AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ: ÖZELLIKLER, UYGULAMALAR, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Fourier dönüşümü ayrı bir sinyal oluşturan spektral frekans referans örnekleri tanımlamak için kullanılan bir sayısal bir yöntemdir. Kapalı parametrelerdeki periyodik fonksiyonları inceler ve sonuç olarak başka bir ayrık sinyal verir.

N noktasının ayrık Fourier dönüşümünü elde etmek için, ayrık bir sinyalde, aşağıdaki 2 koşul bir x dizisinde karşılanmalıdır

TDF

Ayrık Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümünün bir N-nokta örneklemesi olarak tanımlanabilir.

Ayrık Fourier dönüşümünün yorumlanması

Kaynak: Pexels

Bir x _s dizisi üzerinde elde edilen sonuçların ayrık Fourier dönüşümü yoluyla yorumlanabileceği 2 bakış açısı vardır .

- İlki, Fourier serisinden zaten bilinen spektral katsayılara karşılık gelir. Kesikli periyodik sinyallerde gözlenir, örnekler x _s dizisiyle çakışır .

-İkincisi, x _s dizisine karşılık gelen örneklerle, ayrık bir periyodik olmayan sinyalin spektrumuyla ilgilidir .

Ayrık dönüşüm, orijinal analog sinyalin spektrumuna bir yaklaşımdır. Evresi örnekleme anlarına bağlıdır, büyüklüğü ise örnekleme aralığına bağlıdır.

Özellikleri

Yapının cebirsel temelleri, aşağıdaki bölümlerin mantığını oluşturur.

Doğrusallık

C. S _n → C. F; Bir dizi bir skaler ile çarpılırsa, dönüşümü de olacaktır.

T _N + V _{, n} = F + F; Bir toplamın dönüşümü, dönüşümlerin toplamına eşittir.

Dualite

F → (1 / N) S _-k; Ayrık Fourier dönüşümü zaten dönüştürülmüş bir ifadeye yeniden hesaplanırsa, aynı ifade elde edilir, N cinsinden ölçeklenir ve dikey eksene göre ters çevrilir.

Evrişim

Laplace dönüşümünde olduğu gibi benzer hedefleri takip eden fonksiyonların evrişimi, Fourier dönüşümleri arasındaki çarpımı ifade eder. Evrişim ayrıca farklı zamanlar için de geçerlidir ve birçok modern prosedürden sorumludur.

X, _n, R * _N → F .F; Bir evrişimin dönüşümü, dönüşümlerin ürününe eşittir.

X _n . R _n → F * F; Bir ürünün dönüşümü, dönüşümlerin evrişimine eşittir.

Yer değiştirme

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Bir dizi m numune kadar geciktirilirse, ayrık dönüşüm üzerindeki etkisi (2π / N) km ile tanımlanan açının bir modifikasyonu olacaktır.

Simetri

X _t = X * _t = X _t

Modülasyon

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Ürün

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetri

X ↔ X _t = X * _t

Eşlenik

x * ↔ X * _t

Parseval denklemi

Geleneksel Fourier dönüşümü ile ilgili olarak, birkaç benzerliği ve farklılığı vardır. Fourier dönüşümü, bir diziyi düz bir çizgiye dönüştürür. Bu şekilde Fourier değişkeninin sonucunun bir gerçek değişkenin karmaşık bir fonksiyonu olduğu söylenir.

Ayrık Fourier dönüşümü, aksine, ayrık bir sinyal alır ve onu başka bir ayrık sinyale, yani bir diziye dönüştürür.

Ayrık Fourier dönüşümü ne için?

Türetilmiş ifadeleri güç unsurlarına dönüştürürken, öncelikle denklemleri büyük ölçüde basitleştirmeye hizmet ederler. İntegrallenebilir polinom formlarında diferansiyel ifadeleri gösterir.

Sonuçların optimizasyonunda, modülasyonunda ve modellemesinde, birkaç nesilden sonra mühendislik için sık kullanılan bir kaynak olan standartlaştırılmış bir ifade görevi görür.

Kaynak: Pixabay

Tarih

Bu matematiksel kavram, 1811'de Joseph B. Fourier tarafından ısının yayılması üzerine bir inceleme geliştirirken tanıtıldı. Çeşitli bilim ve mühendislik dalları tarafından hızla benimsenmiştir.

Kısmi türevli denklemlerin çalışmasında, hatta onu Laplace dönüşümü ve adi diferansiyel denklemler arasındaki mevcut iş ilişkisi ile karşılaştırarak ana çalışma aracı olarak kurulmuştur.

Bir Fourier dönüşümü ile çalışılabilen her işlev, tanımlanmış bir parametrenin dışında boş değer sunmalıdır.

Ayrık Fourier dönüşümü ve tersi

Ayrık dönüşüm şu ifade ile elde edilir:

Ayrık bir dizi X verildikten sonra

Ayrık Fourier dönüşümünün tersi ifade ile tanımlanır:

Ters PTO

Ayrık dönüşüm elde edildiğinde, sekansın X zaman alanında tanımlanmasına izin verir.

Kanatlı

Ayrık Fourier dönüşümüne karşılık gelen parametrizasyon süreci pencerelemede yatmaktadır. Dönüşümü gerçekleştirmek için diziyi zaman içinde sınırlamamız gerekir. Çoğu durumda söz konusu sinyaller bu sınırlamalara sahip değildir.

