- Aritmetiğin temel teoreminin kanıtı
- Asal çarpanlara ayırmanın benzersizliği
- Uygulamalar
- Doğadaki asal sayılar
- Asal sayılar ve çevrimiçi alışveriş
- Çözülmüş egzersizler
- - 1. Egzersiz
- Çözüm
- - Egzersiz 2
- Çözüm
- Referanslar
Aritmetik temel teoremi bir tekrarlanabilir - - 1 'den her hangi bir sayı daha fazla asal sayıların bir ürün olarak ayrışabilir belirtir faktörler sırası farklı olabilir, ancak, bu şekilde, bu sayı için benzersizdir.
Bir asal sayı p'nin yalnızca kendisini ve 1'in pozitif bölenler olduğunu kabul eden bir sayı olduğunu hatırlayın.Aşağıdaki sayılar asaldır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, çünkü sonsuzluklar vardır. 1 sayısı, yalnızca bir bölen içerdiğinden, asal sayılmaz.
Şekil 1. Öklid (solda), Elements (MÖ 350) adlı kitabında aritmetiğin temel teoremini kanıtladı ve ilk tam ispat Carl F. Gauss'tan (1777-1855) (sağda) kaynaklandı. Kaynak: Wikimedia Commons.
Yukarıdakilere uymayan sayılar ise bileşik sayılar olarak adlandırılır, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 gibi … Örnek olarak 10 sayısını alalım ve hemen görelim ki bunun bir çarpımı olarak ayrıştırılabilir. 2 ve 5:
10 = 2 × 5
Hem 2 hem de 5, aslında asal sayılardır. Teorem, bunun herhangi bir n sayısı için mümkün olduğunu belirtir:
Burada p 1 , p 2 , p 3 … p r asal sayılardır ve k 1 , k 2 , k 3 ,… k r doğal sayılardır. Yani asal sayılar, çarpma yoluyla doğal sayıların inşa edildiği yapı taşları gibi davranır.
Aritmetiğin temel teoreminin kanıtı
Her sayının asal çarpanlara ayrıştırılabileceğini göstererek başlıyoruz. Izin vermek doğal bir sayı n> 1, asal veya bileşik.
Örneğin n = 2 ise, şu şekilde ifade edilebilir: 2 = 1 × 2, bu asaldır. Aynı şekilde aşağıdaki numaralarla devam edin:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Bu şekilde devam ediyoruz, tüm doğal sayıları n -1 sayısına ulaşana kadar ayrıştırıyoruz. Bakalım bunu şu numara ile yapabilecek miyiz: n.
Eğer n asalsa, onu n = 1 × n olarak ayrıştırabiliriz, ancak n'nin bileşik olduğunu ve mantıksal olarak n'den küçük bir bölen d'ye sahip olduğunu varsayalım:
1 <d <n.
Eğer n / d = p 1 ise, p 1 bir asal sayı ise, o zaman n şöyle yazılır:
n = p 1 .d
D asal ise yapacak başka bir şey yoktur, ancak değilse , d'nin bölen ve bundan küçük olan bir n 2 sayısı vardır : n 2 <d, bu nedenle d, n 2'nin bir başkası tarafından çarpımı olarak yazılabilir. asal sayı p 2 :
d = p 2 n 2
Orijinal sayıyı değiştirirken n şunu verir:
n = p 1 .p 2 .n 2
Şimdi n 2'nin de asal sayı olmadığını varsayalım ve onu p 3 asal sayısının çarpımı olarak n 3 böleniyle yazalım , öyle ki n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 p = 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Bu prosedürü, aşağıdakileri elde edene kadar sınırlı sayıda tekrar ederiz:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Bu, asal sayıların bir ürünü olarak tüm tam sayıları 2'den n sayısına ayırmanın mümkün olduğu anlamına gelir.
Asal çarpanlara ayırmanın benzersizliği
Şimdi faktörlerin sıralaması dışında bu ayrışmanın benzersiz olduğunu doğrulayalım. N'nin iki şekilde yazılabileceğini varsayalım:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 SORU 3 … ..q s (≤ s r)
Tabii ki q 1 , q 2 , q 3 … de asal sayılardır. P 1 böldüğünden (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ) o zaman p 1 “q” dan birine eşittir, hangisi olduğu önemli değildir , yani p 1 = q 1 diyebiliriz . N'yi p 1'e böleriz ve şunu elde ederiz:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Her şeyi p r'ye bölene kadar prosedürü tekrar ederiz , sonra şunu elde ederiz:
1 = q r + 1 … q s
Ancak r <s olduğunda q r + 1 … q s = 1'e ulaşmak mümkün değildir , sadece r = s ise mümkün değildir. Her ne kadar r = s olduğunu kabul etmekle birlikte, "p" ve "q" nun aynı olduğu da kabul edilir. Bu nedenle ayrışma benzersizdir.
