TESSELLATIONS: KARAKTERISTIK, TIPLER (NORMAL, DÜZENSIZ), ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Tilings kaplı yüzeyler, bir ya da tesseralar adlandırılan daha rakamlardır. Her yerdeler: sokaklarda ve her türden binada. Fayans veya fayans düz parçalardır, genellikle uyumlu veya izometrik kopyalara sahip çokgenlerdir ve düzenli bir desen takip edilerek yerleştirilir. Bu sayede açıkta boşluk kalmaz ve çini veya mozaikler üst üste binmez.

Normal bir çokgen tarafından oluşturulan tek bir mozaik türünün kullanılması durumunda, düzenli bir mozaikleme vardır, ancak iki veya daha fazla türde normal çokgen kullanılıyorsa, bu yarı düzenli bir mozaiktir.

Şekil 1. Düzensiz mozaik döşemeli döşeme zemini, çünkü dikdörtgenler kareler olmasına rağmen düzenli olmayan çokgenlerdir. Kaynak: Pixabay.

Son olarak, mozaiklemenin oluşturduğu poligonlar düzenli olmadığında, düzensiz bir mozaiktir.

En yaygın mozaik türü dikdörtgen ve özellikle kare mozaiklerden oluşan mozaiklerdir. Şekil 1'de güzel bir örneğimiz var.

Mozaiklerin tarihi

Mozaikleme, farklı kültür ve dinlere ait sarayların ve tapınakların zemin ve duvarlarını kaplamak için binlerce yıldır kullanılmaktadır.

Örneğin, Mezopotamya'nın güneyinde, Fırat ve Dicle nehirleri arasında MÖ 3500 civarında gelişen Sümer uygarlığı, mimarilerinde mozaikler kullandı.

Şekil 2. Istar kapısındaki Sümer mozaik döşemeleri. Kaynak: Wikimedia Commons.

Tessellations aynı zamanda her yaştan matematikçinin ilgisini ateşledi: MÖ 3. yüzyılda Arşimet, ardından 1619'da Johannes Kepler, 1880'de Camille Jordan, Roger Penrose ile çağdaş zamanlara.

Penrose, Penrose mozaikleme olarak bilinen periyodik olmayan bir mozaik oluşturdu. Bunlar, mozaikleme konusunda çok katkıda bulunan bilim adamlarından sadece birkaçı.

Düzenli mozaikler

Sadece bir tür normal çokgen ile düzenli mozaiklemeler yapılır. Öte yandan, mozaiklemenin düzenli kabul edilebilmesi için uçağın her noktası:

Poligonun iç kısmına doğru

-Veya iki bitişik çokgenin kenarına

-Son olarak, en az üç çokgenin ortak tepe noktasına ait olabilir.

Yukarıdaki kısıtlamalarla, yalnızca eşkenar üçgenlerin, karelerin ve altıgenlerin düzgün bir mozaik oluşturabileceği gösterilebilir.

terminoloji

Her zaman en düşük numaralı çokgenden başlayarak, mozaiklemenin her bir düğümünü (veya tepe noktasını) çevreleyen çokgenlerin kenarlarının sayısını, saat yönünde ve bir noktayla ayrılmış olarak listelemeden oluşan mozaik döşemeleri gösteren bir terminoloji vardır. taraflar.

Bu isimlendirme, düzenli ve yarı düzenli mozaikler için geçerlidir.

Örnek 1: Üçgen mozaikleme

Şekil 3, düzenli bir üçgen mozaiklemeyi göstermektedir. Üçgen mozaiklemenin her bir düğümünün altı eşkenar üçgenin ortak tepe noktası olduğu unutulmamalıdır.

Bu tür bir mozaiklemeyi göstermenin yolu 3.3.3.3.3.3'tür ve bu da 3 ⁶ ile gösterilir .

Şekil 3. Düzenli üçgen mozaik döşeme 3.3.3.3.3.3. Kaynak: wikimedia commons

Örnek 2: Kare mozaikleme

Şekil 4, sadece karelerden oluşan düzenli bir mozaiklemeyi göstermektedir. Mozaiklemedeki her düğümün dört uyumlu kare ile çevrili olduğuna dikkat edilmelidir. Bu tür kare mozaiklere uygulanan gösterim: 4.4.4.4 veya alternatif olarak 4 ⁴

Şekil 4. Kare mozaikleme 4.4.4.4. Kaynak: wikimedia commons.

Örnek 3: Altıgen mozaikleme

Şekil 5'te gösterildiği gibi altıgen bir mozaiğine olarak her bir düğüm düzenli altıgen mozaiği adlandırma 6.6.6 ya da alternatif olarak 6 üç normal altıgen ile çevrilidir ³ .

Şekil 5. Altıgen mozaikleme 6.6.6. Kaynak: wikimedia commons.

Yarı düzenli mozaikler

Yarı düzenli veya Arşimet mozaikler, iki veya daha fazla türde normal çokgenden oluşur. Her düğüm, her zaman aynı sırayla mozaik döşemeyi oluşturan çokgen türleriyle çevrilidir ve kenar koşulu tamamen komşu ile paylaşılır.

