LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ: TANIMI, TARIHI VE NE IÇIN OLDUĞU - MATEMATIK - 2025

Laplace dönüşümü , mühendislik çalışmaları, matematik, diğer bilimsel alanlar arasında fizik, yanı sıra teoride büyük ilgi olmaktan büyük önem son yıllarda yapılmış gelen sorunları çözmek için basit bir yol sağlar etti Bilim ve Mühendislik.

Başlangıçta Laplace dönüşümü Pierre-Simón Laplace tarafından olasılık teorisi üzerine yaptığı çalışmada sunuldu ve başlangıçta tamamen teorik ilgiye sahip matematiksel bir nesne olarak ele alındı.

Mevcut uygulamalar, çeşitli matematikçiler Heaviside tarafından elektromanyetik teori denklemlerinin çalışmasında kullanılan "işlem kurallarına" resmi bir gerekçe vermeye çalıştıklarında ortaya çıkmaktadır.

Tanım

F t ≥ 0 için tanımlanan bir fonksiyon olsun. Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır:

Laplace dönüşümünün, önceki integral yakınsarsa var olduğu söylenir, aksi takdirde Laplace dönüşümünün olmadığı söylenir.

Genel olarak, dönüştürülecek işlevi belirtmek için küçük harfler kullanılır ve büyük harf, dönüşüme karşılık gelir. Bu şekilde sahip olacağız:

Örnekler

Sabit f (t) = 1 fonksiyonunu düşünün. Dönüşümüne sahibiz:

İntegral yakınsadığında, yani s> 0 olduğunda. Aksi takdirde, s <0, integral ıraksar.

G (t) = t olsun. Laplace dönüşümü şu şekilde verilir:

Parçalara göre integral alarak ve te ^-st'in sonsuza ve s> 0 olduğunda 0 olma eğiliminde olduğunu bilerek , önceki örnekle birlikte:

Dönüşüm var olabilir veya olmayabilir, örneğin f (t) = 1 / t fonksiyonu için Laplace dönüşümünü tanımlayan integral yakınsamaz ve bu nedenle dönüşümü mevcut değildir.

Bir f fonksiyonunun Laplace dönüşümünün var olduğunu garanti etmek için yeterli koşullar, f'nin t ≥ 0 için parça parça sürekli olması ve üstel mertebede olmasıdır.

Bir fonksiyonun t ≥ 0 için parçalı olarak sürekli olduğu söylenir, eğer a> 0 olan herhangi bir aralık için _, f'nin süreksizliklere sahip olduğu ve her alt aralıkta sürekliliği olan sonlu sayıda nokta t _k vardır.

Öte yandan, M> 0, c ve T> 0 gerçek sabitleri varsa, bir fonksiyonun üstel sırada c olduğu söylenir:

Örnekler olarak, f (t) = t ^2'nin üstel sırada olduğu var, çünkü tüm t> 0 için -t ² - <e ^3t .

Resmi bir şekilde aşağıdaki teoremimiz var

Teorem (Varoluş için yeterli koşullar)

F, t> 0 ve üstel mertebeden c için kısmi sürekli bir fonksiyonsa, Laplace dönüşümü s> c için mevcuttur.

Bunun bir yeterlilik koşulu olduğuna dikkat etmek önemlidir, yani, bu koşulları karşılamayan bir işlev olabilir ve bu durumda Laplace dönüşümü mevcut olabilir.

Bunun bir örneği, t ≥ 0 için ^{parça parça} sürekli olmayan, ancak Laplace dönüşümü var olan f (t) = t ^-1/2 fonksiyonudur .

Bazı temel fonksiyonların Laplace dönüşümü

Aşağıdaki tablo, en yaygın işlevlerin Laplace dönüşümlerini göstermektedir.

Tarih

Laplace dönüşümü, adını 1749'da doğan ve 1827'de ölen Fransız matematikçi ve teorik gökbilimci Pierre-Simon Laplace'a borçludur. Şöhreti o kadar çok ki Fransa'nın Newton'u olarak biliniyordu.

1744'te Leonard Euler çalışmalarını form ile integrallere ayırdı.

sıradan diferansiyel denklemlerin çözümleri olarak, ancak bu araştırmayı çabucak terk etti. Daha sonra, Euler'e büyük hayranlık duyan Joseph Louis Lagrange, bu tür integralleri de araştırdı ve olasılık teorisi ile ilişkilendirdi.

1782, Laplace

1782'de Laplace diferansiyel denklemlerin çözümleri olarak bu tür integralleri incelemeye başladı ve tarihçilere göre 1785'te sorunu yeniden formüle etmeye karar verdi, bu daha sonra bugün anlaşıldığı şekliyle Laplace dönüşümlerine yol açtı.

Olasılık teorisi alanına girmiş olduğundan, o zamanlar bilim adamlarının ilgisini pek çekmiyordu ve yalnızca teorik ilgiye sahip matematiksel bir nesne olarak görülüyordu.

Oliver Heaviside

19. yüzyılın ortalarında İngiliz mühendis Oliver Heaviside, diferansiyel operatörlerin cebirsel değişkenler olarak ele alınabileceğini keşfetti ve böylece Laplace dönüşümlerine modern uygulamalarını verdi.

