve zaman için iyi bir ölçüm alternatifi sağladığını söyledi.

Örnekler

Her durumda x'in değerini bulun:

Thales'in ikinci teoremi

Thales'in ikinci teoremi, aynı her noktada bir daireye yazılmış bir dik üçgen belirler.

Bir çevreye yazılmış bir üçgen, köşeleri çevrenin üzerinde olan ve dolayısıyla içinde kalan bir üçgendir.

Spesifik olarak, Thales'in ikinci teoremi şunları belirtir: O merkezi çevresi ve AC çapının bir çevresi verildiğinde, çevrenin her noktası (A ve C dışında) dik açılı bir ABC dik üçgenini belirler.

Gerekçe olarak, hem OA hem de OB ve OC'nin çevrenin yarıçapına karşılık geldiğini not edelim; bu nedenle ölçümleri aynıdır. Bundan, OAB ve OCB üçgenlerinin ikizkenar olduğu, burada

Bir üçgenin açılarının toplamının 180º'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bunu ABC üçgeniyle kullanarak elimizde:

2b + 2a = 180º.

Aynı şekilde, b + a = 90º ve b + a =

Thales'in ikinci teoremi tarafından sağlanan dik üçgenin, hipotenüsün çevrenin çapına eşit olduğu tam olarak olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, tamamen üçgenin noktalarını içeren yarım daire tarafından belirlenir; bu durumda üst yarım daire.

Thales'in ikinci teoremi ile elde edilen dik üçgende hipotenüsün OA ve OC (yarıçap) ile iki eşit parçaya bölündüğünü de gözlemleyelim. Buna karşılık, bu ölçü, B ile ABC üçgeninin medyanına karşılık gelen OB segmentine (ayrıca yarıçap) eşittir.

Başka bir deyişle, B köşesine karşılık gelen ABC dik üçgeninin medyanının uzunluğu, hipotenüsün yarısı tarafından tamamen belirlenir. Bir üçgenin medyanının, köşelerden birinden karşı tarafın orta noktasına kadar olan segment olduğunu hatırlayın; bu durumda, BO segmenti.

Çevrelenmiş çevresi

Thales'in ikinci teoremine bakmanın başka bir yolu, bir dik üçgene çevrilmiş bir çemberdir.

Genel olarak, bir çokgeni çevreleyen bir çevre, onu çizmek mümkün olduğunda, her bir köşesinden geçen çevreden oluşur.

Dik üçgen verilen Thales'in ikinci teoremini kullanarak, hipotenüsün yarısına eşit bir yarıçap ve hipotenüsün orta noktasına eşit bir çevresi (çevrenin merkezi) ile her zaman ona çevrelenmiş bir çevre oluşturabiliriz.

Uygulama

Thales'in ikinci teoreminin çok önemli bir uygulaması ve belki de en yaygın kullanılanı, belirli bir çembere, kendisine (bilinen) harici bir P noktası üzerinden teğet doğruları bulmaktır.

Bir daire (aşağıdaki şekilde mavi ile çizilmiş) ve bir P dış noktası verildiğinde, P'nin içinden geçen çembere teğet iki çizgi olduğunu unutmayın. T ve T 'teğet noktaları, r çemberin yarıçapı ve Veya merkez.

Bir çemberin merkezinden aynı teğet noktaya giden parçanın bu teğet doğrusuna dik olduğu bilinmektedir. Yani OTP açısı doğru.

Daha önce Thales'in ilk teoreminde ve onun farklı versiyonlarında gördüğümüzden, OTP üçgenini başka bir daireye (kırmızı) yazmanın mümkün olduğunu görüyoruz.

Benzer şekilde, OT'P üçgeninin aynı önceki çevre içine yazılabileceği elde edilir.

Thales'in ikinci teoremine göre, bu yeni çevrenin çapının tam olarak OTP üçgeninin hipotenüsü olduğunu (OT'P üçgeninin hipotenüsüne eşittir) ve merkezin bu hipotenüsün orta noktası olduğunu da elde ederiz.

Yeni çevrenin merkezini hesaplamak için, ilk çevrenin (zaten bildiğimiz) merkezi - örneğin M - ile P noktası (bizim de bildiğimiz) arasındaki orta noktayı hesaplamak yeterlidir. O zaman yarıçap, bu M ve P noktası arasındaki mesafe olacaktır.

Kırmızı çemberin yarıçapı ve merkeziyle, (xh) ² + (yk) ² = c ² ile verildiğini hatırladığımız Kartezyen denklemini bulabiliriz , burada c yarıçap ve (h, k) noktası çevrenin merkezi.

Şimdi her iki dairenin denklemlerini bilerek, onların oluşturduğu denklem sistemini çözerek ve böylece T ve T 'teğet noktalarını elde ederek onları kesiştirebiliriz. Son olarak, istenen teğet doğruları bilmek için T ve P'den ve T 've P'den geçen doğruların denklemini bulmak yeterlidir.

Misal

AC çapında, O merkezde ve 1 cm yarıçapında bir çevre düşünün. B, AB = AC olacak şekilde çevre üzerinde bir nokta olsun. AB ne kadar uzun?

Çözüm

Thales'in ikinci teoremine göre, ABC üçgeninin doğru olduğunu ve hipotenüsün çapa karşılık geldiğini görüyoruz ki bu durumda 2 cm (yarıçap 1 cm). Sonra, Pisagor teoremine göre elimizde:

Referanslar

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometri ve trigonometri. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A. ve Hirsch, L. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. K. (2004). ESO Milli Eğitim Bakanlığında matematiğin metodolojisi ve uygulamaları.
4. IGER. (2014). Matematik İkinci Yarıyıl Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematik 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometri ve Analitik Geometri. Pearson Education.
7. Pérez, MA (2009). Matematik Tarihi: Karakterleriyle Zorluklar ve Fetihler. Editoryal Vision Libros.
8. Viloria, N. ve Leal, J. (2005). Düzlem Analitik Geometri. Editoryal Venezolana CA