- Kombinatoryal sayılar
- gösteri
- Örnekler
- Kimlik 1
- Kimlik 2
- Başka bir gösteri
- İndüksiyon kanıtı
- İlginç
- Referanslar
Binom teoremi nasıl bir formda ifadesini (a + b) geliştirmeye söyler bir denklem olduğu n bazı doğal sayı n. İki terimli, (a + b) gibi iki elementin toplamından başka bir şey değildir. Ayrıca, a k b n-k tarafından verilen bir terim için ona eşlik eden katsayının ne olduğunu bilmemizi sağlar .
Bu teorem genellikle İngiliz mucit, fizikçi ve matematikçi Sir Isaac Newton'a atfedilir; Bununla birlikte, varlığının Orta Doğu'da 1000 yılı civarında bilindiğini gösteren çeşitli kayıtlar bulunmuştur.
Kombinatoryal sayılar
Binom teoremi matematiksel olarak bize şunları söyler:
Bu ifadede a ve b gerçek sayılardır ve n doğal bir sayıdır.
Demoyu vermeden önce, gerekli olan bazı temel kavramlara bakalım.
Kombinatoryal sayı veya n'nin k'deki kombinasyonları aşağıdaki gibi ifade edilir:
Bu form, bir dizi n öğeden k öğeli kaç alt grubun seçilebileceğini ifade eder. Cebirsel ifadesi şu şekilde verilir:
Bir örnek görelim: Diyelim ki ikisi kırmızı, geri kalanı mavi olan yedi topumuz var.
Onları arka arkaya kaç şekilde düzenleyebileceğimizi bilmek istiyoruz. Bunun bir yolu, iki kırmızıyı birinci ve ikinci konuma ve geri kalan topları da kalan konumlara yerleştirmek olabilir.
Önceki duruma benzer şekilde, kırmızı toplara sırasıyla birinci ve son konumu verebilir ve diğerlerini mavi toplarla işgal edebilirdik.
Şimdi topları arka arkaya kaç şekilde düzenleyebileceğimizi hesaplamanın etkili bir yolu, kombinatoryal sayılar kullanmaktır. Her konumu aşağıdaki kümenin bir öğesi olarak görebiliriz:
Daha sonra, yalnızca bu öğelerin her birinin kırmızı topların işgal edeceği konumu temsil ettiği iki öğenin bir alt kümesini seçmek kalır. Bu seçimi aşağıdaki ilişkiye göre yapabiliriz:
Bu şekilde, bu topları sipariş etmenin 21 yolu var.
Bu örneğin genel fikri, iki terimli teoremi ispatlamak için çok faydalı olacaktır. Özel bir duruma bakalım: Eğer n = 4 ise, (a + b) 4'e sahibiz , ki bu şunlardan başka bir şey değildir:
Bu ürünü geliştirdiğimizde, dört faktörden (a + b) her birinin bir unsurunu çarparak elde edilen terimlerin toplamı kalır. Böylece, şu biçimde olacak terimlere sahip olacağız:
Terimi 4 şeklinde elde etmek istersek, aşağıdaki gibi çarpmamız gerekir:
Bu elementi elde etmenin tek bir yolu olduğunu unutmayın; ama şimdi a 2 b 2 biçimindeki terimi ararsak ne olur ? "A" ve "b" gerçek sayılar olduğundan ve bu nedenle değişme yasası geçerli olduğundan, bu terimi elde etmenin bir yolu, oklarla gösterildiği gibi üyelerle çarpmaktır.
Tüm bu işlemleri gerçekleştirmek genellikle biraz sıkıcıdır, ancak "a" terimini, dört faktörden oluşan bir kümeden iki "a" yı kaç yolu seçebileceğimizi bilmek istediğimiz bir kombinasyon olarak görürsek, önceki örnekteki fikri kullanabiliriz. Yani, aşağıdakilere sahibiz:
Böylece, (a + b) 4 ifadesinin son genişlemesinde tam olarak 6a 2 b 2'ye sahip olacağımızı biliyoruz . Diğer unsurlar için aynı fikri kullanarak, şunları yapmalısınız:
Daha sonra elde ettiğimiz ifadeleri ekliyoruz ve buna sahibiz:
Bu, "n" nin herhangi bir doğal sayı olduğu genel durum için resmi bir kanıttır.