Oliver Heaviside, 1850'de Londra'da doğan ve 1925'te ölen İngiliz fizikçi, elektrik mühendisi ve matematikçiydi. Titreşim teorisine uygulanan diferansiyel denklem problemlerini çözmeye çalışırken ve Laplace'ın çalışmalarını kullanarak, Laplace dönüşümlerinin modern uygulamaları.

Heaviside tarafından sunulan sonuçlar zamanın bilim camiasında hızla yayıldı, ancak çalışmaları titiz olmadığı için daha geleneksel matematikçiler tarafından hızla eleştirildi.

Bununla birlikte, Heaviside'ın fizikteki denklemleri çözmedeki çalışmasının yararlılığı, yöntemlerini fizikçiler ve mühendisler arasında popüler hale getirdi.

Bu aksaklıklara ve on yıllarca süren başarısız girişimlerden sonra, 20. yüzyılın başında Heaviside tarafından verilen operasyonel kurallara sıkı bir gerekçe gösterilebilir.

Bu girişimler, diğerleri arasında Bromwich, Carson, van der Pol gibi çeşitli matematikçilerin çabaları sayesinde meyve verdi.

Özellikleri

Laplace dönüşümünün özellikleri arasında şunlar göze çarpmaktadır:

Doğrusallık

Laplace dönüşümleri sırasıyla F (s) ve G (s) olan c1 ve c2 sabitler ve f (t) ve g (t) fonksiyonları olsun, o zaman elimizde:

Bu özellik nedeniyle Laplace dönüşümünün doğrusal bir operatör olduğu söylenir.

Misal

İlk çeviri teoremi

Eğer böyle olursa:

Ve 'a' herhangi bir gerçek sayıdır, bu nedenle:

Misal

Cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) 'ün Laplace dönüşümü o zaman:

İkinci çeviri teoremi

Evet

Yani

Misal

Eğer f (t) = t ^ 3 ise, F (s) = 6 / s ^ 4 olur. Ve bu nedenle dönüşümü

G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Ölçek değişikliği

Evet

Ve 'a' sıfırdan farklı bir gerçek, yapmalıyız

Misal

F (t) = sin (t) 'nin dönüşümü F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) olduğu için buna sahibiz

Laplace'ın türev dönüşümü

F, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ t ≥ 0 için sürekli ise ve üstel mertebeden ise ve f ⁽ⁿ⁾ (t) t ≥ 0 için parça parça sürekli ise, o zaman

İntegrallerin Laplace dönüşümü

Evet

Yani

T ile çarpma

Eğer mecbur kalırsak

Yani

T'ye göre bölme

Eğer mecbur kalırsak

Yani

Periyodik fonksiyonlar

F periyodu T> 0 olan bir periyodik fonksiyon olsun, yani f (t + T) = f (t), o halde

F (s) 'nin s olarak davranışı sonsuza meyillidir

Eğer f parçalar halinde ve üstel sırada sürekli ise ve

Yani

Ters dönüşümler

Laplace dönüşümünü bir f (t) fonksiyonuna uyguladığımızda, bu dönüşümü temsil eden F (s) elde ederiz. Aynı şekilde f (t) 'nin F (s)' nin ters Laplace dönüşümü olduğunu ve şöyle yazıldığını söyleyebiliriz:

F (t) = 1 ve g (t) = t'nin Laplace dönüşümlerinin sırasıyla F (s) = 1 / s ve G (s) = 1 / s ² olduğunu biliyoruz, bu nedenle bizde

Bazı yaygın ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir

Dahası, ters Laplace dönüşümü doğrusaldır, yani doğrudur

Egzersiz yapmak

Bul

Bu alıştırmayı çözmek için F (s) işlevini önceki tablodan biriyle eşleştirmeliyiz. Bu durumda, + 1 = 5 alırsak ve ters dönüşümün doğrusallık özelliğini kullanarak, çarpar ve 4 ile böleriz! Başlarken

İkinci ters dönüşüm için, F (s) fonksiyonunu yeniden yazmak için kısmi kesirler uygularız ve ardından doğrusallık özelliğini elde ederiz.

Bu örneklerden görebileceğimiz gibi, değerlendirilen fonksiyon F (s) 'nin tabloda verilen fonksiyonların hiçbiriyle tam olarak eşleşmemesi yaygındır. Görüldüğü gibi bu durumlar için, uygun forma gelene kadar fonksiyonu yeniden yazmak yeterlidir.

Laplace dönüşümünün uygulamaları

Diferansiyel denklemler

Laplace dönüşümlerinin ana uygulaması diferansiyel denklemleri çözmektir.

Bir türevin dönüşümünün özelliğini kullanarak, açıktır ki

T = 0'da değerlendirilen n-1 türevlerinin Y'si.

Bu özellik, dönüşümü sabit katsayılı diferansiyel denklemlerin dahil olduğu başlangıç ​​değeri problemlerini çözmek için çok yararlı kılar.

