AKUT ÜÇGEN: ÖZELLIKLERI VE TÜRLERI - MATEMATIK - 2025

Akut üçgenler olan üç iç açıları akut açılar olanlardır; yani, bu açıların her birinin ölçüsü 90 ° dereceden azdır. Herhangi bir dik açıya sahip olmadığımız için, Pisagor teoreminin bu geometrik şekil için geçerli olmadığını gördük.

Bu nedenle, herhangi bir tarafı veya açısı hakkında bir tür bilgiye sahip olmak istiyorsak, söz konusu verilere erişmemize izin veren diğer teoremlerden yararlanmak gerekir. Kullanabileceklerimiz sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir.

karakteristikleri

Bu geometrik figürün sahip olduğu özellikler arasında, basit bir üçgen olmanın verdiği özellikleri vurgulayabiliriz. Bunların arasında şunlar var:

- Üçgen, üç kenarı ve üç açısı olan bir çokgendir.

- Üç iç açısının toplamı 180 ° 'ye eşittir.

- İki tarafının toplamı her zaman üçüncüsünden daha büyüktür.

Örnek olarak aşağıdaki ABC üçgenine bakalım. Genel olarak, kenarlarını küçük harfle ve açılarını büyük harfle tanımlarız, böylece bir taraf ve karşıt açısı aynı harfe sahip olur.

Önceden verilen özelliklerden şunu biliyoruz:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b ve b + c> a

Bu tür üçgeni diğerlerinden ayıran temel özellik, daha önce de belirttiğimiz gibi, iç açılarının keskin olmasıdır; yani, açılarının her birinin ölçüsü 90 ° 'den azdır.

Dar üçgenler, geniş üçgenlerle birlikte (açılarından birinin ölçüsü 90 ° 'den büyük olanlar), eğik üçgenler kümesinin bir parçasıdır. Bu set, dik açılı olmayan üçgenlerden oluşur.

Eğik üçgenler bir parça olduğundan, akut üçgenlerle ilgili problemleri çözebilmeliyiz, sinüs teoremi ve kosinüs teoremini kullanmalıyız.

Sinüs teoremi

Sinüs teoremi bize, bir kenarın zıt açısının sinüsüne oranının, söz konusu üçgenin üç köşesi tarafından oluşturulan dairenin yarıçapının iki katına eşit olduğunu söyler. Demek ki:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinüs teoremi

Öte yandan, kosinüs teoremi bize herhangi bir ABC üçgeni için şu üç eşitliği verir:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = bir ² + b ² -2ab * cos (C)

Bu teoremler, sırasıyla sinüs kanunu ve kosinüs kanunu olarak da bilinir.

Dar üçgenlerin verebileceğimiz bir diğer özelliği de, aşağıdaki kriterlerden herhangi birini karşılıyorlarsa bunlardan ikisinin eşit olmasıdır:

- Aynı üç tarafa sahiplerse.

- Bir tarafları ve birbirine eşit açıları varsa.

- İki eşit kenarı ve bir açısı varsa.

Türleri

Akut üçgenler yanlarına göre sınıflandırılabilir. Bunlar şunlar olabilir:

Eşkenar akut üçgenler

Tüm kenarları eşit olan dar üçgenlerdir ve bu nedenle tüm iç açıları A = B = C = 60 ° derece olan aynı değere sahiptir.

Örnek olarak, a, b ve c kenarları 4 olan aşağıdaki üçgeni ele alalım.

İkizkenar akut üçgenler

Bu üçgenler, dar iç açılara sahip olmanın yanı sıra, iki eşit kenara sahip olma ve genellikle taban olarak alınan üçüncüsü farklı olma özelliğine sahiptir.

Bu tür üçgenin bir örneği, tabanı 3 ve diğer iki kenarı 5 olan bir üçgen olabilir. Bu ölçümlerle, 72.55 ° değerinde eşit kenarlara zıt açılara ve zıt açıya sahip olacaktır. taban 34.9 ° olacaktır.

Scalene akut üçgenler

Bunlar, ikişer ikişer farklı taraflara sahip üçgenlerdir. Bu nedenle, 90 ° 'den küçük olmasının yanı sıra tüm açıları ikiden ikiye farklıdır.

DEF üçgeni (ölçüleri d = 4, e = 5 ve f = 6 ve açıları D = 41.41 °, E = 55.79 ° ve F = 82.8 °), akut üçgenin güzel bir örneğidir scalene.

Akut üçgenlerin çözünürlüğü

Daha önce de söylediğimiz gibi, akut üçgenleri içeren problemleri çözmek için sinüs ve kosinüs teoremlerini kullanmak gerekir.

örnek 1

A = 30 °, B = 70 ° ve kenar a = 5cm olan bir ABC üçgeni verildiğinde, C açısının ve b ve c kenarlarının değerini bilmek istiyoruz.

İlk yaptığımız şey, C açısının değerini elde etmek için bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 ° olduğu gerçeğini kullanmaktır.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

C'yi temizliyoruz ve elimizde:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Üç açıyı ve bir tarafı zaten bildiğimiz için, kalan tarafların değerini belirlemek için sinüs teoremini kullanabiliriz. Teoremine göre elimizde:

a / sin (A) = b / sin (B) ve a / sin (A) = c / (sin (C)

B'yi denklemden ayırırız ve kalırız:

b = (a * günah (B)) / günah (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Şimdi sadece c'nin değerini hesaplamamız gerekiyor. Önceki durumda olduğu gibi ilerliyoruz:

c = (a * günah (C)) / günah (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Böylece üçgenin tüm verilerini elde ederiz. Gördüğümüz gibi, bu üçgen scalene akut üçgen kategorisine giriyor.

Örnek 2

D = 4cm, e = 5cm ve f = 6cm kenarları olan bir DEF üçgeni verildiğinde, söz konusu üçgenin açılarının değerini bilmek istiyoruz.

Bu durum için, bize şunu söyleyen kosinüs yasasını kullanacağız:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Bu denklemden cos (D) yi çözebiliriz, bu da bize sonuç olarak verir:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

Dolayısıyla D≈ 41.41 ° sahibiz

Şimdi senom teoremini kullanarak aşağıdaki denklemi elde ederiz:

d / (günah (D) = e / (günah (E)

Günah (E) için çözersek:

günah (E) = e * günah (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

Dolayısıyla E≈55.79 ° sahibiz

Son olarak, bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 ° olduğunu kullanarak, F≈82.8 ° elde ederiz.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometri (Yeniden baskı ed.). İlerleme.
2. Leake, D. (2006). Üçgenler (editör resimli). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Düzlem metrik geometri. CODEPRE
4. Ruiz, Á. Ve Barrantes, H. (2006). Geometriler. CR teknolojisi.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometri ve Analitik Geometri. Pearson Education.