gösteri
(A + b) n'yi genişleterek bırakılan terimlerin a k b n-k biçiminde olduğuna dikkat edin , burada k = 0,1,…, n. Önceki örneğin fikrini kullanarak, "n" faktörlerinden "k" değişkenlerini "a" seçme yolumuz var:
Bu şekilde seçerek, otomatik olarak nk değişkenleri "b" yi seçiyoruz. Bundan şu sonuç çıkar:
Örnekler
(A + b) 5'i düşünürsek , gelişimi nasıl olur?
Binom teoremine göre:
Tam genişlemeyi yapmak zorunda kalmadan belirli bir terimin katsayısının ne olduğunu bilmek istediğimiz bir ifadeye sahipsek, iki terimli teorem çok kullanışlıdır. Örnek olarak şu bilinmeyeni alabiliriz: (x + y) 16'nın genişlemesinde x 7 ve 9'un katsayısı nedir?
Binom teoremine göre, katsayının şu şekildedir:
Başka bir örnek de: (3x-7y) 13'ün genişlemesinde x 5 ve 8'in katsayısı nedir?
İlk önce ifadeyi uygun bir şekilde yeniden yazıyoruz; bu:
Sonra, iki terimli teoremi kullanarak, aranan katsayı k = 5 olduğunda elde ederiz.
Bu teoremin kullanımlarının bir başka örneği, daha sonra bahsedeceğimiz gibi bazı ortak kimliklerin ispatıdır.
Kimlik 1
«N» bir doğal sayı ise, elimizde:
Kanıt için, hem "a" hem de "b" nin 1 değerini aldığı iki terimli teoremi kullanıyoruz. O zaman elimizde:
Bu şekilde ilk kimliği kanıtlamış olduk.
Kimlik 2
"N" doğal bir sayı ise, o zaman
Binom teoremine göre:
Başka bir gösteri
Endüktif yöntemi ve Pascal kimliğini kullanarak binom teoremi için farklı bir ispat yapabiliriz, bu da bize şunu söyler: "n" ve "k" n ≥ k'yi karşılayan pozitif tamsayılarsa, o zaman:
İndüksiyon kanıtı
İlk önce endüktif tabanın geçerli olduğunu görelim. N = 1 ise, elimizde:
Nitekim bunun yerine getirildiğini görüyoruz. Şimdi, n = j şöyle olsun:
N = j + 1 için şunun doğru olduğunu görmek istiyoruz:
Yani yapmalıyız:
Hipotez yoluyla şunu biliyoruz:
Ardından, dağıtım özelliğini kullanarak:
Daha sonra, her bir özetin geliştirilmesinde:
Şimdi, uygun bir şekilde gruplandırırsak, şuna sahibiz:
Pascal kimliğini kullanarak, elimizde:
Son olarak şunu unutmayın:
Bu nedenle, iki terimli teoremin doğal sayılara ait olan tüm "n" için geçerli olduğunu görüyoruz ve bununla ispat sona eriyor.
İlginç
Kombinatoryal sayı (nk) aynı zamanda binom katsayısı olarak da adlandırılır, çünkü tam olarak iki terimli (a + b) n'nin gelişiminde görünen katsayıdır .
Isaac Newton, üssün gerçek sayı olduğu durum için bu teoremin bir genellemesini yaptı; Bu teorem, Newton'un iki terimli teoremi olarak bilinir.
Zaten eski zamanlarda bu sonuç n = 2 olduğu özel durum için biliniyordu. Bu durum, Öklid'in Öğeleri'nde belirtilmiştir.
Referanslar
- Johnsonbaugh Richard. Ayrık Matematik. PHH
- Kenneth.H. Rosen. Ayrık Matematik ve Uygulamaları. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Seymour Lipschutz Ph.D ve Marc Lipson. Ayrık Matematik. McGRAW-HILL.
- Ralph P. Grimaldi. Ayrık ve Kombinatoryal Matematik. Addison-Wesley Iberoamericana
- Yeşil Yıldız Luis. . Ayrık ve Kombinatoryal Matematik Anthropos