Aşağıdaki örnekler, diferansiyel denklemleri çözmek için Laplace dönüşümünün nasıl kullanılacağını gösterir.

örnek 1

Aşağıdaki ilk değer problemi göz önüne alındığında

Çözümü bulmak için Laplace dönüşümünü kullanın.

Laplace dönüşümünü diferansiyel denklemin her üyesine uygularız

Bir türevin dönüşümünün özelliğine göre elimizde

Tüm ifadeyi geliştirerek ve sahip olduğumuz Y (ler) i temizleyerek

Elde ettiğimiz denklemin sağ tarafını yeniden yazmak için kısmi kesirler kullanmak

Son olarak, amacımız diferansiyel denklemi sağlayan bir y (t) fonksiyonu bulmaktır. Ters Laplace dönüşümünü kullanmak bize sonucu verir

Örnek 2

Çöz

Önceki durumda olduğu gibi, dönüşümü denklemin her iki tarafına da uyguluyoruz ve terimi terime göre ayırıyoruz.

Bu şekilde sonuç olarak elimizde

Verilen başlangıç ​​değerleriyle ikame etme ve Y (s) için çözme

Basit kesirleri kullanarak denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz

Ve ters Laplace dönüşümünü uygulamak bize sonucu verir

Bu örneklerde, yanlışlıkla bu yöntemin diferansiyel denklemleri çözmek için geleneksel yöntemlerden çok daha iyi olmadığı sonucuna varabilirsiniz.

Laplace dönüşümünün avantajları, parametre varyasyonunu kullanmanıza veya belirsiz katsayı yönteminin çeşitli durumları hakkında endişelenmenize gerek olmamasıdır.

Ek olarak, bu yöntemle başlangıç ​​değeri problemlerini çözerken, başlangıçtan itibaren başlangıç ​​koşullarını kullanırız, bu nedenle belirli bir çözümü bulmak için başka hesaplamalar yapmak gerekli değildir.

Diferansiyel denklem sistemleri

Laplace dönüşümü, aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, eşzamanlı adi diferansiyel denklemlere çözümler bulmak için de kullanılabilir.

Misal

çözmek

Başlangıç ​​koşulları ile x (0) = 8 ve y (0) = 3.

Eğer mecbur kalırsak

Yani

Çözmek bize sonuç olarak verir

Elimizdeki ters Laplace dönüşümünü uygulayarak

Mekanik ve elektrik devreleri

Laplace dönüşümü fizikte büyük önem taşır, esas olarak mekanik ve elektrik devreleri için uygulamaları vardır.

Basit bir elektrik devresi aşağıdaki unsurlardan oluşur

Bir anahtar, bir pil veya kaynak, bir indüktör, bir direnç ve bir kapasitör. Anahtar kapatıldığında, i (t) ile gösterilen bir elektrik akımı üretilir. Kapasitör üzerindeki yük q (t) ile gösterilir.

Kirchhoff'un ikinci yasasına göre, kapalı devrede E kaynağı tarafından üretilen voltaj, voltaj düşüşlerinin her birinin toplamına eşit olmalıdır.

Elektrik akımı i (t), kapasitör üzerindeki yük q (t) ile i = dq / dt ile ilişkilidir. Öte yandan, öğelerin her birindeki voltaj düşüşü şu şekilde tanımlanır:

Bir direnç üzerindeki voltaj düşüşü iR = R (dq / dt)

Bir indüktör üzerindeki voltaj düşüşü L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Bir kapasitördeki voltaj düşüşü q / C'dir

Bu verilerle ve Kirchhoff'un ikinci yasasını basit kapalı devreye uygulayarak, sistemi tanımlayan ve q (t) değerini belirlememize izin veren ikinci dereceden bir diferansiyel denklem elde edilir.

Misal

Bir indüktör, bir kapasitör ve bir direnç, şekilde gösterildiği gibi bir pil E'ye bağlanır. İndüktör 2 tavuk, kapasitör 0,02 farad ve direnç 16 ohm'dur. T = 0 anında devre kapanır. E = 300 volt ise her an t> 0 yükünü ve akımı bulun.

Bu devreyi tanımlayan diferansiyel denklemin aşağıdaki gibi olduğuna sahibiz.

Başlangıç ​​koşulları q (0) = 0 olduğunda, i (0) = 0 = q '(0).

Laplace dönüşümünü uygulayarak bunu anlıyoruz

Ve Q (t) için çözme

Ardından, sahip olduğumuz ters Laplace dönüşümünü uygulayarak

Referanslar

1. G. Holbrook, J. (1987). Elektronik mühendisleri için Laplace dönüşümü. Limusa.
2. Ruiz, LM ve Hernandez, MP (2006). Diferansiyel denklemler ve uygulamalarla Laplace dönüşümü. Editoryal UPV.
3. Simmons, GF (1993). Uygulamalar ve tarihsel notlarla diferansiyel denklemler. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace dönüşümleri. McGraw-Hill.
5. Zill, DG ve Cullen, MR (2008). Sınır değeri problemli diferansiyel denklemler. Cengage Learning Editörleri, SA