Uygulamalar
Daha önce de söylediğimiz gibi, asal sayılar, isterseniz sayıların atomlarını ve temel bileşenlerini temsil eder. Dolayısıyla aritmetiğin temel teoreminin çok sayıda uygulaması vardır, en bariz olanı: Büyük sayıları daha küçük sayıların çarpımı olarak ifade edersek daha kolay çalışabiliriz.
Aynı şekilde, en büyük ortak çarpanı (LCM) ve en büyük ortak böleni (GCF) bulabiliriz; bu, kesirlerin eklemelerini daha kolay yapmamıza, büyük sayıların köklerini bulmamıza veya radikallerle çalışmamıza, rasyonelleştirmemize ve çözmemize yardımcı olan bir prosedür. çok çeşitli yapıdaki uygulama sorunları.
Dahası, asal sayılar son derece esrarengizdir. Onlarda henüz bir kalıp tanınmıyor ve hangisinin bir sonraki olacağını bilmek mümkün değil. Şimdiye kadarki en büyüğü bilgisayarlar tarafından bulundu ve 24.862.048 haneye sahip, ancak yeni asal sayılar her seferinde daha seyrek görünüyor.
Doğadaki asal sayılar
Amerika Birleşik Devletleri'nin kuzeydoğusunda yaşayan ağustos böcekleri, ağustos böcekleri veya ağustos böcekleri 13 veya 17 yıllık döngülerde ortaya çıkar. İkisi de asal sayılardır.
Böylelikle ağustosböcekleri, başka doğum dönemleri olan yırtıcılar veya rakiplerle aynı zamana denk gelmekten kaçınırlar, aynı yıl içinde çakışmadıkları için ağustosböceklerinin farklı çeşitleri birbirleriyle rekabet etmezler.
Şekil 2. Amerika Birleşik Devletleri'nin doğusundaki Magicicada ağustosböceği her 13 ila 17 yılda bir ortaya çıkar. Kaynak: Pxfuel.
Asal sayılar ve çevrimiçi alışveriş
Asal sayılar, İnternet üzerinden alışveriş yaparken kredi kartı ayrıntılarını gizli tutmak için kriptografide kullanılır. Böylelikle alıcının mağazaya ulaştığı veriler, kaybolmadan veya vicdansız kişilerin eline düşmeden kesin olarak mağazaya ulaşır.
Nasıl? Kartlardaki veriler, asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebilen bir N sayısı ile kodlanmıştır. Bu asal sayılar, verilerin ortaya çıkardığı anahtardır, ancak halk tarafından bilinmemektedir, yalnızca yönlendirildikleri web'de kodu çözülebilir.
Sayılar küçükse bir sayıyı faktörlere ayırmak kolay bir iştir (çözülmüş alıştırmalara bakın), ancak bu durumda anahtar olarak 100 basamaklı asal sayılar kullanılır, bu sayılar çarpılırken çok daha büyük sayılar verir ve ayrıntılı ayrıştırılması büyük bir görev içerir. .
Çözülmüş egzersizler
- 1. Egzersiz
1029'u ana faktörlere ayırın.
Çözüm
1029, 3'e bölünebilirdir çünkü rakamlarını toplarken toplamın 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12'nin katı olduğu bilinmektedir. Çarpanların sırası çarpımı değiştirmediğinden, oradan başlayabiliriz:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Diğer taraftan 343 = 7 3 , o zaman:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Hem 3 hem de 7 asal sayılar olduğundan, bu 1029'un ayrıştırmasıdır.
- Egzersiz 2
Üç terimli x 2 + 42x + 432'yi çarpanlarına ayırın.
Çözüm
Üç terimli, (x + a) biçiminde yeniden yazılır. (x + b) ve a ve b'nin değerlerini bulmalıyız, öyle ki:
a + b = 42; ab = 432
432 sayısı asal faktörlere ayrıştırılır ve buradan uygun kombinasyon deneme yanılma yoluyla seçilir, böylece eklenen faktörler 42 verir.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Buradan 432 yazmak için birkaç olasılık var:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Ve bunların tümü, ürünleri ana faktörler arasında birleştirerek bulunabilir, ancak önerilen alıştırmayı çözmek için tek uygun kombinasyon: 432 = 24 × 18, çünkü 24 + 18 = 42, o zaman:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Referanslar
- Baldor, A. 1986. Teorik pratik aritmetik. Compañía Kültür Editörüa de Textos Americanos SA
- BBC Dünya. Doğanın Gizli Kodu. Bbc.com adresinden kurtarıldı.
- De Leon, Manuel. Asal sayılar: İnternetin koruyucuları. Kurtarıldı: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Sayı Teorisi I: Aritmetiğin Temel Teoremi. Teoriadenumeros.wikidot.com adresinden kurtarıldı.
- Vikipedi. Aritmetiğin temel teoremi. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.