Sekiz yarı düzenli mozaik vardır:

1. 3.6.3.6 (üç altıgen mozaikleme)
2. 3.3.3.3.6 (kör altıgen mozaik)
3. 3.3.3.4.4 (uzatılmış üçgen mozaik)
4. 3.3.4.3.4 (kör kare mozaikleme)
5. 3.4.6.4 (eşkenar dörtgen üç altıgen mozaik)
6. 4.8.8 (kesik kare mozaik)
7. 3.12.12 (kesik altıgen mozaik)
8. 4.6.12 (kesilmiş, üç altıgen mozaik)

Bazı yarı düzenli mozaikleme örnekleri aşağıda gösterilmiştir.

Örnek 4: Üç altıgen mozaikleme

3.6.3.6 yapısında eşkenar üçgenler ve düzgün altıgenlerden oluşan yapıdır, yani mozaiklemenin bir düğümünün (bir dönüşü tamamlanana kadar) bir üçgen, bir altıgen, bir üçgen ve bir altıgen ile çevrelendiği anlamına gelir. Şekil 6, böyle bir mozaiklemeyi göstermektedir.

Şekil 6. Üç altıgen mozaikleme (3.6.3.6), yarı düzenli bir mozaikleme örneğidir. Kaynak: Wikimedia Commons.

Örnek 5: Kör altıgen mozaikleme

Önceki örnekteki mozaikleme gibi, bu da üçgenler ve altıgenlerden oluşur, ancak bunların bir düğüm etrafındaki dağılımı 3.3.3.3.6'dır. Şekil 7, bu tür bir mozaiklemeyi açıkça göstermektedir.

Şekil 7. Küt altıgen mozaik, 3.3.3.3.6 konfigürasyonunda 16 üçgenle çevrili bir altıgenden oluşur. Kaynak: Wikimedia Commons.

Örnek 6: rhombi-tri-hexagonal mozaikleme

Şekil 8'de gösterilen 3.4.6.4 konfigürasyonundaki üçgenler, kareler ve altıgenlerden oluşan bir mozaiktir.

Şekil 8. 3.4.6.4 konfigürasyonunda bir üçgen, bir kare ve bir altıgenden oluşan yarı düzgün mozaik. Kaynak: Wikimedia Commons.

Düzensiz mozaikler

Düzensiz mozaikler, düzensiz çokgenler veya normal çokgenler tarafından oluşturulan, ancak bir düğümün en az üç çokgenden oluşan bir köşe olduğu kriterini karşılamayanlardır.

Örnek 7

Şekil 9, tüm çokgenlerin düzenli ve uyumlu olduğu düzensiz bir mozaikleme örneğini göstermektedir. Düzensizdir çünkü bir düğüm en az üç kareden oluşan ortak bir tepe noktası değildir ve aynı zamanda bir kenarı tamamen paylaşmayan komşu kareler de vardır.

Şekil 9. Tüm karolar uyumlu kareler olsa da, bu düzensiz mozaiklemenin açık bir örneğidir. Kaynak: F. Zapata.

Örnek 8

Paralelkenar düz bir yüzeyi döşer, ancak bir kare olmadığı sürece normal bir mozaik oluşturamaz.

Şekil 10. Paralelkenarlardan oluşan bir mozaik, mozaikleri düzgün olmayan çokgenler olduğu için düzensizdir. Kaynak: F. Zapata.

Örnek 9

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, merkezi simetriye sahip düzensiz altıgenler düz bir yüzeyi mozaikler:

Şekil 11. Merkezi simetriye sahip altıgenler, düzgün mozaik olmadıklarında bile düzlemi oluştururlar. Kaynak: F. Zapata.

Örnek 10: Kahire'nin mozaik döşenmesi

Kenarları eşit uzunlukta, ancak ikisi düz ve diğer üçünün her biri 120º olan eşit olmayan açılara sahip beşgenlerden oluşan çok ilginç bir mozaiktir.

Adı, Mısır'da Kahire'nin bazı sokaklarının kaldırımlarında bu mozaiklerin bulunmasından geliyor. Şekil 12, Kahire'nin mozaik döşemesini göstermektedir.

Şekil 12. Kahire Mozaikleme. Kaynak: Wikimedia Commons.

Örnek 11: Al-Endülüs mozaiklemesi

Endülüs'ün ve Kuzey Afrika'nın bazı kısımlarındaki mozaikleşme, bitki örtüsü gibi dekoratif unsurların yanı sıra geometri ve epigrafi ile karakterize edilir.

Alhambra'nınki gibi sarayların mozaik döşemeleri, geometrik desenlerde açığa çıkan çok sayıda (sonsuz değilse) şekillere sahip birçok renkteki seramik parçalardan oluşan çinilerden oluşuyordu.

Şekil 13. Alhambra Sarayı'nın Mozaiği. Tartaglia / Kamu malı

Örnek 12: Video oyunlarında mozaikleme

Tesellation olarak da bilinir, video oyunlarındaki en popüler yeniliklerden biridir. Simülatörde görünen farklı senaryoların mozaiklemesini simüle etmek için dokular oluşturmakla ilgilidir.

Bu, bu kaplamaların gerçekliğin sınırlarını aşarak gelişmeye devam ettiğinin açık bir yansımasıdır.

Referanslar

1. Matematiğin tadını çıkarın. Mozaikler. Kurtarıldı: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Tessellations örnekleri çözdü. Matematicasn.blogspot.com adresinden kurtarıldı
3. Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Vikipedi. Mozaikleme. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
5. Vikipedi. Düzenli mozaikleme. Kurtarıldı: es.wikipedia.com