Ayrık dönüşüme uygulanacak boyut kriterlerini karşılamayan bir dizi, kontrollü bir parametrede dizinin davranışını tanımlayan bir "pencere" işlevi V ile çarpılabilir.

X. V

Spektrumun genişliği, pencerenin genişliğine bağlı olacaktır. Pencerenin genişliği arttıkça, hesaplanan dönüşüm daha dar olacaktır.

Uygulamalar

Temel çözümün hesaplanması

Ayrık Fourier dönüşümü, ayrık dizilerin incelenmesinde güçlü bir araçtır.

Ayrık Fourier dönüşümü, sürekli değişken bir işlevi ayrı bir değişken dönüşümüne dönüştürür.

Isı denklemi için Cauchy problemi, ayrık Fourier dönüşümünün sık bir uygulama alanını sunar . Tanımlanmış bir parametrede örnekleme değerleri için geçerli olan ısı veya Dirichlet çekirdeğinin temel işlevinin üretildiği yer.

Sinyal teorisi

Ayrık Fourier dönüşümünün bu dalda uygulanmasının genel nedeni, daha kolay tedavi edilebilir sinyallerin sonsuz bir süperpozisyonu olarak bir sinyalin karakteristik ayrışmasından kaynaklanmaktadır.

Bir ses dalgası veya bir elektromanyetik dalga olabilir, ayrık Fourier dönüşümü onu basit dalgaların üst üste binmesiyle ifade eder. Bu temsil, elektrik mühendisliğinde oldukça yaygındır.

Fourier serisi

Kosinüs ve Sinüs cinsinden tanımlanmış serilerdir. Genel periyodik fonksiyonlarla çalışmayı kolaylaştırmaya hizmet ederler. Uygulandıklarında, sıradan ve kısmi diferansiyel denklemleri çözme tekniklerinin bir parçasıdırlar.

Fourier serileri, Taylor serilerinden bile daha geneldir, çünkü Taylor serisi temsiline sahip olmayan periyodik süreksiz fonksiyonlar geliştirirler.

Fourier serisinin diğer formları

Fourier dönüşümünü analitik olarak anlamak için, Fourier serisini karmaşık gösterimi ile tanımlayana kadar, Fourier serisinin bulunabileceği diğer yolları gözden geçirmek önemlidir.

2L periyodunun bir fonksiyonu üzerine Fourier serisi:

Fonksiyonların simetrik özelliklerinden yararlanılırken avantaj sağlayan aralık dikkate alınır.

F çift ise, Fourier serisi bir Kosinüs dizisi olarak kurulur.

F tuhafsa, Fourier serisi bir Sines serisi olarak belirlenir.

-Fourier serisinin karmaşık gösterimi

Fourier serisinin tüm gereksinimlerini karşılayan bir f (t) fonksiyonumuz varsa, onu karmaşık gösterimini kullanarak aralıkta belirtmek mümkündür:

Örnekler

Temel çözümün hesaplanmasına ilişkin olarak aşağıdaki örnekler sunulmuştur:

Öte yandan, sinyal teorisi alanında ayrık Fourier dönüşümünün uygulanmasına ilişkin örnekler aşağıdadır:

-Sistem tanımlama sorunları. F ve g kuruldu

Çıkış sinyalinin tutarlılığı ile ilgili sorun

-Sinyal filtreleme ile ilgili sorunlar

Egzersizler

1. Egzersiz

Aşağıdaki dizi için ayrık Fourier dönüşümünü hesaplayın.

X'in PTO'sunu şu şekilde tanımlayabilirsiniz:

X _t = {4, -j2, 0, j2} k = 0, 1, 2, 3 için

Egzersiz 2

X (t) = e ^-t ifadesi ile tanımlanan spektral sinyali dijital bir algoritma aracılığıyla belirlemek istiyoruz . Maksimum frekans talep katsayısının f _m = 1Hz olduğu yerde. Bir harmonik, f = 0,3 Hz'e karşılık gelir Hata,% 5'ten az ile sınırlıdır. F _s , D ve N'yi hesaplayın .

Örnekleme teoremini hesaba katarak f _s = 2f _m = 2 Hz

D = 1 / 0.1 = 10s elde ettiğimiz f ₀ = 0.1 Hz frekans çözünürlüğü seçilir.

0,3 Hz, k = 3 indeksine karşılık gelen frekanstır, burada N = 3 × 8 = 24 örnek. F _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2 olduğunu belirtir

Amaç, N için mümkün olan en düşük değeri elde etmek olduğundan, aşağıdaki değerler çözüm olarak düşünülebilir:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0.3 = 3.33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Referanslar

1. Bir, İki veya Birkaç Boyutta Ayrık Fourier Dönüşümünde Ustalaşma: Tuzaklar ve Artefaktlar. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 Temmuz. 2013
2. DFT: Ayrık Fourier Dönüşümü için Sahiplerin El Kitabı. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 Ocak. bindokuzyüz doksan beş
3. Sayısal Sinyal İşleme: Teori ve Uygulama. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Sinyal Analizi ve Gösterimleri için Dönüşümler ve Hızlı Algoritmalar. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 Aralık. 2012
5. Ayrık ve Sürekli Fourier Dönüşümleri: Analiz, Uygulamalar ve Hızlı Algoritmalar. Eleanor Chu. CRC Press, 19 Mart. 2008