VARIGNON TEOREMI: ÖRNEKLER VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Teoremi Varignon bir dörtgen sürekli iki orta noktalarını bağlı ise, bir paralel kenar oluşturulur belirtmektedir. Bu teorem Pierre Varignon tarafından formüle edilmiş ve 1731'de Matematiğin Öğeleri kitabında yayınlanmıştır ”.

Kitabın basımı ölümünden yıllar sonra gerçekleşti. Bu teoremi ortaya atan Varignon olduğu için, paralelkenar onun adını almıştır. Teorem Öklid geometrisine dayanır ve dörtgenlerin geometrik ilişkilerini sunar.

Varignon'un teoremi nedir?

Varignon, bir dörtgenin orta noktaları ile tanımlanan bir şeklin her zaman bir paralelkenara yol açacağını ve bunun alanının, düz ve dışbükey olması durumunda dörtgenin alanının her zaman yarısı olacağını belirtti. Örneğin:

Şekilde, kenarların orta noktalarının E, F, G ve H ile temsil edildiği ve birleştirildiğinde bir paralelkenar oluşturduğu, X alanına sahip bir dörtgen görebilirsiniz. Dörtgenin alanı, oluşan üçgenlerin alanlarının toplamı olacaktır ve bunun yarısı paralelkenarın alanına karşılık gelir.

Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısı olduğundan, bu paralelkenarın çevresi belirlenebilir.

Böylece, çevre dörtgenin köşegenlerinin uzunluklarının toplamına eşittir; bunun nedeni, dörtgenin medyanlarının paralelkenarın köşegenleri olacağıdır.

Öte yandan, dörtgenin köşegenlerinin uzunlukları tamamen aynıysa, paralelkenar bir eşkenar dörtgen olacaktır. Örneğin:

Şekilden, dörtgenin kenarlarının orta noktalarının birleştirilmesiyle bir eşkenar dörtgen elde edildiği görülmektedir. Öte yandan, dörtgenin köşegenleri dikse, paralelkenar bir dikdörtgen olacaktır.

Ayrıca paralelkenar, dörtgen aynı uzunlukta köşegenlere sahip olduğunda ve bunlar da dik olduğunda bir kare olacaktır.

Teorem sadece düzlem dörtgenlerinde değil, aynı zamanda uzaysal geometride veya büyük boyutlarda da uygulanmaktadır; yani, dışbükey olmayan dörtgenlerde. Bunun bir örneği, orta noktaların her bir yüzün ağırlık merkezi olduğu ve bir paralel yüz oluşturduğu bir oktahedron olabilir.

Bu şekilde farklı şekillerin orta noktalarını birleştirerek paralelkenarlar elde edilebilir. Bunun gerçekten doğru olup olmadığını kontrol etmenin kolay bir yolu, zıt tarafların uzatıldığında paralel olması gerektiğidir.

Örnekler

İlk örnek

Paralelkenar olduğunu göstermek için zıt tarafların uzatılması:

İkinci örnek

Bir eşkenar dörtgenin orta noktalarını birleştirerek bir dikdörtgen elde edilir:

Teorem, bir dörtgenin kenarlarının ortasında yer alan noktaların birleşiminde kullanılır ve aynı zamanda üç kesit, penta-kesit ve hatta sonsuz sayıda bölüm gibi diğer nokta türleri için de kullanılabilir ( nth), herhangi bir dörtgenin kenarlarını orantılı bölümlere ayırmak için.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Şekilde, Z alanının dörtgen ABCD'sine sahibiz, burada bunun kenarlarının orta noktaları PQSR'dir. Bir Varignon paralelkenarının oluştuğunu kontrol edin.

Çözüm

PQSR noktalarının birleştirilmesiyle bir Varignon paralelkenarının oluştuğu görülebilir, çünkü tam olarak ifadede bir dörtgenin orta noktaları verilmiştir.

Bunu göstermek için, önce orta noktalar PQSR birleştirilir, böylece başka bir dörtgenin oluştuğu görülebilir. Bunun bir paralelkenar olduğunu kanıtlamak için, yalnızca C noktasından A noktasına düz bir çizgi çizmeniz gerekir, böylece CA'nın PQ ve RS'ye paralel olduğu görülebilir.

Aynı şekilde, PQRS taraflarını uzatırken, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi PQ ve RS'nin paralel olduğu görülebilir:

Egzersiz 2

Tüm kenarlarının uzunlukları eşit olacak şekilde bir dikdörtgene sahibiz. Bu kenarların orta noktalarını birleştirerek, dikdörtgenin kenarlarının ölçümleriyle çakışan iki köşegen AC = 7cm ve BD = 10cm ile bölünmüş bir eşkenar dörtgen ABCD oluşturulur. Eşkenar dörtgen ve dikdörtgenin alanlarını belirleyin.

Çözüm

Elde edilen paralelkenarın alanının dörtgenin yarısı olduğunu hatırlayarak, bunların alanı, köşegenlerin ölçüsünün dikdörtgenin kenarlarıyla çakıştığı bilerek belirlenebilir. Yani yapmanız gereken:

AB = D

CD = d

Bir _dikdörtgen = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

Bir _{eşkenar dörtgen} = Bir _dikdörtgen / 2

Bir _{eşkenar dörtgen} = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Egzersiz 3

Şekilde EFGH noktalarının birleşimine sahip bir dörtgen vardır, segmentlerin uzunlukları verilmiştir. EFGH birleşiminin bir paralelkenar olup olmadığını belirleyin.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

HR = 3.94 HA = 2.77

Çözüm

Segmentlerin uzunlukları verildiği için segmentler arasında orantı olup olmadığı doğrulanabilir; yani, dörtgenin parçalarını aşağıdaki gibi ilişkilendirerek paralel olup olmadıklarını bilebilirsiniz:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

Daha sonra orantılılık kontrol edilir, çünkü:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Benzer şekilde, B noktasından D noktasına bir çizgi çizerken, tıpkı BD'nin FG'ye paralel olması gibi, EH'nin de BD'ye paralel olduğu görülebilir. Öte yandan EF, GH'ye paraleldir.

Böylece EFGH'nin bir paralelkenar olduğu belirlenebilir, çünkü zıt taraflar paraleldir.

Referanslar

1. Andres, T. (2010). Matematik Olimpiyatı Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Düzlem Öklid Geometrisi. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Geometrilerin İncelenmesi. Meksika: Hispanik - Amerikan.
4. Ramo, GP (1998). Fermat-Torricelli sorunlarına bilinmeyen çözümler. ISBN - Bağımsız çalışma.
5. Vera, F. (1943). Geometri Elemanları. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Öklid Geometrisinde Bazı Maceralar. Güney Afrika.